- •Основні питання Програми дисципліни за темою «Аналітична геометрія на площині та в просторі»
- •Орієнтовний перелік питань для підсумкового контролю знань
- •1. Аналітична геометрія на площині
- •1.1. Декартова прямокутна система координат на площині
- •1.2. Полярна система координат
- •Зв’язок між прямокутними декартовими та полярними координатами
- •1.3. Пряма лінія на площині
- •Відстань від точки до прямої:
- •Взаємне розташування двох прямих на площині
- •1.4. Криві другого порядку
- •Зсунені криві
- •2. Аналітична геометрія у просторі
- •2 .1. Площина у просторі
- •Відстань від точки до площини,
- •Взаємне розташування двох прямих у просторі
- •Взаємне розташування прямої та площини у просторі
- •Методичні вказівки щодо виконання індивідуальних завдань
- •Правила виконання та оформлення індивідуальних завдань
- •Список літератури
- •Додаток
- •Індивідуальні завдання за темою
- •«Аналітична геометрія на площині та в просторі»
- •Завдання 1
- •Завдання 2
- •Завдання 3
- •Завдання 4
- •Завдання 5
- •Завдання 6
- •Завдання 7
Відстань від точки до прямої:
Пряма задана нормальним рівнянням |
Пряма задана загальним рівнянням |
Взаємне розташування двох прямих на площині
Загальне рівняння |
Канонічне рівняння |
Рівняння з кутовим коефіцієнтом |
: |
: |
: |
: |
: |
: |
1. Умова паралельності двох прямих: | ||
|
|
|
2. Умова перпендикулярності двох прямих: | ||
|
|
|
3. Кут між двома прямими: | ||
|
|
|
1.4. Криві другого порядку
Крива |
Еліпс– геометричне місце точок площини, сума відстаней яких від двох заданих точок цієї площини, які називаютьсяфокусами, є величина стала і більша відстані між фокусами |
Гіпербола– геометричне місце точок площини, модуль різниці відстаней яких від двох заданих точок цієї площини, що називаютьсяфокусами, є величина стала і менша відстані між фокусами |
|
Еліпс з фокусами на осі |
Гіпербола з фокусами на осі |
Рівняння |
, | |
Півосі, (,– осі) |
–велика; – мала піввісь |
–дійсна; – уявна піввісь |
Фокусна відстань | ||
Фокуси |
; |
; |
Ексцентри-ситет | ||
Рівняння директрис | ||
Асимптоти |
– | |
Фокальні радіуси |
–правий; –лівий; |
–правий; –лівий; |
Рисунок |
Параболою називається геометричне місце точок площини, рівновіддалених від заданої точки, яка називаєтьсяфокусом, і від заданої прямої, яка називаєтьсядиректрисоюта не проходить через фокус.
Параболи, симетричні відносно осі | ||
Рівняння | ||
Координати фокуса | ||
Рівняння директриси | ||
Рисунок | ||
Параболи, симетричні відносно осі | ||
Рівняння | ||
Координати фокуса | ||
Рівняння директриси | ||
Рисунок |
Зсунені криві
Коло |
|
Еліпс |
Гіпербола |
|
|
Параболи | |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Аналітична геометрія у просторі
2 .1. Площина у просторі
|
1. Рівняння площини, яка проходить через задану точку та перпендикулярно вектору (нормальний вектор площини): . 2. Загальне рівняння площини: |
|
3. Рівняння площини, яка проходить через три задані точки ,та: |
|
4. Рівняння площини у відрізках на осях:
,
де – координати точок перетину площини з осямивідповідно |
|
5. Нормальне рівняння площини:
,
де – відстань від початку координат до площини;– кути, які створює нормаль, проведена з початку координат, з осями |
Якщо у загальному рівнянні відсутній доданок з якою-небудь змінною, то площина паралельна відповідній координатній осі. Якщо у рівнянні відсутні доданки з двома змінними, то площина паралельна відповідній координатній площині. Якщо у загальному рівнянні площини відсутній вільний член, то площина проходить через початок координат.