- •Теория вероятностей..
- •Операции над событиями.
- •Свойства вероятности.
- •Вероятность появления хотя бы одного события.
- •Повторение испытаний. Формула Бернулли.
- •Эта формула называется формулой Бернулли.
- •Случайные величины
- •Закон распределения дискретной случайной величины.
- •1) Таблицы ( или ряда распределения)
- •2) Аналитически ( в виде интегральной функции f(X))
- •Числовые характеристики дискретных случайных величин.
- •Свойства математического ожидания.
- •1) Не отказал ни один прибор.
- •Функция распределения.
- •Свойства функции распределения..
Функция распределения.
Пусть х – действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что Х примет значение, меньшее х, т.е. Х < x, обозначим через F(x).
Определение1. Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х.
Функцию распределения также называют интегральной функцией.
Функция распределения существует как для непрерывных, так и для дискретных случайных величин. Она полностью характеризует случайную величину и является одной из форм закона распределения.
Функция распределения дискретной случайной величины Х разрывна и возрастает скачками при переходе через каждое значение хi.
Свойства функции распределения..
1)
2) F(x) – неубывающая функция.
3) Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a, b) , равна приращению функции распределения на этом интервале.
4) На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности функция распределения равна единице.
5) Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю.
Плотность распределения.
Определение1. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется функция f(x) – первая производная от функции распределения F(x).
Плотность распределения также называют дифференциальной функцией. Для описания дискретной случайной величины плотность распределения неприемлема.
Смысл плотности распределения состоит в том, что она показывает как часто появляется случайная величина Х в некоторой окрестности точки х при повторении опытов.
Свойства плотности распределения.
1)
2)
3) .
Геометрически это означает, что вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью ОХ, кривой распределения f(x) и прямыми x=a и x=b.
4)
Числовые характеристики непрерывных случайных величин.
Пусть непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения f(x). Допустим, что все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку [a,b].
Определение1. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называется определенный интеграл
или
Определение2 . Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения.
По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины, для практического вычисления дисперсии используется формула:
Определение 3. Средним квадратичным отклонением называется квадратный корень из дисперсии.
СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Линейная корреляция
уравнение регрессии Y на X,
где ,
уравнение регрессии X на Y ,
где ;