2) Определение движения точки естественным способом.

Координатным способом обычно определяют движение точки, не ограниченные какими-либо условиями, связями. Если на движение точки наложены ограничения, на скорость или координаты, то определить такое движение координатным способом совсем не просто. Удобнее использовать естественный способ задания движения.

Определим, например, движение точки по заданной неподвижной линии, по заданной траектории (рис. 7).

Рис.7

 

На точку М кроме заданных активных сил , действует реакция линии. Показываем составляющие реакции  по естественным осям 

Составим основное уравнение динамики   и спроектируем его на естественные оси

Так как  то получим дифференциальные уравнения движения, такие

                                        (5)

Здесь сила  - сила трения. Если линия, по которой движется точка, гладкая, то Т = 0 и тогда второе уравнение будет содержать только одну неизвестную – координату s:

.

Решив это уравнение, получим закон движения точки , а значит, при необходимости, и скорость и ускорение. Первое и третье уравнения (5) позволят найти реакции  и .

 

Рис. 13.5.

Пример 5. Лыжник спускается по цилиндрической поверхности радиуса r. Определим его движение, пренебрегая сопротивлениями движению (рис. 8).

Рис.8

 

Схема решения задачи та же, что и при координатном способе (пример 4). Отличие лишь в выборе осей. Здесь оси N и Т движутся вместе с лыжником. Так как траектория – плоская линия, то ось В, направленную по бинормали, показывать не нужно (проекции на ось В действующих на лыжника сил будут равны нулю).

Дифференциальные уравнения по (5) получим такие

                              (6)

Первое уравнение получилось нелинейным: . Так как , то его можно переписать так: . Такое уравнение можно один раз проинтегрировать. Запишем  Тогда в дифференциальном уравнении переменные разделятся: . Интегрирование дает решение  Так как при t = 0:  и , то С₁= 0 и  а 

К сожалению, в элементарных функциях второй интеграл найти невозможно. Но и полученное решение позволяет сделать некоторые выводы. Можно найти скорость лыжника в любом положении как функцию угла . Так в нижнем положении, при , . А из второго уравнения (6) при  можно определить давление: . То есть давление на лыжника в нижнем положении равно его трехкратному весу.

Пример 6:   Точка,  имеющая массу m,  движется из состояния покоя по окружности радиуса R  с постоянным касательным ускорением . Определить действующую на точку силу в момент, когда она пройдет по траектории расстояние .

Рис.9

 

Решение: Применяя дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на естественные оси, имеем:

;     ;     ;

Так как  ,  то    ,    

;     ;

;     следовательно   ;

;       следовательно

 

Относительное движение материальной точки

В предыдущем параграфе показано было как определяется движение точки относительно неподвижной системы отсчета, абсолютное движение. Нередко приходится исследовать движение материальной точки относительно системы, которая сама движется и довольно сложным образом.

Точка М (рис.10) под действием некоторых сил  совершает сложное движение. Абсолютное определяется координа­тами x, y, z, относительное – координа­тами x₁, y₁, z₁.

Рис.10

 

Составим основное уравнение динамики для точки , где абсолютное ускорение . Поэтому уравнение будет таким  или .

Рис. 13.6.

Но  - переносная сила инерции,  - кориолисова сила инерции. Поэтому основное уравнение динамики для относительного движения запишем так

.                                 (7)

Спроектировав это векторное равенство на подвижные оси x₁, y₁, z₁, имея в виду, что проекции вектора ускорения на оси – есть вторые производные от соответствующих координат по времени, получим дифференциальные уравнения относительного движения

                               (8)

Сравнивая эти уравнения с дифференциальными уравнениями абсолютного движения, замечаем, что относительное движение материальной точки определяется такими же методами, что и абсолютное, надо лишь кроме обычных сил учесть переносную силу инерции и кориолисовусилу инерции.

Если переносное движение поступательное, равномерное и прямолинейное, т.е. подвижная система инерциальная, то ускорение  и . Значит  и дифференциальное уравнение (8) будет точно совпадать с дифференциальным уравнением абсолютного движения. Следовательно, движение точки во всех инерциальных системах описывается аналогичными законами (отличаются только постоянными интегрирования, зависящими от начальных условий).

Поэтому невозможно установить, наблюдая за движением точки, движется система поступательно, равномерно и прямолинейно или находится в покое. Этот вывод впервые был сделан Г.Галилеем и называется его именем – принцип относительности Галилея.

 

Пример 7. Вагон движется с постоянным ускорением . Определим траекторию движения предмета М, упавшего с полки высотой h, которую увидит наблюдатель, пассажир, сидящий в вагоне (рис.11).

Рис. 13.7.

Рис.11

 

Порядок решения задачи тот же, что и при определении абсолютного движения. Только оси надо провести по вагону и учесть кроме веса предмета  переносную силу инерции  (кориолисова сила инерции  – переносное движение поступательное).

Дифференциальные уравнения относительного движения получаются такими

Решение этих уравнений

Используя начальные условия (при t = 0: x₁ = 0, y₁ = h, , т.к. ), найдем постоянные интегрирования: , . Поэтому уравнения движения:  Траекторию движения получим, исключив параметр t:  Это уравнение прямой (рис. 11). Предмет М упадет на пол вагона на расстоянии  от края полки (при ).

Если вагон будет двигаться равномерно (W = 0), то s = 0. Наблюдатель увидит траекторию – вертикальную прямую, такую же, как и при неподвижном вагоне.

 

Пример 8. Внутри трубки, вращающейся с постоянной угловой скоростью  вокруг вертикальной оси, находится шарик М, привязанный нитью длиной а к оси вращения (рис. 12). Определим движение шарика в трубке после того, как нить оборвется. Сопротивление воздуха учитывать не будем.

Рис. 13.8.

Рис.12

 

Траектория движения шарика в трубке – прямая. Поэтому для определения этого движения достаточно одной координаты х₁. Начало координат, точка О, - на оси вращения. В промежуточном положении на шарик действуют силы: вес , две составляющие реакции трубки . Добавляем переносную силу инерции  кориолисову силу инерции  и составляем дифференциальное уравнение движения:  Или, после подстановки значения силы инерции и преобразований: 

Решение такого дифференциального уравнения, как известно, имеет вид:  и . Так как при t = 0  x₁ = 0,  то С₁ +С₂ = а,  С₁  – С₂ = 0. Значит  и уравнение движения станет таким 

Относительная скорость . А т.к. , то

  

Можно теперь определить относительную скорость шарика в любом положении. Так шарик вылетит из трубки длиной l со скоростью