Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Черкасский национальный университет им. Б. Хмельницкого

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

integral

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.02.2016

Размер:

439.85 Кб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ ДОНЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Муратова А.А., Цапов В.О., Жукова Н.М.

НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ

Навчальний посібник для студентів І курсу спеціальності «Математика»

Донецьк 2008

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ ДОНЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Муратова А.А., Цапов В.О., Жукова Н.М.

НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ

Навчальний посібник для студентів І курсу спеціальності «Математика»

Рекомендовано до друку протокол № засідання кафедри математичного аналізу і теорії функцій від

Донецьк 2008

УДК 517.212

ББК В 161я73

М 178

Невизначений інтеграл: навчальний посібник для студентів І курсу спеціальності «Математика»./ Муратова А.А., Цапов В.О., Жукова Н.М. – Донецьк, ДонНУ, 2008. – с.36

У навчальному посібнику викладено основні поняття та факти, теоретичні положення та рекомендації до розв’язання основних типів задач за темою „Невизначений інтеграл”. Посібник містить завдання тематичної контрольної роботи; індивідуальні завдання; та приклади типових задач, до яких наведено обґрунтоване розв’язання.

Рецензенти: Попова Г.А., к. ф.-м. н., доцент; Пайков В.І., к. ф.-м. н., доцент.

Рекомендовано до видання Вченою радою математичного факультету Донецького національного університету

(протокол № від

)

Основні означення та формули

Означення. Функція F (x) називається первісною функцією для функції f (x) у деякому інтервалі, якщо в кожній точці цього інтервалу виконується рівність F′(x)= f (x).

Теорема. Будь яка неперервна на відрізку функція має первісну.

Теорема (будова множини первісних). Якщо F (x) – первісна для

функції f (x)	на деякому проміжку		X , то тоді й		F (x)+C	також		буде
первісною для	f (x). Тут C =const . Обернено, якщо для функції						f (x)	є дві
первісні F (x)	й Ф(x)	на проміжку	X , то	існує	константа	C	така, що
F (x)=Ф(x)+C .				для функції f (x)
Означення. Сукупність усіх первісних						називається
невизначеним інтегралом і позначається ∫ f (x)dx , де ∫					- знак інтеграла,			f (x)
– підінтегральна функція,		f (x)dx підінтегральний вираз.
Якщо F (x) - будь яка первісна для			f (x), то справедлива формула

∫ f (x)dx = F(x) +C .

Невизначеним інтегралом називають не тільки множину всіх первісних, але й будь-яку функцію цієї множини.

f (x)	Означення. Операція знаходження невизначеного інтеграла від функції
f (x)	називається інтегруванням цієї функції.
	Основні властивості невизначеного інтеграла
	Властивість 1. ∫dF(x) = F (x) +C . Невизначений інтеграл від

диференціала деякої функції дорівнює цій функції з точністю до постійного доданка.

Властивість 2. (∫ f (x)dx)/ = f (x) . Похідна від невизначеного інтеграла

дорівнює підінтегральній функції. Завдяки цій властивості правильність інтегрування перевіряється диференціюванням.

Властивість 3. d (∫ f (x)dx)= f (x)dx . Диференціал від невизначеного

інтеграла дорівнює підінтегральному виразу.

Властивість 4. ∫( f (x) + g(x))dx = ∫ f (x)dx + ∫g(x)dx . Інтеграл від суми двох функцій дорівнює сумі інтегралів від цих функцій.

Властивість 5. ∫kf (x)dx = k ∫ f (x)dx Постійний множник можна виносити за знак інтеграла.

Таблиця інтегралів

1.∫0dx =C

2.∫dx = x +C

3. ∫	dx	= 2 x +C
	x

xα+1

4. ∫xαdx = α +1 +C , α ≠ −1 5. ∫dxx = ln x +C

6. ∫axdx =	ax	+C
	ln a

7.∫exdx = ex +C

8.∫sin x dx = −cos x +C

9.∫cos x dx =sin x +C

10.∫cosdx2 x = tg x +C

11.∫sindx2 x = −ctg x +C

12.∫tgx dx = −ln cos x +C

13.∫ctgx dx = ln sin x +C

Теорема (Заміна змінної).

функція u =φ(x) неперервне

14.∫1 +dxx2 = arctg x +C

15.∫a2 dx+ x2 = 1a arctg ax +C

16.∫x2 dx−a2 = 21a ln xx +−aa +C

17.

∫

=arcsin

− x

18.

∫

=arcsin x +C

1 − x

19.

∫

= ln

x +

+ a2

+ a

∫

20.

=ln

x +

−a2

−a

21.∫shx dx = ch x +C

22.∫chx dx =shx +C

23.∫chdx2 x = thx +C

24.∫shdx2 x = −cthx +C

Якщо існує інтеграл ∫ f (u)du = F(u) +C , а диференційована, тобто існує φ/ (x) , то

∫ f (φ(x))φ/ (x)dx = F(φ(x)) +C .

Теорема (Інтегрування частинами). Якщо функції u (x) й v(x)

диференційовані й інтеграл ∫udv існує, то й інтеграл ∫vdu також існує й виконано рівність:

∫udv =uv − ∫vdu .

Застосування формули інтегрування частинами

Правило інтегрування частинами має більш обмежену сферу застосування, ніж заміна змінної. Але існують цілі класи інтегралів, які обчислюються саме за допомогою інтегрування частинами.

Перший клас функцій. ∫Pn (x)sinαxdx , ∫Pn (x)cosαxdx , ∫Pn (x)eαxdx , де

Pn (x) - многочлен n -го степеня.

Оскільки показникова функція eαx , і тригонометричні функції sinαx , і cosαx не зникають, і після інтегрування, і після диференціювання, то

∫Pn (x)sinαxdx	u = Pn (x) ,	dv =sinαx dx
∫Pn (x)cosαxdx	u = Pn (x) ,	dv =cosαx dx
∫Pn (x)eαxdx	u = Pn (x) ,	dv = eαx dx

Другий клас функцій. ∫ln xPn (x)dx , ∫arcsin xPn (x)dx , ∫arctg xPn (x)dx , де

Pn (x) - многочлен n -го степеня.

Оскільки у таблиці первісних не має формул для елементарних функцій ln x , arcsin x і arctgx , то

∫

ln xPn (x)dx	u =ln x ,	dv = Pn (x)dx ,
arcsin xPn (x)dx	u = arcsin x ,	dv = Pn (x)dx ,
arctgxPn (x)dx	u = arctg x ,	dv = Pn (x)dx .

Третій клас функцій. а) ∫eax cosbxdx , ∫eax sin bxdx .

Оскільки при інтегруванні й диференціюванні показникова функція eαx не зникає, а тригонометричні функції sinαx й cosαx переходять одна в одну, то ідея обчислення полягає в тому, щоб, застосовуючи формулу інтегрування частинами двічі, прийти знову до того ж інтеграла, тобто одержати лінійне рівняння щодо шуканого інтеграла. При цьому в якості ” u ” потрібно брати

обидва рази ту ж саму функцію: або eαx , або тригонометричну (sinαx , cosαx ).

б) ∫ x2 ± a2 dx , ∫ a2 − x2 dx .

Інтеграли подібного типу за допомогою методу інтегрування частинами також можуть бути зведені до лінійного рівняння щодо шуканого інтеграла.

Четвертий клас функцій (інтеграли, що обчислюються за допомогою рекурентних формул).

При інтегруванні раціональних функцій можуть виникнути інтеграли

вигляду ∫ dx n , які обчислюються за допомогою методу інтегрування

(ax2 +bx +c)

частинами.

Інтегрування раціональних функцій

Інтегрування найпростіших раціональних дробів.

Найпростішим дробом називається правильний раціональний дріб одного

з наступних чотирьох типів:
1).	A	; 2).	A	; 3).	Ax + B	; 4).	Ax + B	.
	x −a		(x −a)n		x2 + px + q		(x2 + px + q)n

Тут n >1, а квадратний тричлен x2 + px + q не має дійсних коренів.

Найпростіші дроби першого й другого типу інтегруються безпосередньо за допомогою основних правил інтегрального числення.

1). ∫

dx = A ln

x −a

+C .

x −a

2). ∫

dx =

+C .

(x −a)n

1 −n

(x −a)n−1

Інтеграл від найпростішого дробу третього типу приводиться до табличних інтегралів шляхом виділення в чисельнику похідної знаменника й приведення знаменника до суми квадратів.

3).

Ax + B

A x

−

+ B

2x + p

B − A

∫

dx = ∫

dx =

∫

+ ∫

dx =

x2 + px + q

(x2 + px

+ q)′

dx +

B −

2 ∫

+ px

+ q

∫

+ q

−

+ px + q)+

x +

B −

arctg

+C .

q −

Щоб полегшити процес обчислення інтеграла від дробу вигляду 4),

впровадимо заміну змінної:

+ px + q = x

−

+ q =

x +

q −

+ a

, тобто

x +

=u , q −

= a2 .

4). Перетворимо інтеграл від четвертого дробу

Ax + B

Au +

B − A

Audu

∫

dx =∫

du = ∫

∫

+ B −

+ px + q)

)

+ a

)

+ a

)

+ a

∫

(u2 + a2 )

∫

A 1

+ B

−

+ B − A

In .

+ a

)

+ a

)

2 1 −n (u

+ a

)

n−1

Інтеграл In = ∫(u2 du+ a2 )n , що стоїть праворуч може бути обчислений за

рекурентною формулою, яку ми отримали інтегруванням частинами в попередньому параграфі.

Розкладання раціональної функції на прості дроби.

Раціональним дробом R(x) називається дріб, чисельник і знаменник якої - многочлени, тобто дріб вигляду:

R(x) =	P (x)		a xk + a xk −1		+... + a
	k	=	0	1	k	.
	Q (x)		b xm +b xm−1
					+... +b
	m		0	1	m

Якщо степінь многочлена в чисельнику більше або дорівнює степеню многочлена в знаменнику (k ≥ m), то дріб називається неправильним. Якщо

степінь многочлена в чисельнику менше степеня многочлена в знаменнику (k < m), то дріб називається правильним.

Будь який неправильний раціональний дріб можна зобразити у вигляді суми многочлена (цілої частини) і правильного раціонального дробу (це представлення може бути досягнуто, наприклад, шляхом ділення чисельника на

знаменник за правилом ділення многочленів):

Pk (x)

= R(x) +

Pn (x)

Q (x)

Pk (x)

де R(x)

–

многочлен-частка (ціла частина)

дробу

;

P (x) –

залишок

Qm (x)

(многочлен степеня n < m ).

Pn (x)

Правильний

раціональний

дріб

зі

знаменником

Q (x)

Q (x) = (x −a )n1

...(x −a )nr (x2 + p x + q )l1

...(x2 + p x + q )lk ,

де

m =(n1 + n2 +…+ nr )+(l1 +l2 +…+lk ),

можна

єдиним

способом

розкласти

на

суму найпростіших дробів:

A (n1 )

A (1)

(n2 )

A (1)

P (x)

A (1)

A (2)

+... +

... +

+... +

Qm (x)

−a1

(x −a )2

x −a2

−a1 )n1

(x −a2 )n2

x −ar

+…+

A (nr )

B (1) x +C (1)

+... +

B (l1 ) x +C (l1 )

+... +

B (1) x +C

(1)

+... +

(x −a ) r

+ p x + q

+ p x + q ) 1

+ p x + q

B (lk ) x +C (lk )

(x2 + p

x + q

)lk

Константи A, B, C обчислюються методом невизначених коефіцієнтів або

методом часткових значень.

Метод невизначених коефіцієнтів. Сутність методу невизначених коефіцієнтів полягає в наступному. Нехай надане розкладання правильного

раціонального дробу Pn (x) за вищевказаною формулою на найпростіші дроби

Qm (x)

з невизначеними коефіцієнтами. Приведемо найпростіші дроби до загального знаменника Qm (x), і порівняємо многочлен, який отримали в чисельнику, і

многочлен Pn (x), тобто, порівняємо коефіцієнти при однакових степенях x у

чисельниках праворуч і ліворуч.

Метод часткових значень. При знаходженні невизначених коефіцієнтів замість того, щоб порівнювати коефіцієнти при однакових степенях x у

чисельниках праворуч і ліворуч, можна надати змінній x кілька часткових

значень (за кількістю невизначених коефіцієнтів) і одержати, таким чином, систему рівнянь щодо невизначених коефіцієнтів. Особливо зручно застосовувати цей метод у випадку, коли корені знаменника раціонального

дробу Pn (x) прості й дійсні. Тоді виявляється зручним послідовно задавати

Qm (x)

значення рівними кожному з коренів знаменника.

Схема інтегрування раціональних дробів.

Для того щоб проінтегрувати раціональний дріб, необхідно виконати наступні дії:

1)	якщо розглянутий			раціональний дріб			Pk (x)	-	неправильний
1)	якщо розглянутий			раціональний дріб			Q (x)	-	неправильний
							Q (x)
(k ≥ m),							m
(k ≥ m),	то представити його			у вигляді суми		многочлена			й правильного
раціонального дробу:
		Pk (x)	= R(x) +	Pn (x)	, де n < m ;	R(x) – многочлен;
			= R(x) +		, де n < m ;	R(x) – многочлен;
		Q (x)		Q (x)
		m		m
2)	розкласти знаменник Qm (x) на прості множники;

3) правильний (n < m) раціональний дріб Pn (x) представити у вигляді

Qm (x)

суми найпростіших раціональних дробів; 4) інтеграл від раціонального дробу представити у вигляді суми

інтегралів від цілої частини, і від відповідних найпростіших дробів і обчислити ці інтеграли.

Метод Остроградського.

P(x)

Нехай Q(x) - правильний нескоротний дріб, і нехай знаменник розкладено на прості множники. Тоді справедлива формула

∫	P(x)	dx =	P1 (x)	+ ∫	P2 (x)	dx
	Q(x)		Q (x)		Q (x)
1				2

де Q2 містить усі співмножники з Q , але тільки у першому степені, а Q1 - усі співмножники Q у степенях на одиницю менших ніж у Q ; P1 і P2 – многочлени

з невизначеними коефіцієнтами, степінь яких на одиницю менша за степінь відповідного знаменника.

Продиференціювавши рівняння ∫	P(x)	dx =	P1 (x)	+ ∫	P2 (x)	dx , одержимо:
	Q(x)		Q (x)		Q (x)
1				2

	P(x)				/	P2 (x)
		=	P1 (x)		+		.
	Q(x)
		Q1 (x)				Q2 (x)
Потім потрібно використати метод невизначених коефіцієнтів.
Зауваження.				Інтеграл ∫				P2 (x)	dx зручніше відразу записати у вигляді
								Q (x)
						2

суми інтегралів від найпростіших дробів 1 і 3 типів, до обчислення невизначених коефіцієнтів.

Інтегрування тригонометричних функцій

Перший клас. Інтеграли вигляду

∫R(sin x,cos x)dx

універсальною

тригонометричною підстановкою (заміною)

=t зводяться до інтеграла від

раціональної

функції

R ,

що не

містить

тригонометричних

функцій,

отже,

інтеграли цього класу завжди обчислюються.

При цьому

sin x =

cos x =

1 −t2

x = 2arctg t,

dx =

2dt

. Або

1 +t2

+t2

1 +t2

∫

R(sin x,cos x)dx =

∫

,1 −t

2dt

1 +t

Другий

клас.

Інтеграли

вигляду

∫R(sin2 x,cos2 x)dx

заміною

tg x =t

зводяться до інтегралів від раціональної функції R , отже, інтеграли цього класу теж завжди обчислюються.

При

цьому

cos2 x =

sin2 x =1 −cos2 x =

x = arctg t,

+tg2 x

+t2

∫

R(sin2 x,cos2 x)dx

∫

dx =

. Або

1 +t

Третій клас. Інтеграли вигляду ∫sinm x cosn xdx залежно від степенів m

і n обчислюються наступним чином:

Якщо m – непарне, то здійснюється заміна cos x =t .

Якщо n – непарне, то заміна sin x =t .

Якщо m й n – парні, то застосовується формула зниження степеня через

косинус подвійного кута: sin2 x = 1 (1 −cos 2x),

cos2 x =

1 (1 +cos 2x) .

Четвертий

клас. ∫tgn xdx ,

∫ctgn xdx ,

( n N

n >1).

Ці

інтеграли

обчислюються підстановками tg x =t

й ctg x =t , відповідно.

Якщо t = tg x , то x = arctg t , dx =

. Тоді ∫tg

xdx = ∫

dt .

1 +t2

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.11.201965.54 Кб1Getting+acquainted.doc
#
14.04.2019336.9 Кб17Gnos_19-24.doc
#
22.02.20161.12 Mб147Gos_povnistyu.doc
#
10.08.201970.14 Кб3How Healthy Are You.doc
#
18.09.2019271.47 Кб2IGJHF.docx
#
22.02.2016439.85 Кб6integral.pdf
#
22.12.2018321.02 Кб12INVEST_Prakt_Zan.doc
#
22.02.2016128.06 Кб69istoriya ukrainskoyi kultury.docx
#
01.08.2019790.53 Кб2istoriya.doc
#
12.09.2019121.55 Кб6istoriya.docx
#
22.02.2016995.33 Кб26Istoriya_serednikh_vikiv.doc