Учебно-методическое пособие ВМ 2часть

УДК 51.

ББК 22.1 Ш19

Ре ц е н з е н т ы: кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики БГЭУ А.В. Конюх, ассистент кафедры высшей математики БГЭУ А.Н.Новохрост

Ре к о м е н д о в а н о кафедрой информатики, статистики и высшей математики Бобруйского филиала БГЭУ

У т в е р ж д е н о Редакционно-издательским советом БГЭУ

Шамукова, Н.В.

Ш19 Высшая математика. Часть 2: учеб.-метод. пособие / Н.В. Шамукова, Л.В. Станишевская, Э.Д. Евдокименко, С.Л. Якимченко; под ред. Н.В. Шамуковой. – Минск : БГЭУ, 2010. – с.

Пособие предназначено для студентов 1 курса в качестве дополнительной литературы при изучении во втором семестре дисциплины «Высшая математика».

В издание включены теоретический материал и задачи по основным разделам курса: производная, пределы, интегральное исчисление, дифференциальные уравнения и ряды. Ряд задач снабжен решениями.

УДК 51.

ББК 22.1

© Шамукова Н.В., Станишевская Л.В., Евдокименко Э.Д., Якимченко С.Л., 2010 © УО «Белорусский государственный экономический университет», 2010

Литература…………………………………………………………………..... 126

ВВЕДЕНИЕ

Учебное пособие составлено в соответствии с учебной программой БГЭУ по дисциплине «Высшая математика» и предназначено для студентов 1 курса экономических специальностей дневной и заочной форм обучения, изучающих начало общего курса высшей математики.

В пособии рассматриваются теория пределов и избранные темы математического анализа. Изложение теоретического материала по темам сопровождается практическими заданиями.

Содержание учебного пособия соответствует современному уровню предоставления математической информации. Подробные выводы и доказательства теорем во многих случаях не приводятся, вместо этого используются наводящие рассуждения, результатом которых является формулировка некоторого утверждения (теоремы, формулы). Разработанные авторами практические задания с решениями для закрепления материала после каждой темы пособия, а также задания для самостоятельного решения с конечными ответами позволят студентам самостоятельно контролировать уровень своих знаний при подготовке к практическим занятиям и итоговому контролю по данной дисциплине. Используемые примеры можно подразделить на два типа: примеры первого типа поясняют математические понятия и утверждения, примеры второго типа осуществляют взаимосвязь с ранее изученным материалом.

Пособие может быть использовано преподавателями при проведении практических занятий по высшей математике.

Тема 1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

1.1.Последовательности

1.1.1.Понятие числовой последовательности. Предел последователь-

ности

Числовой последовательностью (или просто последовательностью) называется занумерованное множество чисел, расположенных в порядке возрастания номеров.

Обычно последовательность записывают в виде:

Каждое из значений x1 , x2 , x3 , , xn , называют элементом (или членом)

последовательности, выражение хп – общим членом последовательности, а

число п – номером элемента последовательности. Заметим, что последовательность всегда содержит бесконечное число членов.

Сокращенно последовательность (1.1) записывается в виде xn . Например:

3)1 1,1,1,1, ;

4)n 1, 2, 3, ... .

Последовательность считается заданной, если указан способ получения любого ее элемента.

Геометрически последовательность можно изобразить в виде набора точек на числовой оси, координаты которых равны значениям соответствующих членов последовательности.

Последовательность xn называется ограниченной, если начиная с некоторого ее значения, выполняется неравенство xn M , где M какое-либо

положительное постоянное число.

Наряду с ограниченными последовательностями встречаются и такие, которые не удовлетворяют вышеуказанному определению, т.е. для любого M 0 найдется такой номер k , что xk M . Такая последовательность xn

называется неограниченной.

Аналогичным образом вводятся определения для ограниченной снизу

(сверху) последовательностей.

Числовая последовательность xn называется возрастающей (убывающей), если каждый ее последующий член больше (меньше) предыдущего, т.е для любого n

x1 x2 ... xn xn 1 ... ( x1 x2 ... xn xn 1 ...) . (1.2)

Если в неравенстве (1.2) заменить знаки на нестрогие, то получим опре-

деление неубывающей (невозрастающей) последовательности. Возрастаю-

щие, убывающие, невозрастающие и неубывающие последовательности на-

зываются монотонными последовательностями.

Критерий сходимости монотонной последовательности: если моно-

то есть, с геометрической точки зрения, число а будет пределом числовой последовательности xn , если в любой – окрестности точки а содержатся все члены последовательности, за исключением конечного их числа (ровно N элементов находится за пределами данной -окрестности).

Числовая последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся. Последовательность, не имеющая предела, называется расхо-

дящейся. Если lim õn , то говорят, что последовательность сходится к

n

бесконечности.

П р и м е р. Доказать, что число а 3 является пределом последова-

1.1.2. Свойства сходящихся последовательностей

1. Сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

2. Сходящаяся последовательность ограничена.

3. Если lim xn a 0 , то, начиная с некоторого номера N, члены после-

n

довательности имеют тот же знак, что и знак а.

4. Если последовательности xn и yn сходятся и

1.1.3. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

Числовая последовательность xn называется бесконечно большой по-

следовательностью, если lim xn .

n

Числовая последовательность xn называется бесконечно малой после-

довательностью, если lim xn 0 .

n

нечно малая последовательность.

1

Если - бесконечно малая последовательность с отличными от ну-

xn

ля членами, xn - бесконечно большая последовательность.

Свойства бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей:

1)Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность;

2)произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность;

3)произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

1.2.Предел функции

1.2.1. Предел функции в точке. Односторонние пределы.

Предел функции в бесконечности

Дадим определение предела функции в точке на основе понятия предела числовой последовательности (определение по Гейне).

Пусть функция y f x определена в некоторой окрестности точки x0 , кроме, может быть, самой этой точки. Выберем в области определения функции в произвольную последовательность точек x1 , x2 , , xn , , сходящуюся к x0 . Рассмотрим числовую последовательность значений функции в этих точках f x1 , f x2 , , f xn , .