Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Черновицкий национальный университет им. Ю. Федьковича

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Matan

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2016

Размер:

711.57 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 145 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

45.Знайти площу фiгури, яка обмежена кривою ' = 4r r3 та променем ' = 0.

46.Знайти площу фiгури, яка обмежена кривою ' = sin( r), 0 r 1, та променем ' = 0.

Переходячи до полярних координат, знайти площi фiгур,

обмежених лiнiями:
47.	(x2 + y2)2 = 2a2xy (лемнiската)		(a > 0);
48.	x3 + y3	= 3axy (лист Декарта)	(a > 0);
49.	x4 + y4	= a2(x2 + y2) (a > 0).

Знайти площi фiгур, обмежених кривими, що заданi парамет-

ричними рiвняннями:			t3;
50.	x = 2t t2, y = 2t2
51.	x = 3t2,	y = 3t t3	;
52.	x = t2 1,	y = t3 t;
53.	x = a(2 cos t cos 2t), y = a(2 sin t sin 2t) (a > 0);

54.x = ca2 cos3 t, y = cb2 sin3 t (еволюта елiпса) (c2 = a2 b2, a; b; c > 0);

55. x = a cos t, y = a sin2 t

2+sin t

56.Знайти площу фiгури, x = a (t sin t), y

прямою y = 0 (a > 0).

(a > 0).

яка обмежена аркою циклоїди

= a (1 cos t), 0 t 2 , та

57. Знайти площу	фiгури, яка обмежена розгорткою круга
x = a (cos t	+ t sin t), y =	a (sin t t cos t),
0 t 2 , та променем x = a, y 0		(a > 0).

Записавши рiвняння кривих у параметричному виглядi, обчислити площi фiгур, обмежених кривими:

58.	2	2	2	(астроїда);
58.	x3	+ y 3	= a3	(астроїда);
59.	x4 + y4 = a x2 y			(a > 0).

5.5. Обчислення довжин дуг кривих.

Теорема 5.15. Нехай лiнiя L на площинi з прямокутною декартовою системою координат задана явним рiвнянням y = f(x), x 2 [a; b], причому функцiя f неперервно диференцiйовна на вiдрiзку [a; b]. Тодi довжина `(L) цiєї лiнiї обчисляється за формулою

`(L) = 1 + [f0(x)]2 dx:

Теорема 5.16. Нехай лiнiя L на площинi з прямокутною декартовою системою координат задається параметричним рiвнянням

x = '(t);

y = (t); t 2 [ ; ];

де ' i – неперервно диференцiйовнi на [ ; ] функцiї. Тодi довжина `(L) цiєї лiнiї обчисляється за формулою

`(L) = ['0(t)]2 + [ 0(t)]2 dt:

Теорема 5.17. Нехай лiнiя L на площинi з полярною системою координат задана рiвнянням r = r('), ' 2 [ ; ], причому функцiя r(') неперервно диференцiйовна на вiдрiзку [ ; ]. Тодi довжина `(L) цiєї лiнiї обчисляється за формулою

`(L) = [r(')]2 + [r0(')]2 d':

Знайти довжини дуг кривих, заданих у прямокутних декартових координатах:

3	2. x2 = y3, 0 y 1;
1. y = x2 , 0 x 4;	2. x2 = y3, 0 y 1;
3. 4y = x2, 1 x 1;	4. y2 = 2x, 0 x 2;
5. y = ch x, 0 x ln 3;	6. y = ex, ln 3 2x ln 8;

8. y = ln(1 x2),

0 x 21 ;

7. y = ln x,

3 x

x =

y2 2 ln y

;

10.

y = 2 ln

;

11. y = ln(cos x),

0 x 3 ;

12.

y = ln(sin x),

6 x 56 ;

13. y =

x x

14.

;

+ arcsin

(y arcsin x)

= 1 x

15. y =

ex + 1

, 0 < a x

ex 1

, 1 y 2.

16. x = 2 ln

2 + py4 y2

4 y2

17.Обчислити довжину тiєї частини напiвкубiчної параболи 3y3 = 2(x 1)2, яка вiдтинається параболою 3y2 = x.

18.Обчислити довжину тiєї частини напiвкубiчної параболи 5y3 = x2, яка лежить усерединi кола x2 + y2 = 6.

Знайти довжини дуг кривих, заданих параметричними рiв-

няннями:
19.	x = a cos t,	y = a sin t,	0 t 2		(коло) (a > 0);
20.	x = a cos2 t,	y = b sin2 t,	0 t 2		(a; b > 0);
21.	x = a cos3 t,	y = a sin3 t,	0 t 2		(астроїда) (a > 0);
22.	x = a cos4 t,	y = a sin4 t,	0 t		(a > 0);
23.	x = a cos5 t,	y = a sin5 t,	0 t 2		(a > 0);
24.	x = a(t sin t), y = a(1 cos t), 0 t 2 (a > 0);
25.	x = a(cos t+t sin t), y = a(sin t t cos t), 0 t 2 (a > 0);
26.	x = (t2 2) sin t + 2t cos t, y			= (2 t2) cos t + 2t sin t,
	0 t ;
27.	x = a(sh t t), y = a(ch t 1),			0 t 1 (a > 0);
28.	x = 59 cos3 t,	y = 49 sin3 t,	0 t 2 .


29.	Знайти довжину дуги трактриси x = a (cos t + ln tg							t	),
29.	Знайти довжину дуги трактриси x = a (cos t + ln tg							2	),
			a(ln 3		1)		p
			a(ln 3		1)		p
	y = a sin t вiд точки (0; a) до точки			2		; a	2	3
	y = a sin t вiд точки (0; a) до точки			2		; a	2
	(a > 0).
30.	Знайти довжину петлi лiнiї x = t2, y = t	t3	.
30.	Знайти довжину петлi лiнiї x = t2, y = t	3	.

Знайти довжини дуг кривих, заданих у полярних координатах:

31. r = a ',

0 ' 2

(спiраль Архiмеда)

(a > 0);

32.

r = a e',

0 < r < a

(a > 0);

33.

r = a (1 + cos ') (a > 0);

34. r = a (1 cos ') (a > 0);

35.

r = a cos3 ' (a > 0);

36.

r = a sin3 '

(a > 0);

37.

r =

, 43 ' 34

38.

r = th '2 , 0 ' 2 ;

39.

' = 2

r + r , 1 r 3;

40.

' = pr, 0 r p5;

41. r =

, j'j 2

(p > 0).

1 + cos '

5.6. Обчислення об’ємiв тiл.

Теорема 5.18. Нехай проекцiєю тiла T на вiсь Ox є вiдрiзок [a; b] i для кожного x0 2 [a; b] площа перерiзу тiла T площиною x = x0 дорiвнює S(x0). Якщо функцiя S(x) неперервна на [a; b], то об’єм V (T ) тiла T обчисляється за формулою

V (T ) = S(x) dx:

Теорема 5.19. Нехай тiло T обмежене площинами x = a та x = b i поверхнею, яка утворена обертанням навколо осi Ox графiка неперервної на вiдрiзку [a; b] функцiї y = f(x). Тодi

об’єм V (T ) тiла обертання T обчисляється за формулою

V (T ) = Z	b
V (T ) = Z	f2(x) dx:
a

1.Знайти об’єм тiла, обмеженого поверхнею, яка утворюється обертанням навколо осi Ox параболи y2 = 4x, i площиною x = 1.

2.Фiгура, обмежена дугами парабол y = x2 i x = y2, обертається навколо осi Oy. Обчислити об’єм тiла обертання, яке отримується при цьому.

3.Знайти об’єм тiла (”лимона” Кавальєрi), обмеженого поверхнею, яка утворюється обертанням навколо осi Ox лi-

нiї a2 y = h (a2 4) x2, a2 x a2

(a; h > 0).

4.Знайти об’єм тiла, обмеженого поверхнею, яка утворюється обертанням навколо осi Ox лiнiї (x 4)y2 = x(x 3),

0 x 3.

5.Знайти об’єм тiла, отриманого обертанням навколо осi Ox криволiнiйної трапецiї, яка обмежена лiнiєю y = xex i прямими x = 1 та y = 0.

6.Знайти об’єм тiла, отриманого обертанням навколо осi Ox криволiнiйної трапецiї, яка обмежена лiнiєю y = arcsin x i прямими x = 1 та y = 0.

7.Знайти об’єм тiла, отриманого обертанням фiгури, яка

обмежена прямою y = 0 i графiком функцiї y = sin x,

0 x :

а) навколо осi Ox; б) навколо осi Oy.

8.Знайти об’єм тiла, отриманого обертанням криволiнiйної трапецiї, яка обмежена прямою y = 0 i графiком функцiї y = 2x x2, 0 x 2:

а) навколо осi Ox;

б) навколо осi Oy.

9.	Знайти об’єм тiла, отриманого обертанням фiгури, яка
	обмежена лiнiями a2y = bx2 i ay = bx (a; b > 0):
	а) навколо осi Ox;	б) навколо осi Oy.
10.	Знайти об’єм тiла, отриманого обертанням криволiнiйної
	трапецiї, яка обмежена прямою y = 0 i аркою циклоїди
	x = a(t sin t), y = a(1 cos t), 0 t 2 (a > 0):
	а) навколо осi Ox;	б) навколо осi Oy;
	в) навколо прямої y = 2a;	г) навколо прямої x = a .

11.Знайти об’єм тiла, обмеженого поверхнею, яка утворюється обертанням лiнiї x = a sin3 t, y = b cos3 t, 0 t 2

(a; b > 0):

а) навколо осi Ox;

б) навколо осi Oy.

12.Знайти об’єм тiла, обмеженого поверхнею, яка утворюється обертанням петлi лiнiї x = 2t t2, y = 4t t3:

а) навколо осi Ox;

б) навколо осi Oy.

13.Довести, що об’єм тiла, утвореного обертанням навколо полярної осi криволiнiйного сектора, обмеженого променями ' = i ' = (0 < ) та лiнiєю r = r(') (r(') – невiд’ємна i неперервно диференцiйовна на [ ; ]

функцiя), обчисляється за формулою

V (T ) =	23		r3(') sin ' d':
		Z

14.	Знайти об’єм тiла, обмеженого поверхнею, яка утворюєть-
	ся обертанням кардiоїди r = a (1 + cos ') (a > 0):
	а) навколо полярної осi; б) навколо прямої r cos ' = a4 .
15.	Знайти об’єм тiла, обмеженого поверхнею, яка утворюєть-

ся обертанням лiнiї (x2 + y2)2 = a2(x2 y2) (a > 0):

а) навколо осi Ox;	б) навколо осi Oy;
в) навколо прямої y = x.

16.Знайти об’єм тiла, обмеженого поверхнею, яка утворюється обертанням навколо полярної осi частини спiралi

Архiмеда r = a ', 0 ' (a > 0).

17.

Знайти об’єм тiла, обмеженого поверхнею, яка утворюєть-

ся обертанням навколо полярної осi фiгури, що обмежена

лiнiями ' = та ' = r3, 0 r 1.

18.

Знайти об’єм тiла, обмеженого поверхнею, яка утворюєть-

ся обертанням навколо полярної осi фiгури, що обмежена

частинами лiнiй r = a та r = ap

, якi лежать у

2 sin 2'

першiй чвертi.

19.

Знайти об’єм тiла, обмеженого елiпсоїдом

= 1

(a; b; c > 0).

20.

Знайти об’єм тiла, обмеженого цилiндричною поверхнею

= 1 i площинами z = 0 та z = x + a (a; b > 0).

21.

Знайти об’єм тiла, обмеженого елiптичним параболоїдом

i площиною z = 1.

22.

Знайти об’єм тiла, обмеженого елiптичним параболоїдом

= 2 x2

i площиною z = 0.

23.

Знайти об’єм тiла, обмеженого однопорожнинним гiпер-

болоїдом

z2 = 1 i площинами z =

1 та

= 2.

24.

Знайти об’єм тiла, обмеженого однопорожнинним гiпер-

болоїдом

= 1 i площинами z = c та

z = c (a; b; c > 0).

25.

Знайти

об’єм

тiла,

обмеженого конiчною

поверхнею

2)2

i площиною z = 0.

26.

Знайти

об’єм тiла, обмеженого

конiчною поверхнею

4 z2 = x2 + 2y2 i площиною z = 1.

27.

Знайти об’єм тiла, обмеженого елiптичним параболоїдом

2z =

9 i конусом z =

9 .

28.

Знайти об’єми тiл, обмежених елiптичним параболоїдом

z = x2

+ 2y2 i елiпсоїдом x2

+ 2y2

+ z2 = 6.

29.

Знайти об’єми тiл, обмежених двопорожнинним гiпербо-

лоїдом

= 1 i елiпсоїдом

= 1.

30.

Знайти об’єм тiла, обмеженого двома цилiндричними по-

верхнями x2

+ z2

= a2 i y2

+ z2 = a2 (a > 0).

31.

Знайти об’єм частини кулi x

, яка

+ y

+ z2

2 a

лежить усерединi цилiндричної поверхнi x

+ y

= ax

(a > 0).

32.

Знайти об’єм тiла, обмеженого елiптичним параболоїдом

z = x2

+ y2 i площиною 2x

+ 2y + z

= 2.

5.7. Обчислення площ поверхонь обертання.

Теорема 5.20. Нехай поверхня P утворена обертанням навколо осi Ox графiка неперервно диференцiйовної на вiдрiзку [a; b] функцiї y = f(x). Тодi площа S(P ) поверхнi обертання P обчисляється за формулою

S(P ) = 2 jf(x)j 1 + [f0(x)]2 dx:

Теорема 5.21. Нехай лiнiя L на площинi з прямокутною декартовою системою координат задається параметричним рiвнянням

x = '(t);

y = (t); t 2 [ ; ];

де ' i – неперервно диференцiйовнi на [ ; ] функцiї, а поверхня P утворена обертанням лiнiї L навколо осi Ox. Тодi площа S(P ) поверхнi обертання P обчисляється за формулою

S(P ) = 2 j (t)j ['0(t)]2 + [ 0(t)]2 dt:

Теорема 5.22. Нехай лiнiя L на площинi з полярною системою координат задана рiвнянням r = r('), ' 2 [ ; ], причому функцiя r(') неперервно диференцiйовна на вiдрiзку [ ; ], а поверхня P утворена обертанням лiнiї L навколо полярної осi. Тодi площа S(P ) поверхнi обертання P обчисляється за формулою

S(P ) = 2 r(')j sin 'j [r(')]2 + [r0(')]2 d':

Знайти площi поверхонь, утворених обертанням навколо осi Ox таких кривих:

1. y2 = 4ax, 0 x 3a (a > 0);		2. ay2 = x3, 0 x a (a > 0);
3.	3y = x3, 0 x a (a > 0);	4.	y = sin x, 0 x ;
5.	y = a cos x2b , jxj b (a; b > 0);	6.	y = tg x, 0 x 4 ;
7. x2 + (y b)2 = a2 (a b > 0);		8. y = e x, x 0.

Знайти площi поверхонь, утворених обертанням нижченаве-


дених кривих навколо:							а) осi Ox;	б) осi Oy.
9. 2py = x2,						0 y a (a; p > 0);
		x2		y2
10.			+		= 1 (a b > 0);
10.		a2	+	b2	= 1 (a b > 0);
11.	y = a ch xa ,					jxj b	(ланцюгова лiнiя) (a; b > 0).
12.	Знайти площу поверхнi, утвореної обертанням навколо осi
	Ox петлi лiнiї 9ay2 = x(3a x)2							(a > 0).

13.Дуга кола x2 + y2 = a2, яка лежить у першiй чвертi, обертається навколо хорди цього кола, що з’єднує точки (a; 0) i (0; a) (a > 0). Знайти площу утвореної поверхнi обертання.

14.Знайти площу поверхнi, утвореної обертанням астроїди

x = a cos3 t, y = a sin3 t (a > 0) навколо:

а) осi Ox; б) прямої y = x.

15.Знайти площу поверхнi, утвореної обертанням навколо осi абсцис дуги лiнiї x = et cos t, y = et sin t, 0 t 2 .

16.Знайти площу поверхнi, утвореної обертанням арки циклоїди x = a(t sin t), y = a(1 cos t), 0 t 2 , навколо:

а) осi Ox; б) прямої x = a ;

в) осi Oy;

г) прямої y = 2a (a > 0).

17.Знайти площу поверхнi, утвореної обертанням навколо осi

абсцис трактриси x = a(cos t+ln tg 2t ), y = a sin t, 0 < t < (a > 0).

18.Знайти площу поверхнi, утвореної обертанням навколо

	полярної осi кардiоїди r = a(1 + cos ')			(a > 0).
19.	Знайти площу поверхнi, утвореної обертанням навколо
	полярної осi кола r = 2a sin ' (a > 0).
20.	Знайти площу поверхнi, утвореної обертанням лемнiскати
	r = ap		(a > 0) навколо:
		cos 2'
	а) полярної осi; б) променя ' = ;			в) променя ' = .
	2			4

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 145 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.09.2019179.44 Кб19Makroekonomika_ekzamen_shpori.docx
#
20.08.2019618.25 Кб175Manual_revised_MI.rtf
#
03.11.20181.67 Mб24marketing new part 1.doc
#
29.09.2019150.2 Кб3Marketingovi_doslidzhennya_Vosstanovlen.docx
#
30.04.2019368.13 Кб3marketing_11-12_OEF_ep.doc
#
23.02.2016711.57 Кб32Matan.pdf
#
19.09.2019410.9 Кб5matematika.docx
#
21.12.201891.9 Кб5matematuka.docx
#
18.12.2018134.66 Кб6materiali_do_lektsiyi_Fenomen_svidomosti.doc
#
23.02.2016773.12 Кб63Materialna_tochka.doc
#
28.07.201936.24 Кб1maugham 7-9.docx