6.2 Численное дифференцирование и интегрирование
6.2.1 Особенность задачи численного дифференцирования
Когда производную аналитически заданной функции по причине ее сложности искать затруднительно либо выражение для производной приобретает неудобную для применения форму, используется приближенное или численное дифференцирование. Этот метод тем более необходим, если исходная функция задана таблично. Один из способов решения задачи дифференцирования – использование интерполяционных многочленов.
Пусть f(x) – функция,
для которой нужно найти производную в
заданной точке отрезка [a;b],Fn(x)– интерполяционный
многочлен дляf(x),
построенный на отрезке [a;b].
Заменяяf(x) интерполяционным
многочленомFn(x),
получим значение производнойf(x) на отрезке [a;b]
как значение производной
интерполяционного многочлена, т.е.
примем приближенно
(6.5)
Аналогичным путем можно поступать при нахождении значений производных высших порядков функции f(x).
Полагая, что погрешность интерполирования определяется формулой
(6.6)
Получаем подход
к оценке погрешности производной
:
(6.7)
Т.е. погрешность производной интерполирующей функции равна производной от погрешности этой функции.
Рассмотрим методы численного дифференцирования на основе интерполяционных многочленов Лагранжа и Ньютона.
6.2.2 Интерполяционная формула Лагранжа для равноотстоящих узлов
Применяя для численного дифференцирования на отрезке [a;b] интерполяционный полином, естественно строить на этом отрезке систему равноотстоящих узлов
,
Которыми отрезок делится на п равных частей:
, (6.8)
(i=0, 1, 2,п‑1).
В этом случае шаг
интерполирования равен
,
а интерполяционный многочлен Лагранжа
строится на равноотстоящих узлах и
имеет более удобный вид. Положим
. (6.9)
С учетом формулы Лагранжа
(6.10)
получим новые
выражения для
.
Учитывая, что
и используя (6.9), последовательно находим:
т.е. в общем случае:
(6.11)
i=0, 1, …,п.
.
Обозначим
тогда выражение
примет вид:
(6.12)
Учитывая, что при постоянном шаге имеет место
i=0,
1, …, п,
последовательно находим:
(6.13)
Заметим, что в (6.13) ровно пстрок (i-тая отсутствует), причем значения разностей из первыхiстрок положительны, а остальных – отрицательны. Используя (6.13), получаем:
т.е.
(6.14)
С учетом представлений (6.12) и (6.14) формула Лагранжа (6.10) для равноотстоящих узлов принимает вид:
. (6.15)
Пример 6.1.
Составить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции, заданной своими значениями на равноотстоящих узлах (п=2,h=1):
Таблица 6.1
|
x |
2 |
3 |
4 |
|
f(x) |
4 |
‑2 |
6 |
Используя формулу (6.15), запишем:
6.2.3 Численное дифференцирование на основе интерполяционной формулы Лагранжа
Следуя (6.5), будем дифференцировать многочлен Лагранжа (6.15) по хкак функцию отt:
Учитывая, что
согласно (6.9)
а также
,
получим окончательно:
(6.16)
Пользуясь формулой
(6.16), можно вычислять приближенные
значения производной функции f(x),если она задана на отрезке [a;b]
значениями в равноотстоящих узлах
.
Аналогично могут быть найдены
производные функцииf(x)
высших порядков.
Пример 2.
Вычислить приближенное значение производной функции, заданной
таблицей 6.2 в точке х=4.
Таблица 6.2
|
x |
3 |
4 |
5 |
|
f(x) |
2 |
‑1 |
6 |
Используя формулу (6.16), получим (n=2,h=1):
Учитывая,
что узел х=4
соответствует значению t=1,
т.е. 
,
получаем,
Если известно аналитическое выражение функции f(x), то формулу для оценки погрешности численного дифференцирования можно при этом же условии получить на основе формулы погрешности интерполирования:
(6.17),
где
‑ значение
из отрезка [a;b],
отличное от узлов их.
Учитывая (6.7) и допуская, что f(x) дифференцируемап+1 раз, запишем:
(16.18)
Формула (6.18)
значительно упрощается, если оценка
находится для значения производной
в узлеxiтаблицы. В этом случае, учитывая (6.14),
получаем:
(6.19)
где
‑ промежуточное
значение между
.
Обозначив
,
получим верхнюю оценку абсолютной ошибки численного дифференцирования в узлах:
(6.20)