справочник для 1-го курса
.pdfТеоремы о параллельных прямых и параллельных плоскостях: |
|
1. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны. l1 ǁ 3 |
l1 ǁ 2 |
2 |
ǁ l3 |
2.Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
l1 ǁ l2 l1∩ α |
l2∩ α |
3.Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной, и только одну.
4.Если прямая параллельна каждой из двух пересекающихся плоскостей, то она
параллельна их линии пересечения. |
l1 ǁ α1 |
l1ǁ l (α1 ∩ α2) |
|
1 ǁ α2 |
|
5.Если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии |
||
пересечения параллельны. |
α1ǁ α2 и α3 ∩ α1 |
и α3 ∩ α2 |
1=α1 ∩ α3 ǁ l2=α2 ∩ α3
6.Через точку , не лежащую в данной плоскости, можно провести плоскость, параллельную данной, и только одну. Мϵα1
7.Две плоскости, параллельные третьей параллельны между собой.
α1ǁ α3 и α2ǁ α3 α1ǁ α2
8. Отрезки параллельных прямых, заключённые между параллельными плоскостями, равны.
1 ǁ 2 и 1 ǁ 2, lА1А2l = lВ1В2l
Углы между прямыми и плоскостями
Угол между прямой и плоскостью называется угол между прямой и её проекцией на плоскость.
Угол между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, параллельными соответственно данным скрещивающимся прямым.
b1 ǁ b , b1 ∩ α=(·)А
Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей прямой. Полуплоскости называются гранями, прямая – ребром двугранного угла.
Линейным углом двугранного угла называется угол между полупрямыми, принадлежащими граням двугранного угла, исходящими из одной точки на ребре и перпендикулярными ребру.
Градусная (радианная) мера двугранного угла равна градусной (радианной) мере его линейного угла.
Перпендикулярность прямых и плоскостей
Две прямые называются перпендикулярными, ели они пересекаются под прямым углом.
l1 l2
Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в плоскости, проходящей через точку пересечения данной прямой и плоскости.
l1 l2 l1 α
l2ϵ α
Две плоскости называются перпендикулярными, если пересекаясь, они образуют прямые двугранные углы. α
Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости, то она перпендикулярна плоскости.
l1 l |
|
l2 l |
l α |
l1 ∩ l2 |
|
Признак перпендикулярности двух плоскостей. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Теоремы о перпендикулярных прямых и плоскостях:
1. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она
перпендикулярна и другой. |
1 |
ǁ 2 |
l2 α |
|
l1 |
α |
|
2.Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.
1 |
|
α |
1 ǁ 2 |
l2 |
|
α |
|
3.Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой. α ǁ l
l α
4.Если две плоскости перпендикулярны одной и той же прямой , то они параллельны.
Перпендикуляр и наклонная |
l2 α |
Теорема. Если из одной точки вне плоскости проведены l1 |
I l3 α |
Перпендикуляр и наклонные, то: |
|
1.Наклонные, имеющие равные проекции, равны;
2.Из двух наклонных больше та, проекция которой больше
3.Равные наклонные имеют равные проекции;
4.Из двух проекций больше та, которая соответствует большей наклонной.
Теорема о трёх перпендикулярах. Для того чтобы прямая, лежащая в плоскости, была перпендикулярна наклонной, необходимо и достаточно, чтобы эта прямая была перпендикулярна проекции наклонной.
l ϵ α i l1∩ α=C l1 ∩ l3=A l3 α
l1 l l4
Теорема о площади ортогональной проекции многоугольника на плоскость. Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению площади многоугольника на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.