Ind_3

Каныгина А.С. – Теория вероятностей Инд 3 до

Индивидуальная работа №3 Классическое определение вероятности. Условная вероятность. Теоремы теории вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса

Методические указания

Согласно своему порядковому номеру в списке группы выбирается соответствующий номер варианта (от 1 до 30). Студент выполняет только свой вариант на листах бумаги. Срок выполнения работы – 1,5 недели со дня выдачи заданий, за каждую просроченную неделю вычитается 0,1 балл.

• Минимальная оценка работы составляет 0,4 при условии выполнения всего объема заданий не зависимо от срока сдачи (студент не допускается к зачету, если не зачтены все работы, предусмотренные в семестре).

• Если, при проверке работы найдены ошибки или недочеты, которые влекут за собой снижение оценки балла, то, по желанию, студент может исправить это положение, решив или выполнив подобный пример или задание, предварительно получив его у преподавателя.

• Требуется выполнить предложенные задания согласно номеру варианта; по каждому из заданий привести полное решение и получить результат решения или доказательства.

• Работа сдается на проверку сдельно, т.е. при выполнении ВСЕХ заданий, в противном случае работа не оценивается.

Индивидуальная работа №3 оценивается следующим образом:

• Задание 1 весит max 0,5 балла

• Задание 2 весит max 0,5 балла

В сумме составляет 1 балл.

Вычисление вероятностей случайных событий по классической формуле. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

1. Экзаменационный билет содержит 3 вопроса. Вероятность того, что студент ответит на первый и второй вопросы билета, равны 0,9; на третий – 0,8. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого необходимо ответить:

1. на все вопросы;

2. хотя бы на два вопроса.

2. В группе студентов, состоящей из 20 человек, 12 юношей и 8 девушек. Для дежурства случайным образом отобрано двое студентов. Какова вероятность того, что среди них будет:

1. один юноша и одна девушка;

2. оба юноши;

3. обе девушки?

3. Техническое устройство содержит три независимо работающих элемента. Вероятности отказа этих элементов соответственно равны 0,05; 0,07; 0,09. Найти вероятность того, что техническое устройство не сработает, если для этого достаточно, чтобы:

1. отказал хотя бы один элемент;

2. отказало не более двух элементов.

4. В барабане револьвера 7 гнезд, из них в 5 вложены патроны. Барабан приводится во вращение, потом нажимается спусковой курок. Какова вероятность того, что, повторив такой опыт 2 раза подряд:

1. оба раза не выстрелит;

2. оба раза револьвер выстрелит?

5. Для сигнализации на складе установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при необходимости первое устройство сработает, составляет , для второго и третьего устройства эти вероятности равны соответственно и . Найти вероятность того, что в случае необходимости сработают:

1. ни одно устройство;

2. только одно устройство;

3. не менее двух устройств.

6. Среди 20 лотерейных билетов имеется 3 выигрышных. Какова вероятность того, что среди двух взятых наугад билетов окажется:

1. только один выигрышный билет;

2. хотя бы один выигрышный билет?

7. В группе из 18 студентов имеется 5 отличников. Выбираются наудачу три студента. Какова вероятность, что:

1. все окажутся отличниками;

2. не более двух окажутся отличниками?

8. Студент знает 24 из 30 вопросов по первому разделу и 32 из 35 вопросов по второму разделу курса. На экзамене ему случайным образом предлагается по одному вопросу из каждого раздела курса. Какова вероятность того, что студент ответит правильно:

1. хотя бы на один вопрос;

2. на оба вопроса?

9. Алиса Беспечная нашла в коробке своих родителей пять одинаковых кассет с фотопленками, из которых три пленки отсняты, а две – чистые. Будучи не в состоянии установить, какие из них отсняты, Алиса решает отобрать наугад две пленки, а остальные проявить. Какова вероятность того, что в отобранных кассетах окажутся чистыми:

1. обе пленки;

2. хотя бы одна пленка?

10. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что наугад взятое изделие окажется бракованным, равна 0,15. Проверено три изделия. Какова вероятность того, что из них окажутся бракованными:

1. два изделия;

2. не более двух изделий?

11. В магазин поступило 14 телевизоров, из которых 5 требуют дополнительной регулировки. Какова вероятность того, что среди двух отобранных случайным образом для продажи телевизоров потребуют регулировки:

1. хотя бы один телевизор;

2. оба телевизора?

12. Для сигнализации на складе установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при необходимости первое устройство сработает, составляет , для второго и третьего устройства эти вероятности равны соответственно и . Найти вероятность того, что в случае необходимости сработают:

1. все устройства;

2. только одно устройство;

3. хотя бы одно устройство.

13. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,6 для первого и 0,8 для второго стрелка. Найти вероятность того, что при одном залпе:

1. только один стрелок поразит мишень;

2. хотя бы один стрелок поразит мишень?

14. Известно, что среди 10 бутылок минеральной воды, этикетки на которых отсутствуют, имеется 4 бутылки производства «Ариант». Какова вероятность того, что среди взятых наугад двух бутылок будет содержаться от производителя «Ариант»:

1. только одна бутылка;

2. хотя бы одна бутылка?

15. В коробке находится 8 однотипных ключей, из которых три ключа подходят к замку. Из коробки наугад берут по одному ключу и пытаются им открыть замок (взятый ключ в коробку не возвращают). Какова вероятность того, что замок будет открыт:

1. с первой попытки;

2. хотя бы со второй попытки?

16. Вероятность того, что взятая наугад деталь из некоторой партии деталей, будет бракованной равна 0,2. Найти вероятность того, что из трех взятых деталей:

1. 2 окажется не бракованными;

2. хотя бы один окажется не бракованным.

17. Вероятности того, что нужная деталь находится в первом, втором, третьем или четвертом ящике, соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятности того, что эта деталь находится:

1. не более, чем в трех ящиках;

2. не менее, чем в двух ящиках.

18. Монета брошена 4 раза. Найти вероятность того, что:

1. герб выпадет ровно два раза;

2. герб выпадет хотя бы раз.

19. Из партии товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется высшего сорта равна 0,3. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий:

1. только два будут высшего сорта;

2. ни одно не будет высшего сорта?

20. Для сигнализации на складе установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при необходимости первое устройство сработает, составляет , для второго и третьего устройства эти вероятности равны соответственно и . Найти вероятность того, что в случае необходимости сработают:

1. ни одно устройство;

2. только два устройства;

3. не более двух устройств.

21. Вероятность выигрыша по одному билету лотереи равна . Какова вероятность, купив 5 билетов, выиграть:

1. по всем пяти билетам;

2. хотя бы по одному билету?

22. Охотник выстрелил три раза по удаляющейся цели. Вероятность попадания в нее в начале стрельбы равна 0,8, а после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Найти вероятность того, что:

1. промахнется все 3 раза;

2. попадет 2 раза.

23. Из колоды карт (их 36) вытаскивают наудачу 5 карт. Какова вероятность того, что будут вытащены:

1. 2 туза и 3 шестерки;

2. семерка треф.

24. Для поражения цели достаточно одного попадания. По цели произведено три выстрела с вероятностями попадания 0,75; 0,85; 0,90 соответственно. Найти вероятность того, что:

1. цель будет поражена;

2. цель не будет поражена;

3. цель поразит только один выстрел.

25. В урне находится 12 шаров, из которых 5 белых. Из нее наугад друг за другом извлекают 2 шара. Какова вероятность того, что среди извлеченных шаров окажутся белыми:

1. оба шара;

2. только один шар?

26. В лифт 9-этажного дома вошли 4 человека. Каждый из них независимо друг от друга может выйти на любом (начиная со второго) этаже. Какова вероятность того, что все вышли:

1. на разных этажах;

2. на одном этаже;

3. на 5 этаже.

27. В маршрутное такси, в котором 15 пассажиров, предстоит сделать 20 остановок. Предполагая, что все возможные способы распределения пассажиров по остановкам равновозможные, найдите вероятность того, что никакие 2 пассажира не выйдут на одной остановке.

28. Вероятность безотказной работы в течение гарантийного срока составляет 0,8 для первого прибора и 0,95 – для второго прибора. Какова вероятность того, что в течение гарантийного срока окажутся работоспособными:

1. хотя бы один прибор;

2. оба прибора?

29. В урне находится 15 шаров, пять из которых красные, а остальные белые. Наудачу друг за другом извлекают три шара. Какова вероятность того, что:

1. все окажутся красными;

2. все окажутся белыми;

3. не более двух окажутся красными?

30. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадает:

1. только один из стрелков;

2. хотя бы один из стрелков.

Решить задачи, применяя формулу полной вероятности или формулу Байеса:

1. В специализированную больницу поступают в среднем 50% больных с заболеванием ОРВИ, 30% – с заболеванием Грипп, 20% – с заболеванием пневмония. Вероятность полного излечения болезни ОРВИ равна 0,7; для гриппа и пневмонии эти вероятности равны 0,8 и 0,9 соответственно. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что больной страдал заболеванием ОРВИ.

2. На базу поступает чай от двух чаеразвесочных фабрик. От первой поступает чая в 4 раза больше, чем со второй. Первая фабрика поставляет 5% дефектных упаковок, вторая – 10%. Найти вероятность того, что случайно выбранная упаковка, оказавшаяся дефектной, поступила от первой фабрики.

3. Три сестры: Даша, Маша и Наташа - моют посуду после ужина. Старшая, Маша, моет посуду в половине всех случаев, Даша и Наташа – в четверти каждая. Если посуду моет старшая, то вероятность того, что посуда будет разбита – 0,02. Если это делает Даша, то вероятность – 0,03. Для младшей эта вероятность равна 0,04. Раздался звон разбитой посуды. Найти вероятность того, что на кухне хозяйничала Наташа.

4. В партии из 100 одинаковых по внешнему виду изделий смешаны 40 шт. I сорта и 60 шт. II сорта. Найти вероятность того, что взятые два изделия окажутся:

1. одного сорта;

2. разных сортов.

5. Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому товароведу, равна 0,55, а ко второму – 0,45. Вероятность того, что изделие будет признано стандартным первым товароведом, равна 0,9, а вторым – 0,98. Изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что его проверил второй товаровед.

6. На сборку попадают детали, изготовленные тремя автоматами. Известно, что первый автомат дает 0,4%, второй – 0,2% и третий – 0,6% брака. Найдите вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 500, со второго – 1000 и с третьего – 1250 деталей. Если деталь оказалась бракованной, то какой из трех автоматов ее вероятнее всего изготовил?

7. Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы четыре студента, из второй – шесть, из третьей – пять студентов. Вероятность того, что отобранный студент из первой, второй, третьей группы попадет в сборную института, равна соответственно 0,5, 0,4 и 0,3. Какова вероятность того, что наудачу взятый студент попадет в сборную? Если студент попал в сборную, то к какой из трех групп он вероятнее всего принадлежит?

8. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.

9. В студенческом стройотряде 2 бригады первокурсников и одна – второкурсников. В каждой бригаде первокурсников 5 юношей и 3 девушки, а в бригаде второкурсников 4 юношей и 4 девушки. По жеребьевке из отряда выбрали одну из бригад и из нее одного человека для поездки в город. Какова вероятность того, что:

1. выбран юноша;

2. Выбранный человек оказался юношей. Какова вероятность, что он первокурсник?

10. В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих шаров наудачу взят шар. Какова вероятность того, что:

1. взят белый шар;

2. Выбранный шар оказался белым. Какова вероятность, что он из первой урны?

11. 60% учащихся в школе – девочки. 80% девочек и 75% мальчиков имеют билеты в театр. В учительскую принесли кем-то потерянный билет. Какова вероятность того, что этот билет принадлежал девочке? Мальчику?

12. Магазин получил две равные по количеству партии обуви в одинаковых упаковочных коробках. Известно, что в среднем 8% обуви в первой партии и 14% во второй партии имеют определенные дефекты отделки верха. Какова вероятность того, что взятая наугад в магазине пара обуви не будет иметь дефектов отделки верха?

13. Противотанковая батарея состоит из 10 орудий. Для любого из 6 орудий первой нруппы вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Для любого из 4 орудий второй группы эта вероятность равна 0,9. Наудачу выбранное орудие произвело два выстрела по цели, в результате чего были зафиксированы два попадания. Найти вероятность того, что стрелявшее орудие принадлежит:

1. первой группе;

2. второй группе.

14. Два товароведа производят приемку партии изделий по качеству. Вероятность того, что очередное изделие попадет к первому товароведу, равна 0,4, а ко второму – 0,6. Первый товаровед выявляет дефектное изделие с вероятностью 0,95, второй – с вероятностью 0,8. Одно из дефектных изделий было признано годным к эксплуатации. Какова вероятность того, что это изделие проверял второй товаровед?

15. В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела вероятность равна 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него?

16. Укупорка банок томатного сока производится двумя автоматами, продукция которых поступает на общий конвейер. Производительность второго автомата в 1,5 раза выше производительности первого. Доля банок с дефектами упаковки в среднем составляет 0,5% у первого и 0,2% у второго автомата. Какова вероятность того, что взятая наугад банка сока не будет иметь дефекты упаковки?

17. Покупатель может приобрести некоторое изделие в двух магазинах. Вероятность обращения его в каждый из магазинов зависит от их местоположения и соответственно равны 0,3 и 0,7. Вероятность того, что к моменту прихода покупателя нужное ему изделие уже будет распродано, равна 0,2 для первого и 0,6 для второго магазина. Покупатель посетил один из этих магазинов и приобрел изделие. Какова вероятность того, что он купил его в первом магазине?

18. Известно, что 5% всех мужчин и 0,25% женщин – дальтоники. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность того, что это мужчина? (считать, что мужчин и женщин одинаковое количество).

19. В двух одинаковых урнах находится по 10 шаров двух цветов: белого и синего. Количество синих шаров в первой урне 3 штуки, а во второй – 6 штук. Студент выбирает наугад одну из урн и извлекает из нее случайным образом шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар окажется синего цвета?

20. Пассажир может приобрести билет в одной из двух касс: вероятность обращения его в первую кассу составляет 0,4, а во вторую – 0,6. Вероятность того, что в кассах билетов уже нет, такие: для первой кассы – 0,1; для второй – 0,5. Пассажир обратился в одну из касс и приобрел билет. Какова вероятность того, что он приобрел билет в первой кассе?

21. Два стрелка независимо один от другого стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8; для второго – 0,4. После стрельбы в мишень обнаружена одна пробоина. Что более вероятно, попал первый стрелок или нет?

22. Два специалиста ОТК завода проверяют качество выпускаемых изделий, причем каждое может с одинаковой вероятностью быть проверено как первым, так и вторым специалистом. Вероятность пропуска дефекта первым специалистом составляет 0,1, а вторым – 0,5. Одно из дефектных изделий было признано годным к эксплуатации. Какова вероятность того, что это изделие проверял первый специалист.

23. В магазин от двух поставщиков поступила женская обувь в одинаковых упаковках. От первого поставщика поступило 480 пар, из них 360 пар обуви черного цвета. От второго поставщика поступило 320 пар, в том числе 120 пар обуви черного цвета. В выбранной наугад упаковке оказалась обувь черного цвета. Какова вероятность того, что она поступила от второго поставщика?

24. Два товароведа производят приемку партии товара по качеству. Вероятность того, что очередное изделие попадет к первому товароведу, составляет 0,55; а ко второму – 0,45. Вероятность пропуска дефекта первым товароведом равна 0,05, а вторым – 0,15. Определить вероятность того, что в процессе приемки дефектное изделие будет обнаружено.

25. Фасовка сахара производится двумя полуавтоматами с одинаковой производительностью, продукция которых поступает на общий конвейер. Вероятность появление дефектной упаковки для первого полуавтомата составляет 0,01, а второго – 0,006. Найти вероятность того, что выбранная наугад упаковка будет иметь дефект.

26. Из 100 студентов, пришедших сдавать экзамен, 80 подготовились к экзамену, а 20 не подготовились. Вероятность того, что подготовившейся студент сдаст экзамен равна 0,9; неподготовившийся студент сдаст экзамен с вероятностью 0,05. Наудачу выбранный студент сдал экзамен. Какова вероятность того, что он был подготовлен к нему?

27. Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара, переложен один вынутый наудачу шар в урну, содержащую 4 белых и 5 черных шара. Найдите вероятность того, что шар, наудачу вынутый из второй урны, окажется белым. Если вынутый из второй урны шар окажется белым, то какова вероятность того, что из первой урны был переложен: а) белый шар; б) черный шар?

28. Пассажир может обратиться за получением билета в одну из трех касс. Вероятности попадания в каждую кассу зависят от их местонахождения и равны соответственно 0,2; 0,5; 0,3. Вероятности того, что в кассах все билеты проданы, равны соответственно 0,6; 0,9; 0,7. Какова вероятность того, что пассажир приобретет билет? Если пассажир приобрел билет, то в какой из трех касс он вероятнее всего купил билет?

29. В группе спортсменов 18 лыжников, 8 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалифицированную норму такова: для лыжника – 0,9; для велосипедиста – 0,8; для бегуна – 0,75. Найдите вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу, выполнит норму. Если спортсмен выполнил квалифицированную норму, то какова вероятность того, что этим спортсменом будет:

1. лыжник;

2. велосипедист;

3. бегун?

30. С первого станка на сборку поступает 40%, со второго – 30% и с третьего – 30% всех деталей. Вероятность изготовления бракованной детали для каждого станка соответственно равна 0,01; 0,03; 0,05. Найдите вероятность того, что наудачу поступившая на сборку деталь бракована. С какого станка вероятнее всего поступит на сборку бракованная деталь?

Страница 7 из 7