Вероятность появления хотя бы одного события.

Если в результате испытания может появиться п событий, независимых в совокупности, то вероятность появления хотя бы одного из них равна

Здесь событие А обозначает наступление хотя бы одного из событий A_i, а q_i=1-p_i – вероятность противоположных событий .

Пример.

Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9; второй – 0,9; третий – 0,8. Найти вероятность того, что студентом будут сданы :

1) только 2-ой экзамен - событие А;

2) только один экзамен – событие В;

3) три экзамена – событие С;

4) хотя бы один экзамен – событие D.

5) не cдаст ни один экзамен – событие Е;

Решение.

Обозначим р₁=0,9 , тогда q₁=0,1 т.к

p₂=0,9 q₂=0,1

p₃=0,8 q₃=0,2

1)

2)

3)

4)

5)

Основные формулы вычисления вероятностей

Формула полной вероятности.

Пусть некоторое событие А может произойти вместе с одним из несовместных событий , составляющих полную группу событий. Пусть известны вероятности этих событийи условные вероятности наступления события А при наступлении событияH_i .

Теорема. Вероятность события А, которое может произойти вместе с одним из событий , равна сумме парных произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующие им условные вероятности наступления события А.

Эта формула называется формулой полной вероятности

Формула Бейеса. (формула гипотез)

Пусть имеется полная группа несовместных гипотез с известными вероятностями их наступления. Пусть в результате опыта наступило событие А, условные вероятности которого по каждой из гипотез известны, т.е. известны вероятности .

Требуется определить какие вероятности имеют гипотезы относительно события А, т.е. условные вероятности.

Теорема. Вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на соответствующую ей условную вероятность события, которое произошло при испытании, деленному на полную вероятность этого события.

Эта формула называется формулой Бейеса.

Повторение испытаний. Формула Бернулли.

Если производится некоторое количество испытаний, в результате которых может произойти или не произойти событие А, и вероятность появления этого события в каждом из испытаний не зависит от результатов остальных испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события А.

Допустим, что событие А наступает в каждом испытании с вероятностью Р(А)=р. Вероятность Р_т,п того, что в результате п испытаний событие А наступило ровно т раз равно

Эта формула называется формулой Бернулли.

Случайные величины

Определение 1. Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может прининять любое значение, причем заранее неизвестное.

Случайные величины можно разделить на две категории.

Определение 2. Дискретной случайной величиной (ДСВ) называется такая величина, которая в результате опыта может принимать определенные значения с определенной вероятностью, образующие счетное множество (множество, элементы которого могут быть занумерованы).

Это множество может быть как конечным, так и бесконечным.

Определение 3. Непрерывной случайной величиной (НСВ) называется такая величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.