Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный авиационный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

0887579_C36AB_denisyuk_v_p_repeta_v_k_gaeva_k_a_kleshnya_n_o_visha_matemat

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.02.2016

Размер:

3.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 4344 / 4544 45 > Следующая >>>

Т.5 ЗАВДАННЯ ДЛЯ АУДИТОРНОЇ

ІСАМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

1.Для значень аргументу x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4, x5 = 5, x6 = 6 здобуті значення функції y1 , y2 , y3 , y4 , y5 , y6 (табл. 5.26). Установіть ме-

тодом найменших квадратів функціональну залежність між х та у і визначте параметри емпіричної формули.

Таблиця 5.26

Номер задачі	у1	у2	у3	у4	y5	y6
1	2,2	4,5	6,7	9	11	13,5

2	2	4,9	7,9	11,1	14,1	17

3	0	–2	–6	–11	–18	–26,5

Відповіді

1. y = 2,23x. 2. y = 3,023x − 1,081. 3. y = −0,75x2 + 0,85.

Т.5 ІНДИВІДУАЛЬНІ ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ

Для значень аргументу x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4, x5 = 5 отримані значення функції y1, …, y5 (табл. 5.27). Побудуйте методом найменших квадратів функцію y = ax + b, що наближає експериментальні дані, а також графік цієї функції.

					Таблиця 5.27

№ варіанта	y1	y2	y3	y4	y5

1	2,8	3,7	2,6	4,1	5,1
2	4,9	3,6	4.1	2,0	0,8
3	3,4	4,3	5,1	6,2	7,0

4	4,1	5.2	6,0	7,5	8,1

5	5,2	10,5	14,4	18,9	24,3
6	4,5	4,9	6,0	7,1	7,7

7	2,9	3,1	4,1	4.9	6,1

8	5,3	6,1	6,8	7,5	8,5
9	5,8	4,9	4,4	3,9	3,6
10	2,7	5,2	7,4	8,2	9,6
					431

Закінчення табл. 5.27

№ варіанта	y1	y2	y3	y4	y5

11	1,2	–0,3	–1,4	–3,5	–4,8

12	–1,3	1,5	3,2	5,6	6,5

13	3,4	4,1	4,8	5,6	7,8
14	5,4	3,8	3,2	1,7	1,4
15	4,5	6,3	10,8	14	15,5
16	3,7	4,5	6,6	7,4	7,8
17	2,6	1,2	–0,8	–3,6	–4,7
18	4,5	10,1	12,2	18,2	20,3

19	6,3	4,7	4,2	2,7	1,8

20	5,6	8,2	7,5	8,4	10,8

21	3,1	4,5	5,4	5,9	7,1
22	4,4	5,5	6,3	7,8	8,4
23	3,9	2,8	1,9	0,6	– 0,5
24	3,6	4,7	5,5	6,8	7,5
25	5,7	5,1	4,5	3,9	3,3
26	4,7	3,9	2,6	1,7	0,5

27	5,2	6,1	7,0	8,4	8,9

28	3,0	3,8	4,2	5,1	5,9
29	5,2	4,5	4,0	3,2	1,9
30	3,8	2,7	1,6	0,8	– 0,3

Тема 6. ЧИСЕЛЬНЕ ІНТЕГРУВАННЯ

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

Метод Ейлера. Метод Рунге—Кутта.

Література: [6], [10, гл. 6, с. 121—133], [11], [18, гл. 6, с. 265—296].

Т.6 ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

6.1. Метод Ейлера

Нехай треба розв’язати задачу Коші, тобто знайти такий розв’язок ди-

ференціального рівняння
y′ = f(x, y),	(5.43)
432

який задовольняє початкову умову

y(x0) = y0.

Розглянемо метод Ейлера побудови наближеного розв’язку такої задачі

на проміжку [x0 ; x] . Розіб’ємо відрізок [x0 ; x]											на n рівних частин точка-
ми x	= x	+ hi ( i = 1,	2, ..., n ), де h =				x − x0		― крок процесу. Вважатимемо,

i	0						n
											y′ зберігає стале значення і
що на проміжку [x0 ;			x0 + h] ( [x0 ; x1 ] ) похідна
дорівнює		f (x0 , y0 ) . Тоді
				y1 − y0	=	y1 − y0		≈ f		(x ,	y ) ,

				x1 − x0		h				0	0

де y1 ― значення шуканої функції в точці x1 = x0 + h . Звідси y1 ≈ y0 + h f (x0 , y0 ).

Повторюючи операцію для наступних проміжків [x1 ; x2 ], ..., [xn−1 ; xn ] , послідовно дістають значення шуканої функції в точках x2 , ..., xn :

y2 ≈ y1 + h f (x1 , y1 ) , y3 ≈ y2 + h f (x2 , y2 ),

....................................

yn ≈ yn−1 + h f (xn−1 , yn−1 ).

У результаті обчислень дістають наближену інтегральну криву у вигляді ламаної з вершинами Mi (xi , yi ) ( i = 0, 1, ..., n ).

Порядок похибки методу Ейлера на інтервалі [xi; xi+1] дорівнює h2, а на всьому відрізку [a; b] ― h, тобто метод Ейлера має перший порядок точності. Отже, для підвищення точності в 10 разів (для обчислення одного додаткового десяткового знака) потрібно збільшити кількість точок розбиття також у 10 разів, що значно збільшить обсяг обчислювальної роботи. У цьому полягає основний недолік методу.

6.2. Метод Рунге―Кутта

Є кілька шляхів побудови чисельних методів розв’язання задачі Коші вищої за порядком точності відносно h. Один із них ґрунтується на використанні розкладання розв’язку за формулою Тейлора (інакше кажучи, розкладання в ряд). Проте на практиці перевагу надають методам, які

433

вимагають фактичного обчислення лише значень правої частини рівняння (5.43), без використання її похідних. Саме такими і є методи Рунге−Кутта.

Найпоширенішим на практиці є метод Рунге−Кутта четвертого порядку точності. Як і в методі Ейлера відрізок [x0 ; x] розбивають на n рівних

частин. Обчислення проводять за формулами:

yi+1

≈ yi +

(k1(i)

+ 2k2(i) + 2k3(i) + k4(i) ),

де

(i)

k(i)

= h · f(xi, yi),

k(i)

= h f

, y

(i)

(xi

+ h, yi + k3(i) )

k3(i) = h

f xi

, yi +

, k4(i) = h f

( i = 1,

n ).

2, ...,

Похибка на кожному кроці цього методу має порядок h5, а сумарна похибка методу на всьому інтервалі ― h4. Таким чином, якщо число точок розбиття збільшити у 10 разів, то точність підвищиться в 10 000 разів.

Т.6

ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ТИПОВИХ ЗАДАЧ

1. Використовуючи методи Ейлера та Рунге−Кутта, проінтегруйте ди-

ференціальне рівняння

= – ycos3x

(5.44)

на проміжку x [0; 2] за початкової умови

y(0) = 1 (x0 = 0, y0 = 1).

Розв’язання. Задане рівняння зручне для ілюстрації тим, що воно має

аналітичний розв’язок, який шукається відокремленням змінних:

= – cos3xdx, dlny = –

1 dsin3x, lny = –

sin 3x

+ C,

−

sin 3x

−

sin 3x

y = e

= C1 e

3 ,

(5.45)

де С та С1 – довільні сталі, які пов’язані між собою очевидним співвідношенням С1 = еС. Вираз (5.45) є загальним розв’язком диференціального рі-

434

вняння (5.44). Скориставшись початковою умовою y(0) = 1, дістанемо частинний розв’язок

y =	− sin 3x		(5.46)
	e	3 .

Цей аналітичний розв’язок буде використано як точний (еталонний) для порівняння з ним результатів наближених чисельних розв’язків рівняння (5.44) методами Рунге—Кутта.

З метою чисельного інтегрування рівняння (5.44) виберемо крок інтегрування h = 0,2. При цьому значенні інтегрування на всьому інтервалі

x [0; 2] буде здійснене за n = 2 − 0 = 10 кроків.

0,2

Результати чисельного інтегрування заданого рівняння методами Ейлера та Рунге—Кутта подано в табл. 5.28 та 5.29.

					Таблиця 5.28

n	xi	yi	n	xi	yi
n	xi	(за методом Ейлера)	n	xi	(за методом Ейлера)
		(за методом Ейлера)			(за методом Ейлера)

0	0	1,000	6	1,2	0,890
1	0,2	0,800	7	1,4	1,050
2	0,4	0,668	8	1,6	1,153
3	0,6	0,620	9	1,8	1,133
4	0,8	0,648	10	2,0	0,989
5	1	0,743

						Таблиця 5.29

n	xi	k1	k2	k3	k4	yi
n	xi	k1	k2	k3	k4	(за методом Рунге—
						Кутта 4-го порядку)
0	0	—	—	—	—	1,000
1	0,200	– 0,200	– 0,172	– 0,185	– 0,136	0,828
2	0,400	– 0,137	– 0,094	– 0,097	– 0,053	0,733
3	0,600	– 0,053	– 0,010	– 0,010	0,033	0,723
4	0,800	0,033	0,075	0,077	0,118	0,798
5	1,000	0,118	0,155	0,158	0,189	0,954
6	1,200	0,189	0,207	0,209	0,209	1,159
7	1,400	0,208	0,183	0,182	0,131	1,337
8	1,600	0,131	0,059	0,058	– 0,024	1,394
9	1,800	– 0,024	– 0,104	– 0,101	– 0,164	1,294
10	2,000	– 0,164	– 0,202	– 0,199	– 0,210	1,098

435

Порівняємо одержані результати з точним розв’язком (5.46). Для цього обчислимо за формулою (5.46) значення функції y(x) у точках розбиття

відрізка [0; 2] . Як видно з табл. 5.30, наближений розв’язок обчислений методомРунге—Куттапрактично збігається зточним розв’язкомзадачіКоші.

						Таблиця 5.30

n	xi		yi	yi		yi
		(аналітичний		yi	(за методом Рунге—
		(аналітичний		(за методом Ейлера)	(за методом Рунге—
		розв’язок (6.7)		(за методом Ейлера)		Кутта)
		розв’язок (6.7)				Кутта)
0	0	1,000		1,000		1,000
1	0,200	0,828		0,800		0,828
2	0,400	0,733		0,668		0,733
3	0,600	0.723		0,620		0,723
4	0,800	0,798		0,648		0,798
5	1,000	0,954		0,743		0,954
6	1,200	1,159		0,890		1,159
7	1,400	1,337		1,050		1,337
8	1,600	1,394		1,153		1,394
9	1,800	1,294		1,133		1,294
10	2,000	1,098		0,989		1,098

		Т.6	ЗАВДАННЯ ДЛЯ АУДИТОРНОЇ
			І САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ
1. Проінтегруйте рівняння y′=				y(1 – x) на проміжку		[0; 1] за умови

y(0) = 1, використовуючи методи Ейлера та Рунге–Кутта (крок h = 0,1; то-

			x−	1	x	2
чний розв’язок y = e				2		).
1. Див. табл. 5.31.							Відповіді
1. Див. табл. 5.31.												Таблиця 5.31
												Таблиця 5.31

Метод	x	0	0,1			0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0

Ейлера		1,000	1,105			1,208	1,309	1,404	1,491	1,567	1,631	1,681	1,715	1,732

Рунге–	y	1,000	1,099			1,197	1,290	1,377	1,455	1,522	1,576	1,616	1,640	1,648
Кутта		1,000	1,099			1,197	1,290	1,377	1,455	1,522	1,576	1,616	1,640	1,648
Кутта
Точний		1,000	1,099			1,197	1,290	1,377	1,455	1,522	1,576	1,.616	1,640	1,648
розв’язок		1,000	1,099			1,197	1,290	1,377	1,455	1,522	1,576	1,.616	1,640	1,648
розв’язок

436

Т.6 ІНДИВІДУАЛЬНІ ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ

Проінтегруйте диференціальні рівняння методами Ейлера і Рунге— Кутта на заданому інтервалі [a; b] при заданих початкових умовах y0 = y(x0 )

(табл. 5.32). Проміжок інтегрування розбийте на 10 рівних частин. Результати інтегрування подайте у вигляді таблиць. Розрахунки порівняйте з точним розв’язком заданого диференціального рівняння.

Номер	Диференціальне		Інтервал
варіанта	рівняння		інтегрування

1	y′ = y + 3x		x [0; 2]

2	y′ = x – 2y		x [0; 1]

3	y′ = х2	y	x [1; 2]

4	y′ = x2 – y		x [0; 1]
5	y′ = x2 – y		x [0; 1]
6	y′ = 3x2y – x2 ex3		x [0; 1]
7	(х2+1)y′ = 4ху		x [1; 2]
8	y(4 + x2 ) y′ = x(4 + y2 )		x [0; 1]
9	(х+1)y′ =2 у		x [1; 2]

10	y(1 + x2 ) y′ = x(1 + y2 )		x [1; 2]
11	y′ = y + xe2x		x [0; 1]
12	y′ = х	y	x [0; 1]

13	(2х+1)y′ = у		x [1; 2]

14	(х2+4)y′ = 2ху		x [0; 2]
15	y′ = – 2y + 2x		x [0; 1]

16	y′ = – 4y + 4x+1		x [0; 2]

17	y′ = – y – xex		x [0; 1]
18	y′ = 3x5 – 3x2y		x [0; 1]
19	(х+2)y′ = 3у		x [1; 2]

20	y′ = ysin2x		x [1; 3]

Таблиця 5.32

Початкова

умова

x0 = 0, y0 = 4 x0 = 0, y0 = 1

x0 = 1, y0 = 0

x0 = 0, y0 = 2 x0 = 0, y0 = 1

x0 = 0, y0 = 0 x0 = 1, y0 = 4 x0 = 0, y0 = 2 x0 = 1, y0 = 4 x0 = 1, y0 = 0 x0 = 0, y0 = 1 x0 = 0, y0 = 1 x0 = 1, y0 = 3 x0 = 0, y0 = 4 x0 = 0, y0 = 0 x0 = 0, y0 = 0 x0 = 0, y0 = 1 x0 = 0, y0 = 1 x0 = 0, y0 = 8 x0 = 1, y0 = 2

437

Закінчення табл. 32

Номер	Диференціальне	Інтервал		Початкова
варіанта	рівняння	інтегрування		умова

21	y′ = y2cosx	x [2; 4]	x0 = 2,		y0 = 3
22	y′ = y sin4x	x [1; 2]	x0 = 1,		y0 = 3

23	y′ = yln2x	x [5; 7]	x0 = 5,		y0 = 4
24	y′ = 5y2x	x [6; 8]	x0 = 6,		y0 = 2
25	y′ = 3yx3	x [2; 3]	x0 = 2,		y0 = 5
26	y′ = (xy)2	x [3; 5]	x0 = 3,		y0 = 1
27	y′ = y3x2	x [1; 3]	x0	= 1,	y0 = 3
28	(х2+1)y′ = 2ху	x [1; 2]	x0	= 1,	y0 = 2
29	(х–1)y′ = 2у	x [2; 4]	x0	= 2,	y0 = 4
30	y′ = y3x – 2	x [1; 3]	x0	= 1,	y0 = 3

438

ДОДАТКИ

І. Основні правила диференціювання. Нехай u(x), v(x) — диферен-

ційовні в точці х функції, С — стала. Тоді виконуються формули:

1. (u + v)′ = u′ + v′.

2. (uv)′ = u′v + uv′.

′

− uv

′

3. (Cu)′ = Cu′.

u v

(v ≠ 0) .

ІІ. Похідна складеної функції. Якщо функція

y = f (u) має

похідну в

точці u , а функція u = g(x)

— в точці x , то складена функція y = f (g(x))

диференційовна в точці x , причому

y′ = f ′(u) g′(x) .

ІІІ. Формули диференціювання основних елементарних функцій

1. (C)′ = 0

2. (xn )′ = nxn−1

3. ( x )′ =

′

= −

5. (ax )′ = ax ln a

6. (ex )′ = ex

7. (loga x)′=

8. (ln x)′= 1

x ln a

9. (sin x)′ = cos x

10. (cos x)′ =−sin x

11. (tg x)′ =

12. (ctg x)′ =−

cos2 x

sin2 x

13. (arcsin x)′ =

14. (arccos x)′ =−

1−x2

15. (arctg x)′ =

16. (arcctg x)′ =−

+ x2

17. (sh x)′ = ch x

18. (ch x)′ = sh x

19. (th x)′ =

20. (cth x)′ =−

ch2 x

sh2 x

439

ІV. Диференціал dy

функції y = f (x)

у точці x :

dy = f ′(x)dx .

V. Таблиця інтегралів основних елементарних функцій

∫ 0dx = C .

∫ dx = x + C .

∫ xn dx = xn+1

+ C , n ≠ −1 .

∫ dx

= ln | x | + C .

n + 1

∫ a

+ C .

∫ ex dx = ex + C .

ln a

∫ sin xdx = − cos x + C .

∫ cos xdx = sin x + C .

∫

= tg x + C .

10.

∫

= − ctg x + C .

cos

sin

11.

∫

2 dx

= 1 arctg

x + C .

12.

∫

2 dx

= 1 ln

x − a + C .

+ a

− a

x + a

13.

∫

= arcsin

x + C .

14.

∫

= ln x +

x2 ± a2

+ C .

− x

± a

15.

∫ sh xdx = ch x + C .

16.

∫ ch xdx = sh x + C .

17.

∫

dx2

= th x + C .

18.

∫

dx2

= − cth x + C .

19.

∫ tg xdx = − ln | cos x | + C .

20.

∫ctg xdx = ln | sin x | + C .

VI. Таблиця зображень основних функцій оригіналів

№	Оригінал	Зображення

1	η(t)			1
1	η(t)			p
				p

2	η(t − t	0 )	e−t0 p
2	η(t − t	0 )		p
				p

3	tn	n!
3	tn	pn+1
		pn+1
4	eαt	1
4	eαt	p − α
		p − α

440

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 4344 / 4544 45 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.08.20195.47 Mб21(Т4 укр)м(Л21).doc
#
29.08.20193.68 Mб36(Т5укр)м(Л22-23).doc
#
11.12.2018296.96 Кб12+Изгот микросхем.doc
#
11.12.2018437.76 Кб3+страничная память.doc
#
19.02.20162.32 Mб210887578_645D9_denisyuk_v_p_repeta_v_k_gaeva_k_a_kleshnya_n_o_visha_matemat.pdf
#
19.02.20163.59 Mб510887579_C36AB_denisyuk_v_p_repeta_v_k_gaeva_k_a_kleshnya_n_o_visha_matemat.pdf
#
19.09.2019106.5 Кб01 000 000 $.doc
#
16.11.20191.38 Mб11 Lab (Neuro).docx
#
19.02.20161.12 Mб1001 Конспект лекций Основы системного анализа.doc
#
25.11.2019238.27 Кб41 Літосферні стихійні лиха.docx
#
19.02.201652.22 Кб4741 ПЗ М1 Менеджмент.doc