- •1._Побудова гістограм частот.
- •1.1_Побудова гістограми частот вибірки X:
- •1.2. Побудова гістограми частот вибірки y:
- •2.Знаходження оцінок математичних сподівань і дисперсій генеральних сукупностей
- •Заповнюємо всі стовбці таблиці
- •3. Оцінка невідомих математичних сподівань м[х] і m[у] генеральних сукупностей х і у за допомогою довірчого інтервалу з надійністю 0,95.
- •Розв’язання:
- •4._Перевірка гіпотези про рівність дисперсій генеральних сукупностей для вибірок X та y.
- •5. Побудова нормальних кривих за емпіричними даними.
- •5.1 Знаходження вибіркової середньої та середнього квадратичного відхилення методом добутків.
- •5.2 Знаходження вирівнюючих частот кожної вибірки.
- •5.3 Побудова полігонів частот і нормальних кривих.
- •Для вибірки х
- •Для вибірки y
- •6. Перевірка гіпотези про нормальний розподіл генеральних сукупностей X та y, використовуючи критерій погодженості Пірсона.
- •7. Перевірити гіпотезу про рівність нулю математичних сподівань генеральних сукупностей х і у.
- •Розв’язання:
- •8. Оцінка відхилення емпіричного розподілу від нормального.
- •9.Представимо математичну модель вибірок за допомогою MatCad2001.
- •10. Висновки:
- •Можна зробити наступні висновки:
Зміст
1.Побудова гістограм частот……………………………………………………...7
1.1 Побудова гістограми частот вибірки X…………………………………….7
1.2 Побудова гістограми частот вибірки Y……………………………………11
2. Знаходження оцінок математичних сподівань і дисперсій генеральних сукупностей………………………………………………………………………...12
3. Оцінка невідомих математичних сподівань М[Х] і M[У] генеральних сукупностей Х і У за допомогою довірчого інтервалу………………………..19
4. Перевірка гіпотези про рівність дисперсій генеральних сукупностей для вибірок X та Y……………………………………………………………………..23
5. Побудова нормальних кривих за емпіричними даними…………………..24
5.1 Знаходження вибіркової середньої та середнього квадратичного відхилення методом добутків…………………………………………………..24
5.2 Знаходження вирівнюючих частот кожної вибірки……………………..25
5.3 Побудова полігонів частот і нормальних кривих………………………..26
6. Перевірка гіпотези про нормальний розподіл генеральних сукупностей X та У використовуючи критерій погодженості Пірсона………………………28
7. Перевірити гіпотезу про рівність нулю математичних сподівань генеральних сукупностей Х та У………………………………………………..30
8. Оцінка відхилення емпіричного розподілу від …………………………….33
9.Математична модель вибірок…………………………………………………37
10.Висновк………………………………………………………………………….39
Розглянемо вибіркову сукупність Х.
X |
0,733 |
-0,288 |
0,942 |
-0,568 |
-1,334 |
-2,127 |
0,034 |
-1,473 |
0,079 |
0,768 |
0,402 |
1,810 |
0,772 |
-0,109 |
1,278 |
1,297 |
1,026 |
-0,813 |
-0,528 |
0,665 | |
0,226 |
1,378 |
1,250 |
1,045 |
-0,515 |
-1,433 |
2,990 |
0,071 |
0,110 |
0,084 | |
1,216 |
0,584 |
-0,199 |
0,031 |
-0,566 |
-1,345 |
-0,574 |
0,524 |
0,899 |
-0,880 | |
0,843 |
-1,045 |
0,394 |
-1,202 |
2,923 |
-3,001 |
-0,491 |
1,266 |
-0,521 |
-0,579 |
Відсортуємо цю таблицю за зростанням за допомогою Excel. В результаті отримаємо наступну таблицю:
X |
3-3,001 |
-2,127 |
-1,473 |
-1,433 |
-1,345 |
-1,334 |
-1,202 |
-1,045 |
-0,88 |
-0,813 |
-0,579 |
-0,574 |
-0,568 |
-0,566 |
-0,528 |
-0,521 |
-0,515 |
-0,491 |
-0,288 |
-0,199 | |
-0,109 |
0,031 |
0,034 |
0,071 |
0,079 |
0,084 |
0,11 |
0,226 |
0,394 |
0,402 | |
0,524 |
0,584 |
0,665 |
0,722 |
0,733 |
0,768 |
0,843 |
0,899 |
0,942 |
1,026 | |
1,045 |
1,216 |
1,25 |
1,266 |
1,278 |
1,297 |
1,378 |
1,81 |
2,923 |
2,99 |
Тепер будемо реалізовувати поставлені завдання уже з отриманою таблицею.
Розглянемо вибіркову сукупність Y.
Y |
-0,144 |
-0,254 |
0,193 |
-1,346 |
0,500 |
0,479 |
-1,114 |
-1,206 |
0,292 |
0,551 |
1,068 |
1,501 |
0,574 |
-0,451 |
0,359 |
0,074 |
0,191 |
-0,831 |
0,427 |
0,375 | |
-0,432 |
0,192 |
-1,181 |
-0,518 |
0,326 |
0,008 |
1,041 |
-0,736 |
0,210 |
-1,658 | |
1,410 |
-1,190 |
-0,509 |
-0,921 |
-0,287 |
-0,344 |
-0,513 |
0,418 |
-0,120 |
-0,851 | |
-0,318 |
-0,886 |
-0,094 |
0,161 |
1,114 |
-0,158 |
-0,086 |
0,340 |
-0,656 |
0,234 |
Y |
-1,658 |
-1,346 |
-1,206 |
-1,19 |
-1,181 |
-1,114 |
-0,921 |
-0,886 |
-0,851 |
-0,831 |
-0,736 |
-0,656 |
-0,518 |
-0,513 |
-0,509 |
-0,451 |
-0,432 |
-0,344 |
-0,318 |
-0,287 | |
-0,254 |
-0,158 |
-0,144 |
-0,12 |
-0,094 |
-0,086 |
0,008 |
0,074 |
0,161 |
0,191 | |
0,192 |
0,193 |
0,21 |
0,234 |
0,292 |
0,326 |
0,34 |
0,359 |
0,375 |
0,418 | |
0,427 |
0,479 |
0,5 |
0,551 |
0,574 |
1,041 |
1,068 |
1,114 |
1,41 |
1,501 |
Відсортуємо цю таблицю за зростанням за допомогою Excel. В результаті отримаємо наступну таблицю:
Тепер будемо реалізовувати поставлені завдання уже з отриманою таблицею.
1._Побудова гістограм частот.
Гістограмою частот називають ступінчату фігуру, що складається із прямокутників, основами яких є часткові інтервали довжиною h, а висоти дорівнюють ni/h (густина частоти). Площа і-го часткового прямокутника дорівнює h(ni /h) = ni – сумі частот варіант і-го інтервалу; отже, площа гістограми частот дорівнює сумі всіх частот, тобто об’єму вибірки [1, c. 153].
1.1_Побудова гістограми частот вибірки X:
Для побудови гістограми необхідно використовувати частоту. Частота для кожної варіанти даної сукупності рівна 1.
Розіб’ємо дану сукупність на певні інтервали. Для цього спочатку знайдемо розмах варіації R.
R=Xmax-Xmin
R=2,99-(-3,001)=5,991
Кількість часткових інтервалів визначимо за формулою Стреджеса:
N=6.644≈7
Округлимо отримане значення. Отримаємо кількість інтервалів.
Крок буде рівним h
За початок відліку 1 інтервалу візьмемо Xпоч=-3,001
Тепер розбиваємо від початкового значення всі наступні інтервали с кроком який ми вже отримали h=0,86.
Інтервали:
-3,001 |
-2,141 |
-2,141 |
-1,281 |
-1,281 |
-0,421 |
-0,421 |
0,439 |
0,439 |
1,299 |
1,299 |
2,159 |
2,159 |
3,019 |
Тепер створимо нову сукупність. Кожний елемент якої буде рівний середньому значенню варіант відповідного інтервалу. А частота буде рівна сумі частот варіант, що входять в цей інтервал. В результаті отримаємо таку таблицю:
zi |
-3,001 |
-1,542 |
-0,690 |
0,070 |
0,941 |
1,594 |
2,957 |
ni |
1 |
5 |
12 |
12 |
16 |
2 |
2 |
В подальших розрахунках z будемо використовувати замість х і всі результати отримані від z будемо вважати, що отримали від х.
Отриману таблицю ми будемо використовувати у подальшому розв’язанні. Створимо таблицю, яка буде складатись з інтервалів частот і щільності частот.
Таблиця №1
Номер інтервалу |
Інтервал |
Частота (ni) |
Щільність (ni/h) |
1 |
-3,001..-2,141 |
1 |
1,163 |
2 |
-2,141..-1,281 |
5 |
5,814 |
3 |
-1,281..-0,421 |
12 |
13,954 |
4 |
-0,421..0,439 |
12 |
13,954 |
5 |
0,439..1,299 |
16 |
18,605 |
6 |
1,299..2,159 |
2 |
2,326 |
7 |
2,159..3,019 |
2 |
2,326 |
За даним розподілом вибірки X побудуємо гістограму частот:
Рис.1. Гістограма частот вибірки X
1.2. Побудова гістограми частот вибірки y:
Для побудови гістограми необхідно використовувати частоту. Частота для кожної варіанти даної сукупності рівна 1.
Кількість часткових інтервалів визначимо за формулою Стреджеса:
N=6.644≈7
Розіб’ємо дану сукупність на певні інтервали. Для цього спочатку знайдемо розмах варіації R.
R=ymax-ymin
R=1,501-(-1,658)=3,159.
Розіб’ємо цю сукупність на 7 інтервалів. Тоді крок h
За початок відліку 1 інтервалу візьмемо yпоч=-1,658
Тепер розбиваємо від початкового значення всі наступні інтервали з кроком який ми вже отримали h=0,45.
Інтервали:
-1,658 |
-1,207 |
-1,207 |
-0,755 |
-0,755 |
-0,304 |
-0,304 |
0,147 |
0,147 |
0,598 |
0,598 |
1,050 |
1,050 |
1,501 |
Тепер створимо нову сукупність. Кожний елемент якої буде рівний середньому значенню варіант відповідного інтервалу. А частота буде рівна сумі частот варіант, що входять в цей інтервал. В результаті отримаємо таку таблицю:
bi |
-1,502 |
-1,0225 |
-0,49744 |
-0,11789 |
0,342471 |
1,041 |
1,27325 |
ni |
2 |
8 |
9 |
9 |
17 |
1 |
4 |
В подальших розрахунках b будемо використовувати замість y і всі результати отримані від b будемо вважати, що отримали від y.
Отриману таблицю ми будемо використовувати у подальшому розв’язанні. Створимо таблицю, яка буде складатись з інтервалів частот і щільності частот.
Таблиця №2
Номер інтервалу |
Інтервал |
Частота (ni) |
Щільність (ni/h) |
1 |
-1,658..-1,207 |
2 |
4,432 |
2 |
-1,207..-0,755 |
8 |
17,728 |
3 |
-0,755..-0,304 |
9 |
19,944 |
4 |
-0,304..0,147 |
9 |
19,944 |
5 |
0,147..0,598 |
17 |
37,671 |
6 |
0,598..1,050 |
1 |
2,216 |
7 |
1,050..1.501 |
4 |
8,864 |
За даним розподілом вибірки Y побудуємо гістограму частот:
Рис.2. Гістограма частот вибірки Y.
Висновок: При виконанні завдання для кожної вибірки були побудовані гістограми частот. Площа кожного часткового і-го прямокутника, на гістограмі, – це сума частот варіант, що потрапили у даний інтервал. Площа кожної гістограми частот дорівнює сумі всіх частот, тобто об’єму відповідної вибірки.