Численні методи і LU (АСД)

Математические алгоритмы

2. Метод касательных

Допущение: выбирается отрезок изменения значения х [a,b] такой, чтобы функция f(x) была непрерывной и имела значения на концах отрезка с разными знаками, а также значения первой и второй производных не равные нулю.

Тогда приближенное значение корня находится как абсцисса точки пересечения касательной к функции f(x) с осью ОХ:

-первая касательная проводится для точки (a, f(a)) или (b,f(b)), у которой значение первой и второй производных больше нуля;

-следующая проводится для новой точки (х,f(x)) и определяется следующее приближенное значение x;

-процесс повторяется до тех пор, пока f(x) не станет равным нулю или f(x)< , где заданная точность.

21

Математические алгоритмы

y

a x1 x2

f(x)

где i = 0,1,2,3,…

22

Математические алгоритмы

3. Метод хорд (линейного интерполирования)

Допущение: выбирается отрезок изменения значения х [a,b] такой, чтобы функция f(x) была непрерывной и имела значения на концах отрезка с разными знаками.

Тогда приближенное значение корня находится как абсцисса точки пересечения хорды, проходящей через некоторые точки на кривой, с осью ОХ:

-первая абсцисса точки пересечения с осью ОХ x1 определяется хордой, проходящей через точки (a, f(a)) и (b, f(b));

-пока f(xi)> , определяется следующая абсцисса точки пересечения с осью ОХ хорды, проходящей через точки

(a,f(a)) и (xi, f(xi)), если f(a) f(xi)<0 или точки (b,f(b)) и (xi, f(xi)), если f(b) f(xi)<0.

23

Математические алгоритмы

24

Математические алгоритмы

Решение дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения n-го порядка вида:

используются для математического моделирования физических процессов и явлений.

Для решения таких уравнений применяются методы численного интегрирования, которые решают уравнение 1-го порядка. Поэтому дифференциальное уравнение n- го порядка преобразуют в систему из n уравнений 1-го порядка.

25

Математические алгоритмы

26

Математические алгоритмы

1. Метод Эйлера

при заданных начальных условиях Для вычисления значения y(x):

-диапазон значений от х0 до х разбивается на части (n отрезков);

-для каждого отрезка вычисляется приращение функции и добавляется к предыдущему значению:

27

Математические алгоритмы

x

х0 x1 x2

28