каноническое |
|
х − х0 |
= |
у − у0 |
|
|
|
l |
m |
|
|
||
|
|
|
|
|
||
параметрическое |
|
x = x0 |
+mt, |
t R |
||
|
|
+nt, |
||||
|
|
|
y = y0 |
|
||
5.1.6. Уравнение прямой в отрезках
Если известны а и b, где а – абсцисса точки пересечения прямой L с осью Ох, b – ордината точки пересечения прямой L с осью Оу, причем аb ≠ 0 (рис. 5.2.), то прямая L определяется однозначно, и ее уравнение имеет вид:
x |
+ |
y |
=1 |
(5.11) |
Рис. 5.2 |
|
a |
b |
|||||
|
|
|
При А ≠ 0, В ≠ 0, С ≠ 0 уравнение (5.5)
приводится к уравнению (5.11), где а = −С
А, b = −C
B . Отрезки,
отсекаемые прямой на осях координат, удобно использовать при построении прямой.
5.1.7. Нормальное уравнение прямой
Если обе части уравнения (5.5) умножить на число λ = ±1
А2 + В2
(нормирующий множитель), выбрав знак λ из условия λС < 0 |
(при |
|
С = 0 знак λ выберемпроизвольно),тополучитсяуравнение |
|
|
x cosφ + y sinφ − p = 0 , |
(5.12) |
|
которое называется нормальным урав- |
|
|
|
|
|
нением прямой. Здесь р > 0 – длина |
|
|
перпендикуляра, опущенного из нача- |
|
|
ла координат на прямую, а φ – угол, |
|
|
образованный этим перпендикуляром |
|
|
с положительным направлением оси |
|
|
Ох, 0 ≤φ < 2π , (рис. 5.3). |
|
|
|
Рис. 5.3 |
|
|
|
|
65
5.1.8. Расстояние от точки до прямой
Пусть прямая L задана уравнением (5.12) и дана точка
М0 = (х0 , у0 ), лежащая вне этой прямой. Тогда расстояние d от точки
М0 до прямой L находится по формуле:
d = |
|
xo cosφ + yo sinφ − p |
|
. |
(5.13) |
||||||||
|
|
||||||||||||
Если уравнение прямой L дается в виде (5.5), то |
|
||||||||||||
d = |
|
Axo + Byo +C |
|
|
. |
(5.14) |
|||||||
|
|
||||||||||||
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
A2 + B2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5.1.9. Угол между прямыми. Условия параллельности |
|
||||||||||||
и перпендикулярности двух прямых |
|
||||||||||||
Пусть две прямые L1 |
|
и L2 , каждая из которых не параллельна оси |
|||||||||||
Оу, заданы уравнением: |
|
L1 : у = k1х +b1 |
и L2 : у = k2 х +b2 , k1 = tg α1 и |
||||||||||
k2 = tg α2 . Углом φ между прямыми L1 |
и L2 называется угол, |
отсчи- |
|||||||||||
тываемый от первой прямой до второй против движения часовой стрелки. Справедлива формула
tgφ = |
k2 −k1 |
. |
(5.15) |
|
|
||||
|
1+k k |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
Если прямые параллельны, то k1 = k2.
Если прямые перпендикулярны, то k1 = − 1 . k2
Случай, когда одна из прямых параллельна оси Оу, исcледуется без специальных формул.
Если прямые L1 и L2 заданы уравнениями
А2 х + В2 у +С2 = 0, то угол φ определится по формуле
tgφ = А1В2 − А2 В1 , А1 А2 + В1В2
и прямые L1 и L2 будут:
параллельны, если А1 = В1
А2 В2
и перпендикулярны, если А1 А2 + В1В2 = 0.
66