- •Розв’язок деяких задач математичної фізики методом поділення змінних. Методичні вказівки до виконання типового завдання з дисципліни
- •1.Виведення рівняння теплопровідності.
- •В результаті одержимо наступне рівняння
- •2.Перетворення задачі з неоднорідними граничними умовами до задачі з однорідними граничними умовами.
- •2.Перетворення неоднорідних граничних умов, які залежать від змінної t, в однорідні.
- •3.Метод поділення змінних. (Метод Фур’є).
- •3.1.Загальні принципи метода поділення змінних.
- •3.2.Поділення змінних у задачі теплопровідності стержня з теплоізольованою бічною поверхнею.
- •3.3.Знаходження розв’язків, які задовольняють граничним умовам.
- •3.4. Пошук розв’язку, який задовольняє рівнянню, граничним та початковим умовам.
- •Якщо підставити (3.8) у (3.7), то будемо мати
- •4. Поширення тепла у стержні.
- •Процес поширення тепла у стержні описується рівнянням
- •Враховуючи, що
- •5. Виведення рівняння поперечних коливань струни. Будемо розглядати рівняння
- •6.Повздовжні коливання стержня або поперечні коливання струни.
- •7. Стаціонарний розподіл тепла у платівці. (Задача Діріхлє у прямокутнику для рівняння Лапласа).
- •Крайові задачі для рівнянь еліптичного типу.
- •9. Метод граничних елементів.
- •Враховуючи отримані формули, маємо
Розв’язок деяких задач математичної фізики методом поділення змінних. Методичні вказівки до виконання типового завдання з дисципліни
“Рівняння математичної фізики”.
Виконання цього типового завдання передбачається при вивченні дисципліни “Рівняння математичної фізики”.
Мета завдання: виробити навички практичного використання математичного апарату у розв’язку задач з реальним фізичним змістом.
Типове завдання має три задачі: поширення тепла в стержні, повздовжні коливання струни та стаціонарне розподілення температури у платівці. Їх розв’язок ведеться одним з методів математичної фізики – методом поділення змінних, або як його інакше називають – методом Фур’є.
1.Виведення рівняння теплопровідності.
Розглянемо однорідний стержень довжиною L при таких припущеннях:
стержень зроблений з однорідного матеріалу (мал.1.1);
0
мал.1.1
бічна поверхня стержня теплозольована (тепло може розповсюджуватись тільки вздовж осі OX);
стержень тонкий, тобто температура всіх точок у кожному поперечному перерізі стержня постійна і змінюється тільки від перерізу до перерізу.
Якщо розглянемо частину стержня на відрізку і скористуємось законом збереження тепла, тобто загальна кількість тепла на відрізкудорівнює сумі кількості тепла, що проходить через межі, й тепло створене всередині відрізку, тобто:
(1.1)
З іншого боку, якщо ввести позначення:
–температура стержня,
- питома теплоємність матеріалу (означає здібність матеріалу запасати тепло),
- густина матеріалу,
–площа поперечного перерізу стержня
і скористатися формулою обчислення тепла на відрізку стержня, то маємо
.
Тоді закон збереження енергії (1.1) можна записати в математичній формі:
(1.2)
де – теплопровідність матеріалу (здатність матеріалу проводити тепло),
–об’ємна потужність зовнішнього джерела тепла.
Задача полягає у тому, що треба записати рівняння (1.2) у формі, в якій нема інтегралів. Для розв’язку цієї задачі треба вжити теорему про середнє значення: якщо функція неперервна на відрізку, то існує не більш, як одна точкатака, що
.
В результаті одержимо наступне рівняння
або, якщо поділити на , то
.
Спрямуємо доі одержимо шукане рівняння:
, (1.3)
де - коефіцієнт теплопровідності,
–щільність джерела тепла.
Розглянемо випадок, коли бічна поверхня стержня не теплоізольована. Відомо, що величина теплового потоку через бічну поверхню стержня в цьому випадку пропорційна різниці між температурою стержня і температурою навколишнього середовища, яка підтримується постійною і дорівнює нулю.
У цьому випадку закон збереження кількості тепла призводить до рівняння:
, (1.4)
де - коефіцієнт пропорційності для потоку через бічну поверхню.