МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ

ХАРКІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ БУДІВНИЦТВА ТА АРХІТЕКТУРИ

Конспект лекцій з курсу

“ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ ТА ЕЛЕМЕНТИ

Математичної статистики “ Розділ “теорія ймовірностей”.

Харків ХДТУБА 1999

ЗМІСТ

Передмова 7

1. Основні поняття теорії ймовірностей 3

1.1. Випадкові події та їх алгебра 3

1.1.1. Первісні поняття. Подія 3

1.1.2. Алгебра випадкових подій. 6

1.2. Аксіоми та властивості ймовірності 8

1.2.1. Частота та ймовірність випадкової події 8

1.2.2. Аксіоми ймовірності та її властивості. 9

1.2.3. Принцип практичної вірогідності 10

1.3. Теорема множення та її наслідки 11

1.3.1. Умовна ймовірність 11

1.3.2. Формула повної ймовірності 14

1.3.3. Теорема гіпотез (формули Бейєса) 17

1.4. Випробування із скінченною кількістю наслідків 19

1.4.1. Класичне означення ймовірності 19

1.4.2. Комбінаторні методи підрахунку кількості наслідків 20

1.5. Повторні випробування 24

1.5.1. Схема Я.Бернуллі. Узагальнення А.Маркова 24

1.5.2. Асимптотичні формули для схеми Бернуллі. 27

2. Випадкові величини 31

2.1. Одновимірні випадкові величини 31

2.1.1. Випадкова величина та її функція розподілу 31

2.1.2. Дискретні випадкові величини 32

2.1.3. Неперервні випадкові величини 34

2.1.4. Перетворення розподілів 40

2.2. Випадкові вектори 42

2.2.1. Функція розподілу випадкового вектора 42

2.2.2. Дискретний випадковий вектор 43

2.2.3. Неперервний випадковий вектор 44

2.2.4. Найважливіші види двовимірних розподілів. 47

2.2.5. Закон розподілу суми випадкових величин 53

2.2.6. Ентропія і інформація 55

3. Числові характеристики випадкових величин 58

3.1. Математичне сподівання та його властивості 58

3.1.1. Стійкість середнього арифметичного 58

3.1.2. Математичне сподівання випадкової величини 58

3.1.3. Математичне сподівання функції випадкової величини 60

3.1.4. Математичне сподівання функції випадкового вектора 61

3.1.5. Кореляційний момент випадкових величин 63

3.2. Дисперсія випадкової величини 65

3.2.1. Дисперсія випадкової величини та її властивості 65

3.2.2. Дисперсія суми випадкових величин 69

3.2.3. Нерівність П.Чебишева 71

3.3. Кореляція 73

3.3.1. Коефіцієнт кореляції та кореляційна матриця 73

3.3.2. Регресія 76

3.4. Прикладні задачі 79

3.4.1. Теорія масового обслуговування. 79

3.4.2. Найпростіші задачі теорії надійності 85

Додатки 88

Таблиця 1. 88

Таблиця 2. 89

Таблиця 3. 90

Таблиця 4. 91

Таблиця 5. 92

Література 94

Передмова

Конспект лекцій підготовано для студентів технічних ВУЗ’ів. При його створенні ставилася задача відібрати матеріал, який можна викласти за час, відведений учбовим планом на курс теорії ймовірності та математичної статистики. Книга може служити основою даного курсу для інженерів різних спеціальностей та посібником для бажаючих познайомитись з теорією ймовірності самостійно.

В основу конспекту покладено курс лекцій, який протягом ряду років читався Є.З.Могульським. Нашою метою було, опустивши формальні доведення, викласти основні факти та закономірності, властиві ймовірнісним процесам реального світу.

У даному конспекті лекцій поруч з основними результатами, що традиційно викладаються в курсі, розглянуто ряд питань, що мають прикладний інтерес (теорія масового обслуговування, теорія надійності, випадкові процеси). Посібник містить велику кількість прикладів і прикладних задач. Автори не намагались включити до книги складні задачі проблемного характеру, а в основному підбирали задачі учбового характеру.

Конспект лекцій складається з двох книг. Перша книга – “Теорія ймовірностей”, друга книга – “Випадкові процеси. Елементи математичної статистики”. Конспект лекцій по теорії ймовірностей складається з трьох глав (глави 1–3) і додатка. Глави розбиваються на розділи, а ті в свою чергу на пункти. Номер розділу складається з номера глави і порядкового номера в даній главі (наприклад, розділ 2.1). Номер малюнка також складається з номера глави і порядкового номера в даній главі. Таким чином мал.2.9 вказує на дев’ятий малюнок другої глави. Формули мають унікальний номер в розділі, а приклади – в пункті. Посилання на формулу має вигляд : формула (3) розділу 2.4. При посиланні на приклад вказується номер пункту: приклад 2 пункту 2.2.3.