- •Тема 16 коливання пружних систем
- •16.1. Основні визначення теорії коливань. Класифікація механічних коливань
- •16.1.1. Кінематична класифікація механічних коливань
- •16.1.2. Класифікація коливань за основними фізичними ознаками
- •16.1.3. Класифікація коливань залежно від характеру зовнішньої дії на систему, що коливається
- •16.1.4. Класифікація коливань за характером деформації пружних елементів конструкцій
- •16.2. Власні коливання системи з одним ступенем вільності
- •16.4. Вимушені коливання пружної системи
- •16.5. Урахування сил внутрішнього опору при вимушених коливаннях
16.4. Вимушені коливання пружної системи
Як наголошувалося вище, коливання називаються вимушеними, якщо на систему діє сила , що змінюється протягом часу за яким-небудь законом. Після прикладення сили інерції балку у відхиленому стані можна розглядати як таку, що знаходиться у стані рівноваги (Рис.16.9).
Рис.16.9
Переміщення маси описуватиметься рівнянням [6]:
, (16.16)
де переміщення від одиничної сили, прикладеної в місці закріплення маси.
Переносячи всі невідомі у ліву частину, після розподілу всіх членів на одержимо:
. (16.17)
Інтеграл цього рівняння складається з двох частин: розв’язання однорідного рівняння і окремого інтеграла, залежного від правої частини.
Розглянемо окремий випадок, коли зовнішня сила змінюється за гармонійним законом з частотою :
. (16.18)
З урахуванням виразу (16.18) диференціальне рівняння (16.17) набуває вигляду:
. (16.19)
Інтеграл однорідного рівняння був одержаний при вирішенні рівняння (16.4) і наданий виразом (16.6) у попередньому розділі. Окремий інтеграл шукатимемо у вигляді:
. (16.20)
Візьмемо першу і другу похідні від переміщення за часом. Одержимо:
; . (16.21)
Підставимо (126.20) і (16.21) в рівняння (16.19) і вирішимо його щодо сталої інтегрування :
. (16.22)
Враховуючи, що , одержимо:
, (16.23)
де прогин від статично прикладеної збуджуючої сили .
Таким чином, вирішення рівняння (16.19) з урахуванням (16.6) має вигляд:
. (16.24)
Перший доданок в цьому рівнянні є власними коливаннями, а другий описує вимушені коливання. Величини та знаходимо з початкових умов, як це було показано у попередньому розділі.
Оскільки власні коливання в реальних конструкціях швидко затухають, розглянемо тільки вимушені коливання, що відбуваються з частотою .
Якщо прийняти , то відхилення від стану рівноваги досягне максимальної величини, яку прийнято називати амплітудою вимушених коливань:
.
Величина є коефіцієнтом наростання коливань і має вигляд:
. (16.25)
На рис.16.10. наведений графік абсолютного значення коефіцієнта . З графіка видно, що при наближенні частоти вимушених коливань до частоти власних коливань системи , коефіцієнт наростання коливань безмежно зростає (при , ). Таке явище називається резонансом.
Рис.16.10
Динамічний коефіцієнт при вимушених коливаннях знайдемо на прикладі консольної балки жорсткістю , що згинається, і несе на вільному кінці електродвигун вагою з неврівноваженим ротором (Рис.16.11). Величина неврівноваженого вантажу, закріпленого на роторі і здійснюючого обертальний рух навколо осі електродвигуна, дорівнює . Внаслідок обертання вантажу на роторі виникає відцентрова сила інерції, яка і є причиною виникнення коливань.
Рис.16.11
Повний прогин, що спричиняється статичним прикладенням ваги електродвигуна і інерційного навантаження , дорівнює:
, (16.26)
де: статичне переміщення, спричинене вагою електродвигуна ; амплітудне значення переміщення (амплітуда вимушених коливань), коефіцієнт наростання коливань.
Динамічний коефіцієнт знайдемо з відношення:
(16.27)