2.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным”сечениям

Дифференциальные зависимости между интенсивностью распределенной нагрузки, поперечной силой и изгибающим моментом и изложенные выше следствия из этих зависимостей позволяют не только контролировать правильность построения эпюр внутренних силовых факторов при изгибе, но и строить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов по “характерным” сечениям. Этот метод существенно отличается от аналитического метода, так как в результате его применения нельзя получить уравнения распределения внутренних силовых факторов в пределах рассматриваемого участка изгибаемого элемента конструкции. С помощью этого метода можно получить лишь численные значения поперечной силы и изгибающего момента в том или ином сечении. Однако такой подход в сочетании с использованием следствий из дифференциальных зависимостей между интенсивностью распределенной нагрузки, поперечной силой и изгибающим моментом позволяет быстро и качественно строить эпюры различной сложности. “Характерными” будем называть поперечные сечения, расположенные бесконечно близко к границам участка изгибаемого элемента конструкции.

Рассмотрим применения этого метода на примере.

Пример 2.8. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментовдля изображенной на рис.2.16,а балки по методу“характерных” сечений.

Рис.2.16

Решение:

1. Определяем опорные реакции. Для этого составим два уравнения равновесия:

; (а)

. (б)

Из уравнения (а) находим величину реакции :

кН.

Из уравнения (б) находим величину реакции :

кН.

Выполняем проверку. Для этого составим уравнение проекций всех сил, действующих на балку, на вертикальную ось :

.

2. Разбиваем балку на участки и проставляем “характерные” сечения 1 6 на границах участков.

3. Определяем величины для поперечной силы в каждом из “характерных” сечений:

кН; кН;кН;

кН; кН;кН.

Откладываем от базисной линии найденные значения для поперечной силы в каждом из “характерных” сечений и соединяем полученные точки, руководствуясь следствиями из дифференциальных зависимостей между интенсивностью распределенной нагрузки, поперечной силой и изгибающим моментом.

На участке №1 распределенная нагрузка отсутствует. Следовательно, на основании первого следствия из дифференциальных зависимостей поперечная сила будет постоянной. Соединяем точки, соответствующие значениям поперечной силы, найденным в сечениях №1 и №2, горизонтальной прямой. На втором участке действует распределенная нагрузка постоянной интенсивности. Следовательно, на основании следствия №2 из дифференциальных зависимостей поперечная сила должна меняться по линейному закону. Поэтому соединяем точки соответствующие значениям поперечной силы, найденным в сечениях №3 и №4 наклонной прямой. На участке №3 распределенная нагрузка так же, как и на участке №1, отсутствует. Следовательно, на основании первого следствия из дифференциальных зависимостей поперечная сила будет постоянной. Соединяем точки, соответствующие значениям поперечной силы, найденным в сечениях №5 и №6 горизонтальной прямой.

При построении эпюры поперечных сил следует обращать внимание на возможные скачки в тех сечениях, в которых приложены сосредоточенные силы. Так, в сечениях №2 и №3 значения для поперечной силы отличаются на величину силы . В сечениях №4 и №5 значения для поперечной силы отличаются на величину реакции. В сечении №6 также наблюдается скачок на величину силыв направлении ее действия при построении эпюры слева направо.

4. Находим значения для изгибающих моментов в “характерных” сечениях:

; кНм;кНм;

кНм; кНм;.

Откладываем от базисной линии найденные значения для изгибающих моментов в “характерных” сечениях и соединяем полученные точки, руководствуясь следствиями из дифференциальных зависимостей между интенсивностью распределенной нагрузки, поперечной силой и изгибающим моментом.

На участке №1 распределенная нагрузка отсутствует. Следовательно, на основании первого следствия из дифференциальных зависимостей изгибающий момент будет меняться по линейному закону. Соединяем точки, соответствующие значениям изгибающих моментов, найденным в сечениях №1 и №2, наклонной прямой. На втором участке действует распределенная нагрузка постоянной интенсивности. Следовательно, на основании следствия №2 из дифференциальных зависимостей изгибающий момент должен меняться по закону квадратной параболы. При этом на основании следствия №4 выпуклость на эпюре изгибающих моментов должна быть обращена навстречу распределенной нагрузке, т.е. вверх. Соединяем точки, соответствующие значениям изгибающих моментов, найденным в сечениях №3 и №4 параболой, обращенной выпуклостью вверх. На участке №3 распределенная нагрузка так же, как и на участке №1, отсутствует. Следовательно, на основании первого следствия из дифференциальных зависимостей изгибающий момент будет меняться по линейному закону. Поэтому соединяем точки, соответствующие значениям изгибающих моментов, найденных в сечениях №5 и №6 наклонной прямой. Скачков на эпюре изгибающих моментов не наблюдается, так как отсутствуют сосредоточенные моменты, приложенные к балке. Следует обратить внимание, что в сечениях, в которых имеются скачки на эпюре поперечных сил, на эпюре изгибающих моментов должны быть изломы.

Найдем величину максимального изгибающего момента . На втором участке балки поперечная сила меняет знак, пересекая базисную линию. Сечение, в котором поперечная сила равна нулю, также считается“характерным”. В этом сечении изгибающий момент достигает экстремальной величины на рассматриваемом участке. Для рассматриваемой балки изгибающий момент будет максимальным на основании дифференциальной зависимости (2.15), так как интенсивность распределенной нагрузки .

Для определения максимального изгибающего момента сначала определим координату сечения, в котором момент максимален. Для этого на эпюре поперечных сил сформируем два треугольника (контур одного из треугольников показан пунктиром). Один из рассматриваемых треугольников имеет неизвестный катет длиной , который и следует определить. Выделенные треугольники подобны по трем углам. Составим пропорцию:, решая которую относительно, получимм.

Максимальный изгибающий момент можно определить двумя способами:

1. Помещая начало координат в точке А балки на левом ее конце, вычислим координату сечения, в котором изгибающий момент достигает максимальной величины: м, составляем выражение для изгибающего момента в указанном сечении и подставляем в это выражение координатум. Получим:

кНм.

2. Используя следствие №5 из дифференциальных зависимостей между интенсивностью распределенной нагрузки, поперечной силой и изгибающим моментом, максимальный изгибающий момент найдем, прибавив к значению изгибающего момента в сечении №3 площадь эпюры поперечной силы на участке длинойм:

кНм.

Последний способ определения изгибающих моментов в некоторых случаях может оказаться предпочтительнее, так как существенно экономит время.

Пример 2.8. Используя метод “характерных” сечений, построить эпюры распределения поперечных[ сил , изгибающих моментови продольных силдля статически определимой рамы, изображенной на рис. 2.17.

Решение:

1.Определяем опорные реакции:

; (а)

; (б)

. (в)

Рис.2.17

Из уравнения (а) находим реакцию :

кН.

Из уравнения (б) находим реакцию :

кН.

Из уравнения (в) находим реакцию :

кН.

Реакции получились положительными. Следовательно, их направления выбраны верно.

Выполним проверку. Для этого составим сумму проекций всех сил на ось . Эта сумма должна тождественно равняться нулю:

.

2. Расставляем реакции, разбиваем раму на участки, выбираем точку наблюдения, расставляем знаки на каждом участке для поперечных сил и изгибающих моментов и расставляем номера “характерных” сечений таким образом, чтобы нумерация сечений производилась слева направо. При этом знак «+» должен находиться над участком, знак «» – под участком.

3. Определяем значения поперечных сил в “характерных” сечениях рамы:

; кН; кН;кН;

кН; кН;кН;кН.

Строим эпюру поперечных сил (Рис.2.18):

Рис.2.18

4. Определяем значения для изгибающих моментов в “характерных”сечениях рамы:

;кНм;;кНм;

кНм;кНм;

кНм;.

Строим эпюру изгибающего момента (Рис.2.19):

Рис.3.19

5. Выполняем статическую проверку. Статическая проверка состоит а кинематической проверке расновесия узлов рамы. Вырежем сечениями №2, №4 и №5 первый узел С и изобразим его на рис. 2.20,а. Приложим к узлу моменты, характеризующие влияние отброшенной части рамы на узел. Эти моменты численно равны значениям изгибающих моментов соответственно в сечениях №2, №4 и №5. Направление действия этих моментов определяется правилом знаков для изгибающего момента. Значения моментов на рис 2.20 приведены в кНм.

Рис.2.20

Рассматривая равновесие узла С, выделенного из рамы сечениями №2, №4 и №5, составляем уравнение для суммы моментов относительно центра узла. В данном случае следует учитывать, что на узел С действует внешний заданный момент М.

. (а)

Как видно из уравнения (а) узел С находится в равновесии. Выполним проверку узла D, выделенного из рамы сечениями №6 и №7 (Рис.2.20,б). Составим сумму моментов, действующих на узел D:

. (б)

Как видно из уравнения (б) узел Dтакже находится в равновесии.

6. Определяем величину продольной силы в стержнях рамы. Для этого вырежем сечениями №2, №4 и №5 узел Cи изобразим его на рис. 2.21,а. Приложим к узлуC продольные усилияи поперечные силы, характеризующие влияние отброшенной части рамы на узел. Эти усилия численно равны значениям соответственно продольных и поперечных сил в сечениях №2, №4 и №5. Направление действия этих усилий определяется правилом знаков для продолных усилий и поперечных сил. Значения поперечных сил на рис 2.21 приведены в кН.

Составим суммы проекций сил, приложенных к узлу C, на осии:

(в)

(г)

Рис.2.21

Рассматривая уравнение (в), обнаруживаем, что в этом уравнении две неизвестных продольных силы и. Решить это уравнение относительно усилийиневозможно. Найдем сначала усилие, рассмотрев равновесие участка рамы, ограниченного сечениями №3 и №4 (Рис.2.22).

Рис.2.22

Составим для изображенного на рис.2.22 стержня условие равновесия приложенных к стержню сил, на ось :

, (д)

откуда .

Но усилие , так как в сечение №3 отсутствуют силы, действующие вдоль участка стержня 3-4 (Рис.2.17). Следовательно,усилие. Теперь можно определить остальные продольные усилия, действующие в узле C. Из уравнения (в) находим:

кН.

Из уравнения (г) найдем усилие :

кН.

Найдем продольные усилия в сечениях №6 и №7. Для этого составим уравнения равновесия сил, приложенных к узлу Dна горизонтальную и вертикальную оси координат Х и Y (Рис.2.21,б). При составлении этих уравнений не следует забывать, что к узлуD приложена сосредоточенная сила.

; (е)

. (ж)

Из уравнения (е) находим продольную силу в сечении №6:

кН.

Из уравнения (ж) находим продольную силу в сечении №7:

кН.

Откладываем найденные значения для продольной силы и строим эпюру продольных усилий (Рис.2.23).

Рис.2.23

Приведенные примеры построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов для балок и эпюр поперечных сил, изгибающих моментов и продольных усилий для рам позволяют получить наглядное представление о преимуществах и недостатках метода “характерных”сечений. К числу преимуществ этого метода можно отнести простоту определения внутренних силовых факторов. К числу недостатков – отсутствие аналитических законов распределения внутренних силовых факторов по длине элементов конструкции. Однако, использования дифференциальных зависимостей между интенсивностью распределенной нагрузки, поперечной силой и изгибающим моментом для анализа поведения распределения внутренних усилий и следствий из них в значительной мере компенсирует последний недостаток. Сделанный вывод позволяет рекомендовать метод построения эпюр распределения внутренних силовых факторов по“характерным’сечениям в учебную практику.