- •Методичні вказівки та індивідуальні завдання
- •Відповідальний за випуск д.Г. Зеленцов, д-р техн. Наук
- •Основні питання програми дисципліни за темою «диференціальне числення функцій однієї змінної»
- •Орієнтовний перелік питань для підсумкового контролю знань
- •1. Визначення похідної. Диференціювання функцій
- •1.3. Таблиця похідних функцій:
- •2. Геометричне застосування похідної
- •3. Диференціювання функцій, заданих параметрично
- •5. Правило лопіталя
- •Список літератури
2. Геометричне застосування похідної
2.1. Теорема.Якщо крива задана рівнянням, то значенняпохідноїу точцідорівнює кутовому коефіцієнтудотичної до графіка функції, проведеної в точці:, де(рис. 2.1).
Рис. 2.1
2.2. Рівняння дотичної до кривоїу точцімає вигляд:
або
.
2.3. Кутом між двома кривими в точці їх перетинуназивається кут між дотичними до кривих у цій точці.
Кут між двома прямими з кутовими коефіцієнтамитавідповідно визначається за формулою, причому знак “плюс” відповідає гострому куту, а знак “мінус” – тупому.
Якщо , то дотичні – взаємно перпендикулярні, а криві називаються ортогональними.
2.4. Приклад.Знайти рівняння дотичної до графіка функції, яка паралельна прямій. Зробити креслення.
Розв’язання. Графік функції – парабола. Так якпри,, то вершиною параболи є точка з координатами (2; –1). За умовою, дотичнадо параболи і дана прямаз рівняннямпаралельні; отже, їх кутові коефіцієнти рівні:,,. Отже,– абсциса точки дотикупараболи та прямої,– її ордината. Таким чином, рівняння дотичноїмає вигляд:(рис. 2.2).
Рис. 2.2
Завдання 2.Знайти рівняння дотичної до графіка функції, яка проходить паралельно прямій. Зробити креслення.
|
| ||||
|
y = x2 – 6x + 8, |
y = 6x + 1 |
|
y = – x2 – 2x + 3, |
y = – 2x – 2 |
|
y = x2 – 6x + 8, |
y = 2x + 3 |
|
y = x2– 2x – 3, |
y = – 4x +2 |
|
y = x2 – 2x –3, |
y = 6x + 3 |
|
y = x2 + 2x – 3, |
y = 2x – 2 |
|
y = x2 + 8x – 9, |
y = 2x + 1 |
|
y = x2 – 4x + 3, |
y = 2x + 4 |
|
y = x2 – 5x + 4, |
y = – x – 2 |
|
y = x2 + 2x – 3, |
y = 4x – 1 |
|
y = – x2 – 2x +3, |
y = – 6x + 4 |
|
y = x2 + 8x – 9, |
y = 4x |
|
y = x2 – 5x + 4, |
y = x + 3 |
|
y = x2 – 2x – 3, |
y = 4x –1 |
|
y = x2 – 6x + 8, |
y = – 4x + 2 |
|
y = – x2 – 2x + 3, |
y = 4x –3 |
|
y = x2 + x, |
y = x – 3 |
|
y = – x2 – 2x + 3, |
y = 2x + 1 |
|
y = x2 + 8x – 9, |
y = 6x |
|
y = x2 – 8x – 9, |
y = – 6x |
|
y = – x2 + 4x, |
y = 2x |
|
y = x2 – 5x + 4, |
y = – 3x – 1 |
|
y = x2 + 8x – 9, |
y = – 2x + 1 |
|
y = x2 – 4x + 3, |
y = 4x + 4 |
|
y = x2 – 2x – 3, |
y = 2x + 2 |
|
y = x2 + 2x – 3, |
y = – 4x + 2 |
|
y = x2 – 6x + 8, |
y = 4x + 1 |
|
y = x2 –5x + 4, |
y = 3x + 1 |
|
y = x2 – 4x + 3, |
y = 6x – 6 |
|
y = x2 – 4x + 3, |
y= – 4x – 4 |