7.3. Арифметические операции, выполняемые в позиционных системах счисления
В вычислительной технике наиболее часто выполняется операция сложения. Вычисления выполняются по следующим правилам:
операция сложения выполняется поразрядно, начиная с младших разрядов в слагаемых;
в каждом одноименном разряде слагаемых суммируются соответствующие цифры и перенос из предыдущего разряда суммы;
если сумма цифр одноименных разрядов слагаемых и переноса меньше основания системы счисления, то перенос в следующий разряд равен нулю, если равна или больше — то равен единице.
В качестве примера рассмотрим арифметические операции в десятичной и двоичной системе счисления.
Арифметические операции над числами в двоичной системе счисления
Рассмотрим правила выполнения арифметических операций над однозначными числами. Представим е
|
Правила сложения |
Правила вычитания |
Правила умножения |
|
0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10 |
0 - 0 = 0 0 - 1 = -1 1 - 0 = 1 1 - 1 = 0 |
0 * 0 = 0 1 * 0 = 0 0 * 1 = 0 1 * 1 = 1 |
Сложение
Пример 1. Сложим числа 15 и 6.
Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду: 101012 = 24 + 22 + 20 = 16+4+1=21.
Пример 2. Сложим числа141,5 и 59,75.
Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:
11001001,012 = 27 + 26 + 23 + 20 + 2-2 = 201,25
Вычитание
Пример 3.Вычтем единицу из чисел 102 и 1002
Пример 4. Вычтем число 59,75 из числа 201,25
Проверка. Преобразуем полученные разности к десятичному виду:
10001101,12 = 27 + 23 + 22 + 20 + 2-1 = 141,5;
Умножение
Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.
Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям.
Пример 5. Перемножим числа 5 и 6.
Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:
111102 = 24 + 23 + 22 + 21 = 30;
Пример 6. Перемножим числа 115 и 51.
Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:
10110111010012 = 212 + 210 + 29 + 27 + 26 + 25 + 23 + 20 = 5865;
7.4. Кодирование информации
В качестве наименьшей единицы измерения информации принят 1 бит, который соответствует одному разряду в двоичной системе счисления. Эта система лежит в основе архитектуры компьютеров. Для представления всего многообразия величин в компьютере объединяют несколько двоичных разрядов. Поэтому более крупными единицами измерения в компьютере являются: 1 байт = 8 бит; 1 Кбайт=210 байт; 1 Мбайт = 210 Кбайт; 1 Гбайт = 210 Мбайт.
Поскольку информация в компьютере хранится в дискретной форме, для ее записи используется некоторый конечный набор знаков, называемый алфавитом. Очень часто в качестве алфавита используется таблица кодов, содержащая около 256 знаков. Каждому знаку соответствует числовой код. Этот код хранит образ соответствующего знака в памяти компьютера. Для понимания системы кодирования информации необходимо рассмотреть правила преобразования числовых кодов в различные системы счисления.
Наиболее популярна таблица кодов ASCII. Она состоит из 16 строк и 16 столбцов, пронумерованных от 0 до F в 16-ричной системе счисления. Например, в столбце 4 и строке D таблицы расположена заглавная буква М латинского алфавита. Таким образом, при записи текста с такой буквой, она будет храниться в памяти в виде кода 4D16 или 7710. Обычно последние 8 столбцов таблицы кодов содержат буквы национальных алфавитов, графические знаки. В большом количестве разновидностей таблицы кодов ASCII первая половина таблицы является неизменной, а вторая - переменной.
Таким образом, для хранения одного символа в ASCII-кодировке требуется 1 байт памяти компьютера. Однако 8-битовая кодировка является недостаточной для кодировки всех символов расширенных алфавитов. Все препятствия могут быть сняты при переходе на 16-битовую кодировку Unicode, допускающую 65536 кодовых комбинаций.
Числа кодируются особым образом.