Задача 3

Кратко теория.

Даны две выборки: и . Необходимо сравнить их генеральные параметры: и .

1. Выборочные дисперсии двух выборок считаются однородными (практически «одинаковыми» с вероятностью 95 %), если равны их генеральные прообразы, то есть . Однородность выборочных дисперсий определяется по критерию Фишера по следующему алгоритму.

1) сначала рассчитывается экспериментальное значение критерия Фишера F_э, как отношение бóльшей по величине выборочной дисперсии к меньшей:

;

2) затем по статистическим таблицам находится табличное значение критерия Фишера , причем равно числу степеней свободы бóльшей дисперсии, , а число степеней свободы равно числу степеней свободы мéньшей дисперсии;

3) заключительный этап алгоритма заключается в сравнении экспериментального значения критерия Фишера F_э с табличным значением критерия Фишера . С вероятностью р считается, что выборочные дисперсии (при ) однородны, то есть , если:

,

где F_э – экспериментальное значение критерия Фишера;  ‑ табличное значение критерия Фишера при числе степеней свободы (число степеней свободы бóльшей о величине дисперсии ), (число степеней свободы мéньшей о величине дисперсии ), и доверительной вероятности р, или:

где F_э – экспериментальное значение критерия Фишера;  ‑ табличное значение критерия Фишера при числе степеней свободы (число степеней свободы бóльшей о величине дисперсии ), (число степеней свободы мéньшей о величине дисперсии ), и доверительной вероятности р.

4. Существенное (несущественное) различие выборочных средних определяется по критерию Стьюдента только в том случае, если их выборочные дисперсии однородны. Алгоритм определения следующий:

1) сначала рассчитывается экспериментальное значение критерия Стьюдента t_э по формуле:

;

2) затем по статистическим таблицам находят табличное значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы и доверительной вероятности p;

3) заключительный этап алгоритма заключается в сравнении экспериментального значения критерия Стьюдента t_э с табличным значением критерия Стьюдента . С вероятностью р считается, что при различие между выборочными средними при несущественно, то есть , если , и существенно, то есть , если . Причем, если , то и , если , то и .

Типовая задача (вариант № 30).

1. Цель задачи. Освоить метод сравнения качества 2-х партий однотипной продукции, путем определения существенного (несущественного) различия между их выборочными средними, которые характеризуют качество продукции.

2. Формулировка задачи. Некий завод для выпуска продукции использует сверла из стали марки А, которые он покупает на базе. Качество сверл определяется их стойкостью. За стойкость сверл принимается время работы сверла до переточки режущей кромки (мин). При очередной оптовой закупке сверл выясняется, что сверла из стали марки А на базе отсутствуют. Консультанты базы советуют купить сверла из стали марки В, мотивируя это тем, что сверла из стали марки В обладают бóльшей стойкостью по сравнению со стойкостью сверл из стали марки А. Однако, сверла из стали В имеют бóльшую стоимость нежели сверла из стали марки А. Так как речь идет о покупке крупной партии сверл, то главный инженер завода отдает следующее распоряжение: для решения вопроса об экономической целесообразности закупки сверл из стали марки В провести сравнительные испытания сверл из стали обеих марок.

Математически задача формулируется следующим образом. Провести сравнительные испытания 2-х партий сверл из стали марок А и В, и определить существенное (несущественное) различие их по стойкости. Испытания сверл из стали марки А решили провести на 12 штуках, а сверл из стали марки В на – 10 штуках. С вероятностью 95 % необходимо выяснить: сверла из какой марки стали обладают большей стойкостью?

3. План решения типовой задачи.

1. Понять цель данной задачи, внимательно прочитать ее условия, а также запомнить, какие параметры следует определить.

2. Методами математической статистики провести предварительную обработку экспериментальных данных, полученных в результате испытаний партии сверл из стали марки А (см. задачу № 2):

2.1. рассчитать выборочные параметры исходной выборки n = 12 (выборочное среднее , выборочная дисперсия , выборочное стандартное отклонение );

2.2. проверить случайные значения выборки А на промах;

2.3. проверить случайные значения выборки А на принадлежность их к нормальному закону распределения.

3. Методами математической статистики провести предварительную обработку экспериментальных данных испытаний партии сверл из стали марки В (см. задачу № 2):

3.1. рассчитать выборочные параметры исходной выборки n = 10 (выборочное среднее , выборочная дисперсия , выборочное стандартное отклонение ).

3.2. проверить случайные значения выборки В на промах;

3.3. проверить случайные значения выборки В на принадлежность их к нормальному закону распределения.

4. Выборочные дисперсии и проверить на однородность с помощью критерия Фишера.

5. Выборочные средние и проверить на существенное (несущественное различие) по критерию Стьюдента.