- •Министерство образования и науки украины
- •Содержание
- •Пояснительная записка
- •Структура курса
- •Модуль 1. Множества
- •Тема 1. Множества и операции над ними
- •Введение
- •1. Понятие множества и элемента множества
- •2.Способы задания множества
- •3. Отношения между множествами. Подмножество
- •Примеры
- •4. Круги Эйлера-Венна
- •Практическая работа. Понятие множества
- •Тема 2. Операции над множествами
- •1. Пересечение множеств
- •2. Объединение множеств
- •3. Законы пересечения и объединения множеств
- •Определение. Для любых множеств а, в и с выполняются равенства:
- •4. Вычитание множеств. Дополнение подмножества
- •Практическая работа. Операции над множествами
- •Вопросы к изучению
- •Основные понятия
- •Обозначения
- •Практическая часть
- •Тема 2.1. Понятие разбиения множества на классы
- •1. Понятие разбиения множества на классы
- •Практическая работа. Разбиение множества на классы
- •Вопросы к изучению
- •Обозначения
- •Правила
- •Тема 2.2. Декартово произведение множеств
- •1. Декартово произведение множеств
- •2. Свойства операции нахождения декартова произведения
- •3. Кортеж. Длина кортежа
- •Практическая работа. Декартово произведение
- •Вопросы к изучению
- •Обозначения
- •Правила
- •Тема 3. Понятие соответствия Содержание
- •1. Понятие соответствия между множествами
- •Рассмотрим примеры соответствий, изучаемых в начальном курсе математики.
- •2. Способы задания соответствий
- •3. Соответствие обратное данному
- •4. Взаимно однозначные соответствия
- •5. Равномощные множества
- •Практическая работа. Соответствия между двумя множествами
- •Тема 4. Числовые функции
- •1. Понятие функции. Способы задания функций
- •2. Прямая и обратная пропорциональности
- •Основные понятия темы
- •Основные выводы, замечания
- •Тема 5. Отношения на множестве
- •1. Понятие отношения между элементами одного множества
- •2. Способы задания отношений
- •3. Свойства бинарных отношений
- •Практическая работа. Отношения на множестве
- •Тема 6. Выражение. Уравнение. Неравенство
- •Выражения и их тождественные преобразования.
- •1. Выражения и их тождественные преобразования
- •3. Уравнения с одной переменной
- •4. Неравенства с одной переменной
- •Практическая работа. Выражения и их преобразования. Числовые равенства и неравенства с одной переменной.
- •Практическая работа. Уравнения и неравенства с одной переменной.
- •Контрольная (зачетная) работа
- •Модуль 2. Математические утверждения и их структура
- •Тема 7. Математические понятия Содержание
- •1. Математические понятия. Объем и содержание понятия
- •Пусть заданы два понятия а и b. Объемы их обозначим соответственно а и в.
- •2. Отношение рода и вида между понятиями
- •4. Требования к определению понятий
- •5. Неявные определения
- •Практическая работа. Математические понятия
- •Вопросы к изучению
- •Представления о математических понятиях -
- •Обозначения
- •Тема 8. Высказывания и высказывательные формы
- •2. Конъюнкция и дизъюнкция высказываний
- •3. Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм
- •Практическая работа. Высказывания и высказывательные формы
- •Тема 8.1. Высказывания с квантором. Отрицание высказываний и высказывательных форм
- •1. Высказывания с кванторами
- •2. Истинность высказываний с кванторами
- •3. Отрицание высказываний и высказывательных форм
- •Практическая работа. Высказывания с кванторами. Отрицание высказываний и высказывательных форм
- •Тема 8.2. Отношения следования и равносильности между предложениями
- •1. Отношения следования между предложениями
- •2. Отношения равносильности между предложениями
- •Практическая работа. Отношения следования и равносильности между предложениями
- •Вопросы к изучению
- •Основные понятия темы
- •Обозначения
- •Тема 8.3. Структура теоремы. Виды теорем
- •1. Структура теоремы
- •2. Отличие теоремы от правила
- •3. Виды теорем
- •Практическая работа. Структура теоремы. Виды теорем
- •Тема 9. Математическое доказательство
- •1. Понятие умозаключения.
- •2. Дедуктивные умозаключения Умозаключения, построенные по схеме
- •3. Индуктивные умозаключения. Полная индукция
- •Все s1, s2,..., Sп исчерпывают весь класс s (4) Все s есть р
- •4. Неполная индукция
- •5. Математическая индукция
- •6. Аналогия
- •7. Умозаключения «от противного»
- •8. Некоторые виды неправильных умозаключений
- •9. Логическая структура математической задачи
- •10. Закон достаточного основания и аксиоматический метод в математике
- •Практическая работа. Математическое доказательство
- •Теоретическая часть Вопросы к изучению
- •Основные понятия темы
- •Практическая часть
- •Тема 10. Текстовая задача и процесс ее решения
- •1. Роль и место задач в начальном курсе математики. Функции текстовых задач
- •2. Структура процесса решения текстовой задачи
- •2. Методы и способы решения текстовых задач
- •3. Этапы решения задачи и приемы их выполнения
- •1. Анализ задачи
- •4. Поиск и составление плана решения задачи
- •5. Осуществление плана решения задачи
- •6. Проверка решения задачи
- •7. Моделирование в процессе решения текстовых задач
- •Практическая работа. Текстовая задача и процесс ее решения
- •Теоретическая часть Вопросы к изучению
- •Основные понятия темы
- •Практическая часть
- •Тема 11. Комбинаторные задачи и их решение
- •1. Комбинаторика
- •2. Правила суммы и произведения
- •3. Размещения и сочетания
- •Практическая работа. Комбинаторные задачи и их решение
- •Вопросы для коллоквиума
- •Модуль 3. Целые неотрицательные числа
- •Тема 12. Аксиоматическое построение системы натуральных чисел
- •1. Из истории возникновения понятия натурального числа
- •2. Об аксиоматическом способе построения теории
- •3. Основные понятия и аксиомы. Определение натурального числа
- •4. Количественные натуральные числа. Счет
- •Семинарское занятие. История возникновения понятия натурального числа Вопросы к изучению
- •Вопросы для самоконтроля
- •Задания для самостоятельной работы
- •Тема 13. Теоретико-множественный подход к построению натурального ряда чисел. Теоретико-множественный смысл арифметических действий.
- •1. Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и отношения «меньше»
- •2. Теоретико-множественный смысл суммы
- •3. Теоретико-множественный смысл разности
- •4. Теоретико-множественный смысл произведения
- •5. Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел
- •Практическая работа. Теоретико–множественный смысл суммы, разности, произведения, частного и отношения «меньше»
- •Теоретическая часть Вопросы к изучению
- •Основные понятия темы
- •Тема 14. Позиционные и непозиционные системы исчисления
- •1. Позиционные и непозиционные системы счисления
- •2. Запись числа в десятичной системе счисления
- •Практическая работа. Запись целых неотрицательных чисел
- •Теоретическая часть
- •Основные понятия темы
- •Тема 15. Алгоритмы действий над целыми неотрицательными числами
- •1. Алгоритм сложения
- •2. Алгоритм вычитания
- •3. Алгоритм умножения
- •4. Алгоритм деления
- •Практическая работа. Алгоритмы арифметических действий
- •Теоретическая часть Вопросы к изучению
- •Основные понятия темы
- •Тема 16. Отношение делимости и его свойства Содержание
- •Признаки делимости.
- •Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель.
- •1. Отношение делимости и его свойства
- •2. Признаки делимости
- •3. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель
- •4. Простые числа
- •5. Способы нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел
- •Практическая работа. Делимость натуральных чисел
- •Тема 17. О расширении множества натуральных чисел
- •1. Понятие дроби
- •2. Положительные рациональные числа
- •3. Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей
- •4. Действительные числа
- •Практическая работа. Действия над положительными действительными числами
- •Вопросы к коллоквиуму
- •Теоретико-множественный смысл отношения «меньше», «равно»
- •Теоретико-множественный смысл суммы.
- •Теоретико-множественный смысл разности.
- •Признаки делимости.
- •Тема 18. Натуральное число как мера величины. Измерение величин
- •1. Понятие положительной скалярной величины и ее измерения
- •2. Смысл натурального числа, полученного в результате измерения величины
- •3. Смысл суммы и разности
- •Практическая работа. Понятие положительной скалярной величины
- •Практическая работа. Обоснование выбора действий при решении текстовых задач в начальной школе
- •Теоретическая часть Вопросы к изучению
- •Определения, теоремы, выводы
- •Тема 19. Геометрические фигуры на плоскости и их свойства
- •1. Понятие геометрической фигуры
- •2. Углы
- •3. Параллельные и перпендикулярные прямые
- •4. Треугольники
- •5. Четырехугольники
- •Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.
- •1. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
- •2. У параллелограмма противолежащие стороны и противолежащие углы раны.
- •6. Многоугольники
- •7. Окружность и круг
- •8. Построение геометрических фигур на плоскости.
- •1. Построить на данной прямой отрезок со, равный данному отрезку ав.
- •2. Отложить от данной полупрямой в данную полуплоскость угол, равный данному углу.
- •3. Найти середину отрезка.
- •4. Построить биссектрису данного угла.
- •5. Через данную точку провести прямую, перпендикулярную данной прямой.
- •9. Преобразования геометрических фигур. Понятие преобразования
- •1. Симметрия относительно точки (центральная симметрия).
- •2. Симметрия относительно прямой (осевая симметрия).
- •3. Гомотетия.
- •10. Движения и равенство фигур
- •Практическая работа. Решение геометрических задач
- •Практическая работа. Основные задачи на построение на плоскости
- •Теоретическая часть Вопросы к изучению
- •Основные понятия темы
- •Практическая часть
- •Тема 20. Изображения пространственных фигур
- •1. Свойства параллельного проектирования
- •2. Многогранники и их изображение
- •3. Шар, цилиндр, конус и их изображение
- •Практическая работа. Изображение пространственных фигур на плоскости
- •Теоретическая часть Вопросы к изучению
- •Основные понятия темы
- •Практическая часть
- •Тема 21. Геометрические величины
- •1. Длина отрезка и ее измерение
- •2. Величина угла и ее измерение
- •3. Понятие площади фигуры и ее измерение
- •4. Площадь многоугольника
- •5. Площадь произвольной плоской фигуры и ее измерение
- •Практическая работа. Геометрические величины
- •Теоретическая часть Вопросы к изучению
- •Основные понятия темы
- •Правила, замечания
- •Практическая часть
- •Список литературы
- •Учебник для студентов высших педагогических учебных заведений специальности: «начальное обучение»
- •Глузман Неля Анатольевна Кандидат педагогических наук, доцент, заведующий кафедрой методик начального и дошкольного образования рвуз «Крымский гуманитарный университет» (г. Ялта)
5. Математическая индукция
Один из важных методом математического доказательства, который охватывает бесконечное множество случаев, основывается на принципе (аксиоме) индукции.
Теорема о принципе математической индукции. Если некоторое предложение А(п) верно при п = 1 и из предложения, что оно верно при некотором значении п = k, следует, что это предложение верно и при следующем значении п = k+1, то предложение А(п) верно при всех п
Например. Докажем, что для любого натурального числа истинно равенство 1+3+5+…+(2п-1)=п2.
Доказательство. Равенство 1+3+5+…+ (2п-1)=п2 представляет собой формулу, по которой можно находить сумму п первых последовательных нечетных натуральных чисел. Например, 1+3+5+7=42=16; если сумма содержит 20 слагаемых указанного вида, то она равна 202=400 и т.д.
Убедимся в истинности данного равенства п=1. При п=1 левая часть равенства состоит из одного члена, равного 1, правая часть равна 12. Так как 12 =1, то для п = 1 данное равенство истинно.
Предположим, что данное равенство истинно для п = k, т.е. что 1+3+5+…+(2 k -1) = k2. Исходя из этого предположения, докажем, что оно истинно и для п = k+1, т.е. 1+3+5+…+ (2п-1) + (2п+1) = k2+ 2k+1. Выражение k2+ 2k+1 тождественно равно выражению (k+1)2. Следовательно, истинность данного равенства для п = k+1 доказана.
Вывод: данное равенство истинно для п =1 и из истинности его для п = k следует истинность для п = k +1. Тем самым доказано, что данное равенство истинно для любого натурального числа.
6. Аналогия
Еще одним важным видом умозаключений, используемых в математике, является аналогия.
Определение. Аналогия умозаключение о принадлежности предмет ту определенного признака (т.е. свойства или отношения) на основе сходства в существенных признаках с другими предметами.
Например, мы утверждаем, что формула числа элементов декартова произведения конечных множеств аналогична формуле числа элементов декартова произведения двух множеств.
Точно так же при объяснении правил умножения многозначного числа на однозначное и двухзначное можно пользоваться аналогией при умножении многозначного числа на число единиц и на число десятков, подчеркнув лишь различия в записи.
Аналогия – достаточно эффектный механизм познания, умственный прием, используемый как в научных исследования, так и в обучении. Рассуждения по аналогии имеют следующую общую схему:
А обладает свойствами , , , ;
В обладает свойствами , , ,
Возможно, В обладает свойством .
В последнее время философы относят аналогию не только к категориям логики, но и к категориям психологии. Так, психолог А И. Уемов считает, что проблема аналогии является одной из разновидностей ассоциаций по подобию, но основе которой одна мысль порождает другую. В одних случаях такая ассоциация помогает получить истину, в других – препятствует, т.е. каким будет результат предположить нельзя. Аналогия очень часто большое убеждение, так как ассоциация, которая породили ту или иную мысль у человека, может привести и к возникновению ее в подобных условиях. Однако это убеждение не следует отождествлять с доказательством. Такою есть психологическая концепция аналогии.
Поэтому выводы по аналогии могут оказаться как правильными так и не правильными. Они требуют специального обоснования правильности или не правильности с помощью дедуктивных рассуждений.
Аналогия как логический метод научного познания широко используется в математике и других науках. Не менее важная роль аналогий в обучении математики в школе во время формирования понятий, обучению вычислительным навыкам и решению различных задач.
Использование аналогий во время формирования понятий повышает активизацию умственной деятельности учащихся, так как установив, что новое понятие аналогично изученному раньше, учащийся может предположить совпадение свойств этих понятий. Сравнение аналогичных понятий дает возможность устанавливать одинаковые свойства, а также выявлять свойства, которые совпадают (например, для понятий “числовое равенство” и “числовое неравенство”). Это дает возможность более глубоко усвоить свойства новых понятий, прочно их запомнить и предупредить возможные ошибки. Большие возможности использования аналогий во время формирования основных понятий курса геометрии. Если учитель умело руководить мышлением учащихся, то они самостоятельно устанавливают пары аналогичных понятий: окружность, круг, шар; квадрат и куб; параллелограмм и параллелепипед и т.д.
Формирование умения делать выводы по аналогии следует осуществлять поэтапно. Целесообразно, например, ориентироваться на такие этапы при использовании аналогии в учебном процессе: объяснение принципа действия по данному образцу; закрепление и развитие, полученных на первом этапе умений и навыков; применение данного способа действия к более сложным, но аналогичным заданиям.
Широко используется аналогия в обучении математике младших школьников. Это происходит при изучении свойств объектов, отношений между ними и действий с ними. Приведем несколько примеров:
Аналогию можно использовать для «открытия» новых свойств изучаемых объектов.
Например, если при изучении классов установлено, что в классе единиц три разряда – единицы, десятки, сотни, а в классе тысяч также три разряда – единицы тысяч, десятки тысяч, сотни тысяч, то вывод о числе разрядов в классе миллионов и их названии дети могут сделать самостоятельно, по аналогии.
Аналогия может быть использована для установления отношений между данными объектами.
Например, учащиеся установили, что 4(3+7)>43+46, так как 4(3+7)=43+47>46. Рассматривая затем выражения 3(8+9) и 38+37, учащиеся могут по аналогии сделать вывод о том, что 3(8+9)>38+37. Проверить его правильность можно либо путем рассуждений, аналогичных тем, что проводились при выполнении первого задания, либо при помощи вычислений.
Аналогия может быть использована и для выводов о способе действия на основе изучения другого способа.
Например, после рассмотрения способа умножения двузначного числа на однозначное на примере умножения 27 на 3 (273=(20+7)3=203+73=81) детям предлагается умножить 712 на 4. Действуя по аналогии, они устанавливают, что 7124=(700+10+2)4=2800+40+8=2848. Далее по аналогии устанавливают, как умножить 6288 на 3.
Следующим шагом может быть обобщение, т. е. получение правила умножения многозначного числа на однозначное.
Вообще аналогия столь часто используется в обучении, что иногда является препятствием к сознательному усвоению знаний и приводит часто к неправильным выводам. Например, решая неравенство х2+х+10 и убедившись, что корней соответствующего уравнения нет, ученик утверждает, что решений это неравенство не имеет по аналогии с уравнением х2+х+1=0. Это ошибка, так как решений – бесчисленное множество, а именно, все множество R.
Приведем еще несколько типичных примеров ошибок, совершаемых учениками из-за неправильного применения рассуждений по аналогии.
В начальной школе известно, что действия сложения и умножения переместительны и сочетательны. Некоторые ошибки могут возникнуть из-за переноса этих свойств по аналогии на действия вычитания и деления. Например, 158-18-10=158-(18-10)=158-8=150. Здесь «незаконно» использовалось свойство сочетательности вычитания, которого у вычитания нет.
Если в математике ошибки по аналогии достаточно «безобидны», то в жизни это не так. Съев ягоду, похожую на хорошую, ребенок может отравиться.