Формули ейлера і муавра

Тригонометрична форма комплексного числа (cosφ+isinφ, де φ – дійсне число) зустрічається дуже часто в науках, пов’язаних з математикою. Для нього використовують різні скорочені позначення. Наприклад, в картографії його позначають знаком 1_φ, в електротехніці – знаком , в інших –exp (іφ), чи e^iφ. Таким чином, можна записати наступне позначення: e^iφ = cosφ+isinφ. Наприклад, eⁱ⁰ = cos0 + і sin0 = 1, eⁱ= cos +i sin =і, і т.д. Формула e^iφ = cosφ+isinφ вперше зустрічається в статті Ейлера і названа його іменем. Вираз виду e^iφ називають уявною експонентою. Для уявної експоненти вірні всі формули, які ми знаємо для степенів з дійсним показником, тобто вірна і формула (e^iφ)ⁿ = e^{i (nφ)}. Цю формулу називають формулою Муавра. Відома ще й інша її форма: (cos φ + i sin φ)ⁿ = cos nφ + i sin nφ.

Формули Ейлера і Муавра дозволяють ефективно розв’язувати різні задачі, пов’язані з тригонометричними функціями. Зокрема, їх можна використати при обчисленнях різних тригонометричних сум, з якими досить часто доводиться зустрічатися. Достатньо загальний прийом обчислення таких сум полягає в тому, що дана дійсна сума замінюється деякою комплексною сумою, яка часто обчислюється з використанням формули суми членів геометричної прогресії. Між іншим, ця формула зберігається і в тому випадку, якщо члени прогресії і її знаменник – комплексні числа. Дану формулу доцільно використовувати в такому вигляді: суму (S) n перших членів геометричної прогресії, у якої a – перший член, l – останній, q – знаменник, знаходимо (при q ≠ 1) за формулою .

Наприклад, нехай потрібно обчислити суми: А= cos α + cos 3α + cos 5α + + … + cos 99α, В= sin α +sin 3α + sin 5α + … + sin 99α.

Розв’язання. Можна одночасно обчислити ці суми, якщо ввести нову комплексну суму: S = A+Bi = (cos α +i sin α)+(cos 3α +i sin 3α)+ …+ +(cos 99α + i sin 99α). За формулами Ейлера і Муавра маємо:

S = A+Bi = e^iα + (e^iα)³ +…+(e^iα)⁹⁹.

Обчислимо S за формулою суми членів геометричної прогресії:

. Щоб знайти А і В, достатньо в S відділити дійсну і уявну частини. Для цього скористаємося формулами Ейлера і Муавра. Отримаємо:

Звідки

Формулу Ейлера доцільно використовувати при вивченні коливань. Розглянемо два гармонійні коливання точки з однаковою частотою ω: υ₁= А sin (ωt+α), υ₂ = B sin (ωt+β), де А і В – амплітуди коливань, а α і β – їх початкові фази. Можна довести, що при додаванні цих гармонійних коливань отримаємо гармонійне коливання υ з тією ж частотою ω. Отже, нас цікавить сума υ=υ₁+υ₂=А sin (ωt+α)+B sin (ωt+β). Її можна розглядати як уявну частину комплексної суми , тобто υ =Im Запишемо комплексне число Аe^iα + Be^iβ в показниковій формі: Аe^iα + Be^iβ = Ce^iγ. Тоді υ = Im [e^iωt ·Ce^iγ]= Im [Ce^i(ωt+γ)]=C sin (ωt+γ). Таким чином, υ – гармонійне коливання з частотою ω, С – його амплітуда.

Позначивши різницю початкових фаз через φ, (тобто β-α=φ), обчислимо амплітуду С результуючого коливання. Врахувавши, що |e^iα|=1, маємо:

С=|Ae^iα+Be^iβ|=|Ae^iα + Be^i(α+φ)| = |e^iα|·|A+Be^iφ|=|(A+Bcosφ)+iBsinφ|= =.

Отримана формула дозволяє провести якісне дослідження результуючого коливання. З неї слідує, що результуюче коливання має максимальну амплітуду, що рівна А+В (при φ=0), тобто у випадку, коли початкові фази обох коливань однакові. Якщо виявиться, що А=В і cosφ=-1 (в цьому випадку фази коливань протилежні), то при накладанні коливань точка залишається в стані спокою.