3.3.Знаходження розв’язків, які задовольняють граничним умовам.

Таким чином, маємо безліч розв’язків вихідного рівняння, але не всі вони задовольняють граничним та початковим умовам. Треба вибрати таку підмножину розв’язків виду (3.5), яка б задовольняла граничним умовам (3.2).

Для цього підставимо розв’язок (3.5) у ті граничні умови:

Отже маємо задачу:

яка називається задачею Штурма-Ліувіля. Розв’язок цієї задачі дає В=0 і , але, оскільки тоді,

отож .

Таким чином, одержали числа, які називаються власними. Вони володіють такими властивостями:

а) множина власних значень – лічильна;

б) всі власні числа невід’ємні;

в) якщо власні значення розташувати у порядку зростання

,

то ;

г) всі власні значення задачі Штурма-Ліувіля – прості, тобто кожному власному значенню відповідає одна власна функція .

Отже маємо нескінчений набір розв’язків

(3.6)

кожен з яких задовольняє рівнянню з частинними похідними та граничним умовам. Розв’язок вихідної задачі є сума цих найпростіших функцій.

3.4. Пошук розв’язку, який задовольняє рівнянню, граничним та початковим умовам.

Треба знайти суму фундаментальних розв’язків

(3.7)

з такими коефіцієнтами C_k, щоб функція U(x,t) задовольняла початковій умові

(3.8)

Якщо підставити (3.8) у (3.7), то будемо мати

(3.9)

Вираз (3.9) є звичайним розкладом функції у ряд Фур’є. Коефіцієнти ряду знаходяться по формулі:

Таким чином, знайшли розв’язок задачі (3.1) – (3.3), який має вигляд:

(3.10)

4. Поширення тепла у стержні.

Задача. Нехай на лівому кінці стержня з теплоізольованою бічною поверхнею підтримується постійна температура, яка дорівнює 2 одиницям, а на правому кінці задана теплова течія, яка дорівнює 5. Початковий розподіл температури показаний на малюнку 4.1. Проведемо дослідження з часом зміни цього розподілу.

0

Мал. 4.1

З малюнка легко вивести аналітичну форму функції U(x,0)=f(x), яка буде

(4.1)

Процес поширення тепла у стержні описується рівнянням

, (4.2)

причому, відповідно заданому тепловому режиму на кінцях стержня

(4.3)

Таким чином, задача зводиться до розв’язку диференціального рівняння (4.2) при граничних (4.3) і початкових (4.1) умовах.

Для зручності подальших викладок перейдемо до безрозмірних величин:

(4.4)

Враховуючи, що

;

рівняння (4.2) та умови (4.1) і (4.3) перепишемо у вигляді

(4.5)

(4.6)

(4.7)

Оскільки у даній задачі граничні умови неоднорідні, то безпосередньо вживати метод поділення змінних не можна. Неоднорідні граничні умови потрібно перетворити в однорідні. Для цього будемо шукати розв’язок задачі у формі

(4.8)

де - функція, яка задовольняє однорідним граничним умовам, аналогічним (4.7);

- лінійна функція, яка задовольняє неоднорідним граничним умовам.

Підставимо (4.7) в (4.8), отримаємо

Тоді співвідношення (4.8) приймає вигляд:

(4.9)

або

. (4.10)

Сформулюємо вихідну задачу відносно функції . Для цього (4.9) підставимо в (4.5). Отже задача буде

(4.11)

(4.12)

(4.13)

Далі розв’язуємо рівняння методом Фур’є, тобто розв’язок шукаємо у формі

(4.14)

Розв’язок (4.14) підставляємо у рівняння (4.11).

Поділимо праву та ліву частини рівності на , отримаємо

(4.15)

Остання рівність можлива лише у тому випадку, коли обидві частини не залежать від і,тобто є постійними величинами. Позначимо її через. Тоді з рівності (4.15) одержимо два звичайних диференціальних рівняння

(4.16)

(4.17)

Розв’яжемо ці рівняння і підставимо в (4.14), тоді будемо мати

(4.18)

де - довільні сталі.

Отже отримали загальний розв’язок рівняння (4.11). Для знаходження частинного розв’язку з граничних та початкових умов визначимо константи.

З граничних умов задачі Штурма-Ліувілля маємо

отже

Власними функціями є

.

Оскільки одержане число залежить від, яке змінюється до нескінченності, то кожному значеннюбуде відповідати розв’язок

Цей розв’язок рівняння (4.11) задовольняє граничним умовам (4.12) і для кожного значеннябудемо мати іншу константу.

Тому слід надати константі індекс . Тоді розв’язок буде мати вигляд

(4.19)

Сума розв’язків (4.19) буде також розв’язком рівняння (4.11), тому що розв’язки складають лінійно-незалежну фундаментальну систему.

Таким чином

(4.20)

Для визначення довільної константи , використаємо початкову умову, з якої виходить

Остання формула показує, що константи виявляються коефіцієнтами розкладання функції у ряд Фур’є по синусам в інтервалі (0,1). Отже

Підставимо вираз (4.15) для функції під інтеграл, тоді

.

Виконав необхідні обчислення, дістанемо

(4.21)

.

Підставимо (4.21) в (4.20) і, враховуючи рівність (4.9), запишемо остаточний розв’язок задачі:

(4.22)

Нехай змінюється від 0 до 1 з кроком 0.2, а - від 0 до 1 з кроком 0.25.Змінення розподілу температури вздовж стержня з часом показано на графіках малюнку 4.2.

Мал.4.2

З цих вислідів видно, що наявність течії на одному кінці стержня і постійної додатної температури на другому, призводять до явища, коли стержень охолоджується з часом дуже повільно.