Kn-14
.pdf2.1. ПЕРЕВІРКА АНАЛІТИЧНОСТІ ФУНКЦІЇ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ . ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ ТА ІНТЕГРУВАННЯ ФУНКЦІЇ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ
Нехай дано дві площини комплексних чисел
w u iv. Розглянемо деяку множину точок D у площині z і
множину точок G в площині w.Якщо кожному числу z D за деяким законом ставиться у відповідність конкретне комплексне число
w G,то говорять, що |
на |
площині D задана однозначна |
функція |
||||||||||||
комплексної змінної, |
що |
відображає |
множину |
D |
в множину |
||||||||||
G.Символічно це позначають так :w f z . |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Множину |
D називають областю визначення функції f z . |
|||||||||||||
Якщо кожна точка множини G є значенням функції, то G область |
|||||||||||||||
значень цієї функції, |
або образ множини D за допомогою функції |
||||||||||||||
f G f D . В цьому разі говорять, |
що функція f |
відображає |
|||||||||||||
D на G. |
|
|
z D відповідає декілька |
|
|
|
|
w, то |
|||||||
Якщо |
кожному |
різних |
значень |
||||||||||||
функція w f z називається багатозначною. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
Функцію |
f z можна записати у вигляді |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
f z u x,y iv x,y , x,y D, |
|
|
|||||||||
(2.1) |
u x,y Re f z , |
v x,y Im f z , |
x,y D |
|
|||||||||||
де |
дійсні |
||||||||||||||
функції від змінних x, y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Похідною від функції f z у точці z |
називається границя |
|||||||||||||
|
|
w |
|
|
|
|
f z z f z |
|
|
dw |
|
||||
|
lim |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
, |
(2.2) |
||
|
z 0 z |
z 0 |
|
z |
|
|
|
|
dz |
|
|
||||
якщо z прямує до нуля будь-яким чином. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Якщо функція |
f z |
має неперервну похідну в кожній точці |
області D, то вона називається аналітичною в цій області. Необхідними і достатніми умовами аналітичності функції є
умови Коші-Рімана (Ейлера - Даламбера):
182
u v , u v .x y y x
(2.3)
Тоді, наприклад,
dw u i v . dz x x
(2.4)
Інтеграл від неперервної в області D функції комплексної змінної f z взовж лінії L : z t x t iy t t визначають так:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
f z dz u iv dx idy f z t z t dt |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
L |
|
|
|
|
|||||
(2.5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Якщо функція f z аналітична |
в однозв’язній замкненій |
|||||||||
області |
|
з кусково-гладкою границею |
L, то має місце формула |
|||||||
D |
||||||||||
Коші |
1 |
|
|
f z |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
f z0 |
|
|
|
|
|
dz, |
|
|
|
|
2 i |
z z |
0 |
|
|
||||
(2.6) |
|
|
|
L |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
контура L, а |
|
||||
де z0 будь-яка точка всередині |
інтегрування |
здійснюється в додатньому напрямку, тобто проти стрілки годинника.
АР - 2.1
1. Дослідити на диференційовність та аналітичність функцію, знайти її похідну, якщо вона існує:
а) f z ei 2z 1; б) f z z2 Rez iIm z2
2. Знайти аналітичну функцію f z , якщо відома її дійсна
частина
u x,y x3 3xy2.
Відповідь: ( f x x3 3xy2 i 3x2y y3 C ).
183
3. Обчислити інтеграли:
а) z 1 Re z 1 dz,
L
де L - відрізок прямої, що з’єднує точки z1 1 i та z2 1 i;
б) |
|
z |
|
dz; |
|
в) |
|
2z ez |
|
dz. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
z |
|
2 |
z 3i |
|
|
z 1 |
|
3 |
z |
|
( z 3) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
8 |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 e |
3 |
). |
|||
( Відповіді: а) |
|
|
|
|
i ; |
б) 0; |
|
|
в) |
|
i |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
СР - 2.1
1. При якому значенні функція f z 3y i xдиференційована? (Відповідь: = -3) .
2. Знайти аналітичну функцію f z , якщо відома її уявна
частина
v x,y x y
( Відповідь: f z x y C i x y ).
3. Обчислити інтеграли:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
а) L - коло |
|
|
z 3 |
|
2; |
|
|||||
|
|
|
|
||||||||
б) L - коло |
|
z i |
|
|
|
2; |
|
||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
z 1 |
|
3. |
|
||||||
в) L - коло |
|
|
|
(Відповідь: а) 0; б) ; в) 0 ) .
2
184
|
|
ІДЗ - 2.1 |
|
|
|
1. Дослідити на диференційованість та аналітичність функцію |
|||
та знайти її похідну, якщо вона існує. |
|
f z 2z2 3iz. |
||
1.1. |
f z z z2. |
1.2. |
||
1.3. |
f z z 1 cos z. |
1.4. |
f z z3. |
|
1.5. |
f z 2 3z z2. |
1.6. |
f z z e z . |
|
1.7. |
f z z2 |
iz. |
1.8. |
f z iz2. |
1.9. |
f z z2 |
z 4. |
1.10. |
f z z iz3. |
1.11. |
f z 4z 3iz2. |
1.12. |
f z 3z2 iz 5. |
1.13.
1.15. |
|
|
1.17. |
f z z2 z |
2i. |
1.19. |
f z iz2 2z. |
|
1.21. |
f z 6 z z2. |
|
1.23. |
f z z 3 e2z . |
|
1.25. |
f z z 2 cos3z. |
|
1.27. |
f z z3 2z. |
|
1.29. |
f z zez2 . |
1.14.
1.16.f z z3 4iz.
1.18.f z 2z2 z 3.
1.20.f z z 2 e4z .
1.22.f z z3 iz2 6.
1.24.f z z2 4z i.
1.26.f z z3 z 4i.
1.28.f z z3 z2.
1.30.f z z 1 sin2z.
185
|
|
2. Знайти аналітичну функцію f z u x,y iv x,y , |
||||||||||||||||||||
якщо відома її дійсна або уявна частина. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2.1. |
v 2xy 3y. |
|
2.2. |
u x3 3xy2. |
||||||||||||||||||
2.3. |
u x2 y2 x. |
2.4. v 2xy x. |
||||||||||||||||||||
2.5. |
v 4xy 3x. |
|
2.6. |
|
u x y3 |
3x2y. |
||||||||||||||||
2.7. |
u x3 3xy2 x. |
2.8. |
|
v y 2xy. |
||||||||||||||||||
2.9. |
v 4y 3x2 3y2. |
2.10. u x2 y2 3x 2. |
||||||||||||||||||||
2.11. u x2 y2 y. |
2.12. v 3x2y y3 y. |
|||||||||||||||||||||
2.13. v 3x2y y3. |
2.14. u 2x2 2y2 3y. |
|||||||||||||||||||||
2.15. |
u 4x 6xy. |
|
2.16. v y x3 |
3xy2. |
||||||||||||||||||
2.17. v 3x2y y3 |
x2 y2. |
2.18. u x2 y2 |
x 4. |
|||||||||||||||||||
2.19. u x3 3xy2 2x. |
2.20. v 6xy x. |
|||||||||||||||||||||
2.21. |
v 2xy y. |
|
2.22. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
u x3 3xy2 2xy 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2.23. |
u 2x2 2y2 x 3. |
2.24. |
v 2xy y 2. |
|||||||||||||||||||
2.25. v 2x2y y3. |
2.26. |
u x2 y2 x. |
||||||||||||||||||||
2.27. |
u 3x2 3y2 |
y 5. |
2.28. |
v 4xy y. |
||||||||||||||||||
2.29. |
v 3x2y y3 |
2y. |
2.30. |
u x3 |
|
|
3xy2 4y. |
|||||||||||||||
|
|
3. Обчислити інтеграли: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3.1. |
|
|
dz |
, |
|
|
|
а) |
L : |
|
|
z i |
|
|
|
|
2; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
z |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
L |
2z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
L : |
|
|
|
z i |
|
|
5. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3.2. |
|
|
ez |
|
|
, |
|
а) L : |
|
z i |
|
3; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
z |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
L |
z 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
L : |
|
|
|
z i |
|
|
4. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
186
dz
3.3. L z 2 3 z 2 3 ,
dz
3.4. ,
L 1 z2
dz
3.5. L z 1 3 z 1 ,
3.6. |
|
dz |
, |
|
z |
2 |
4 |
||
L |
|
|
||
|
|
|
|
dz
3.7. ,
L z2 16 z 4
dz
3.8. L z z i ,
ezdz
3.9. L z 2i z i ,
z
3.10. L z i z 5 dz,
3.11. |
sin z |
|
|
dz, |
|
z 3i z |
||
L |
|
|
а) L : z z0 2, z0 2i;
б) L : z z0 4, z0 1 i.
а) L : z 2 i 2,5;
б) L : z 2 i 4.
а) |
L : |
z 2 |
|
|
2; |
|
б) |
L : |
|
z 2 |
|
4. |
|
|
|
а) L : z 1 i 2;
б) L : z 1 i 4,5.
а) L : z 2 3i 3;
б) L : z 2 3i 8.
а) L : z 2i 2,5;
б) L : z 2i 4.
а) L : z 2i 3;
б) L : z 2i 5.
а) L : z 3;
б) L : z 6.
а) L : z 1 2;
187
б) L : z 1 4.
3.12. |
|
|
|
zez |
|
|
|
dz, |
а) |
L : |
|
|
|
z 1 2i |
|
3; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z 1 z i |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.13. |
|
|
|
z4dz |
, |
|
б) L : |
|
|
|
|
z 1 2i |
|
4. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
а) |
L : |
|
|
|
z 4 |
|
|
|
|
|
|
|
4; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
L |
1 z 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
L : |
|
|
|
z 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.14. |
|
|
zdz |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
а) |
L : |
|
|
|
|
|
|
z 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2; |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
L : |
|
z 1 |
|
|
|
|
|
4. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.15. |
|
|
|
ezdz |
, |
|
а) |
L : |
|
|
|
|
|
|
|
z 3i |
|
|
2,5; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z 2i z i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
L : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z i |
|
|
|
|
|
|
4. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
3.16. |
|
|
|
|
ez |
|
|
dz, |
а) |
L : |
|
|
z 1 |
|
2; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
L z 2 z 3i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
L : |
|
|
|
|
z 1 |
|
|
|
5. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.17. |
|
|
|
|
z2dz |
|
, |
а) |
L : |
|
|
|
|
|
z 3 2i |
|
3; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z 3 z 2i |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 3 2i |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) L : |
|
|
|
|
7. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.18. |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
а) |
L : |
|
z |
|
3; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z 4i z |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
L : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
5. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
3.19. |
|
|
|
zdz |
|
|
, |
|
|
|
а) |
L : |
|
|
|
|
|
|
|
z 2i |
|
2; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z i z i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) L : z 2i 4.
188
3.20. |
|
|
ez zd |
|
|
|
, |
а) |
L : |
|
z 2i |
|
|
|
|
3; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
L |
2i z 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3.21. |
|
|
sin z |
|
dz, |
б) L : |
|
|
|
|
|
z 2i |
|
6. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
а) |
L : |
|
z |
|
4; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z 5i z 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
L : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
6. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
3.22. |
|
|
|
|
z3 |
|
|
dz, |
а) |
L : |
|
z 5 |
|
3; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z 3i z 4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
L : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 5 |
|
|
|
|
8. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
3.23. |
|
|
|
|
|
z2dz |
, |
|
|
а) |
L : |
|
z 2i |
|
|
|
2; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z i z 3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
zez |
|
|
|
|
б) L : |
|
|
|
|
z 2i |
|
4. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.24. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 1 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dz, |
а) |
L : |
|
|
2; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z i z i |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 1 i |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
zsin z |
|
|
|
|
б) L : |
|
|
|
|
|
|
|
3. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.25. |
|
|
|
|
|
dz, |
а) |
L : |
|
|
z 2 i |
|
|
|
3; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
L |
i z 2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 2 i |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.26. |
|
zdz |
|
|
, |
|
|
|
|
|
б) L : |
|
|
|
5. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
L : |
|
|
|
|
|
|
|
|
z 3i |
|
|
|
|
2; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
ezdz |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) L : |
|
z 3i |
|
6. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.27. |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
а) |
L : |
|
|
z 2 i |
|
3; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) L : z 2 i 5.
189
3.28. |
z2dz |
, |
|
|
а) |
L : |
|
z 3 i |
|
2; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
z |
2 |
4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 3 i |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3.29. |
|
|
|
z |
|
dz, |
б) L : |
|
|
|
|
|
|
6. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
а) |
L : |
|
z |
|
|
1,5; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
z i z 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
L : |
|
z |
|
3. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3.30. |
|
cos z |
|
|
dz, |
а) |
L : |
|
z 2 2i |
|
4; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
z |
2 |
16 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) L : z 2 2i 8.
РОЗВ’ЯЗОК ТИПОВОГО ВАРІАНТА
1. Дослідити на диференційованість і аналітичність функцію та знайти її похідну, якщо вона існує.
f z 5z2 3iz 4
Визначимо дійсну та уявну частини функції. Оскільки
z x iy , то
f z 5 x iy 2 3i x iy 4 5x2 5y2 3y 4 i 10xy 3x
|
і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v x,y 10xy 3x. |
||
u x,y 5x2 5y2 3y 4, |
||||||||||||||
Перевіримо умови Коші-Рімана (2.3) : |
||||||||||||||
|
u |
|
10x; |
|
v |
10y 3; |
|
|||||||
|
|
|
x |
|
||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
u |
|
10y 3; |
|
|
v |
10x; |
|||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
||||
|
u |
|
v |
; |
u |
|
v |
. |
|
|||||
|
x |
y |
y |
|
x |
|
190
Умови Коші-Рімана для функції |
f z |
|
виконуються в будь-якій точці |
||||||||||||||||||||||||||||
площини z. |
|
|
|
|
|
f z 5z2 3iz 4-диференційована |
|
||||||||||||||||||||||||
Таким |
чином |
функція |
|
|
та |
||||||||||||||||||||||||||
аналітична |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Тоді |
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
z 10z 3i. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2. |
|
Знайти аналітичну функцію |
|
|
f z , якщо відома її дійсна |
|||||||||||||||||||||||||
частина |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u x,y 2x2 2y2 y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Знайдемо |
u |
4x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
v |
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
||
Використаємо |
умову |
Коші-Рімана |
|
|
|
. Тоді |
4x. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
y |
|
|||||||
Проінтегруємо останній вираз, отримаємо |
v x,y 4xy x , |
де |
|||||||||||||||||||||||||||||
x - довільна функція. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Тепер використаємо другу умову Коші-Рімана |
u |
|
v |
. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
x |
|
|||
Оскільки |
|
v |
4y x , то |
u |
4y x . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
З іншого боку за умовою |
|
u |
4y 1, звідки x 1. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Тоді x x c і |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
f z 2x2 |
2y2 |
|
y i 4xy x c або |
|
|||||||||||||||||||||||||||
f z 2x2 4ixy 2y2i ix y ic |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2 x iy 2 i x iy iC 2z2 iz iC . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
3. Обчислити інтеграли: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
L |
|
|
ezdz |
|
|
|
|
, |
|
а) L : |
|
z 1 2i |
|
2; |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
z 2 3 z 3i |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
191