Часть2
.pdf2. Вращение тела вокруг неподвижной оси (вращательное движение).
Признак движения: при движении тела две точки тела (или жестко с ним связанные) остаются неподвижными. Через эти точки проходит неподвижная ось вращения.
Движение тела в целом характеризуют три параметра: угол поворота тела ϕ, угловая скорость тела ω, угловое ускорение тела ε .
Задание вращательного движения тела |
|
Угловая скорость тела |
|
Угловое ускорение тела |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Угловая скорость ω тела характеризует |
Угловое |
ускорение |
|
|
тела |
ε |
||||||||||
|
|
|
|
|
быстроту изменения угла ϕ. |
|
характеризует |
быстроту |
|
изменения |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
ω = dϕ |
|
угловой скорости тела ω. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
ε = |
|
dω |
= |
|
d2ϕ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Если ω>0, то тело вращается в сторону |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
dt2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
положительного отсчета угла ϕ, при |
Чтобы определить характер вращения |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
ω<0 - в сторону отрицательных |
тела (ускоренное или замедленное) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
значений угла ϕ. Вектор угловой |
надо сравнить знаки ω и ε. Если знаки |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
скорости тела ω |
направлен |
по оси |
одинаковые |
(w × e > 0), |
то |
вращение |
||||||||||
|
|
|
|
|
вращения в ту сторону, откуда поворот |
тела ускоренное, если |
знаки разные |
||||||||||||||
Положение тела определяется углом ϕ |
тела |
выглядит происходящим |
против |
(w × e < 0) - вращение замедленное. |
|
||||||||||||||||
между неподвижной плоскостью (Н) и |
хода |
часовой |
|
стрелки. |
Точка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
подвижной (П), связанной с телом. |
приложения на оси не фиксирована |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Обе плоскости проходят через ось z |
(вектор скользящий). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
вращения тела. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ϕ = ϕ(t) - уравнение вращательного |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
движения |
тела, |
оно |
позволяет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
определить положение тела в любой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
момент времени t. Начало отсчета угла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ϕ |
на |
неподвижной |
плоскости |
|
|
|
|
|
|
ускоренное |
|
|
|
|
замедленное |
|
|||||
обозначено 0 (ноль); "+" - направление |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
вращение тела |
|
вращение тела |
|
||||||||||||
положительного отсчета угла ϕ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
41 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
42
Определение скорости и ускорения точки вращающегося тела.
Скорость точки тела |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ускорение точки тела |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Модуль |
скорости точки |
|
|
|
Полное ускорения |
|
|
имеет |
||||||||||||||
|
|
|
|
a |
||||||||||||||||||
тела: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
составляющие |
по |
|
осям: |
||||||||
V = ωh , |
угловой |
|
|
|
касательной ( aτ ) |
и |
главной |
|||||||||||||||
где ω - |
модуль |
|
|
|
нормали |
( an ) |
в |
|
|
данной |
||||||||||||
скорости |
тела, h |
– |
рас- |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
точке. Составляющие вычис- |
|||||||||||||||||||
стояние от |
точки |
до |
оси |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
ляются исходя из того, что |
|||||||||||||||||||
вращения |
|
|
тела. |
Вектор |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
траектория |
точки |
– окруж- |
|||||||||||||||
скорости |
|
|
точки |
V |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
ность. |
Модуль касательного |
||||||||||||||||
перпендикулярен |
отрезку |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
ускорения |
точки |
|
aτ = e × h, |
||||||||||||||||
длины h |
и |
направлен в |
|
|
|
|
||||||||||||||||
сторону поворота тела. |
|
|
|
где |
ε |
- |
модуль |
углового |
||||||||||||||
|
|
|
ускорения тела, h – рас- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
стояние от точки до оси |
||||||||||
Скорости |
|
|
точек |
прямо |
вращения тела. Вектор aτ cовпадает по направлению с |
|||||||||||||||||
пропорциональны |
|
рас- |
вектором |
|
скорости |
точки, |
|
если |
вращение тела |
|||||||||||||
|
V |
|
||||||||||||||||||||
стояниям от точек до оси |
ускоренное |
( ωε > 0, |
здесь ω |
и |
ε |
– |
алгебраические |
|||||||||||||||
Вращения тела: |
|
|
величины) и направлен в сторону, противоположную |
|
, |
|||||||||||||||||
|
|
V |
||||||||||||||||||||
|
VA |
|
|
hA |
|
|
|
если вращение тела |
замедленное |
(ωε < 0 ). |
|
Модуль |
||||||||||
|
= |
. |
|
|
нормального ускорения точки an = w2 × h, |
где ω - |
|
модуль |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
VB |
|
hB |
|
|
угловой скорости тела. Вектор an |
направлен от точки к оси |
|||||||||||||||
VB > VA > VD . |
|
вращения тела, перпендикулярно этой оси. Так как an^aτ , |
то a = hε2 + ω4 .
Скорости V точек вращающегося тела в данный момент времени различны по величине и направлению; ускорения a точек тела также различны по величине и направлению.
Перед выполнением задания прочтите по учебнику тему: «Простые движения твердых тел: поступательное движение тела, вращение тела вокруг неподвижной оси».
Вопросы, на которые следует обратить внимание и выучить:
1.Признак поступательного движения (определение): любая прямая, принадлежащая телу, остается параллельной своему первоначальному положению.
2.Основная теорема о траекториях, скоростях и ускорениях точек поступательно движущегося тела.
3.Задание поступательного движения тела.
4.Признак вращательного движения (определение).
5.Задание вращательного движения тела (уравнение движения).
6.Определение модуля и направления угловой скорости ω и углового ускорения ε тела; физический смысл этих векторов.
7. Определение характера вращения тела (ускоренное |
при w × e >0 и |
|
замедленное при |
w × e < 0; здесь ω = dϕ dt , ε = dω dt |
- алгебраические |
значения угловой |
скорости и углового ускорения тела); |
|
8.Определение модуля и направления скорости V и ускорения a точки вращающегося тела.
Пример К2. Уравнение движения груза 1 (рис. К2): x1 = −3t 2 + 7t + 20 ; он приводит в движение звено 2; движение затем передается звеньям 3 и 4.
Проскальзывание между телами отсутствует. Известно, что |
R2 = 3r2 , |
R3 = 3,6 r2 , r3 = 2r2 , r2 = 0,2 , O3 A = 3 4 R3 . Время t задано в секундах, |
длины – |
в метрах. |
|
При t=1c определить угловые скорости ω2 и ω3 тел 2 и 3 соответственно; угловое ускорение ε3 тела 3, скорость V4 движения рейки 4, скорость VA и
ускорения anA и aτA точки A. Векторы V 4 , V A , anA , aτA построить на рисунке.
Рис. К2.
43
Решение. Поступательное движение груза 1 преобразуется во вращательное движение звена 2 (ось вращения O2 перпендикулярна рисунку),
затем во вращательное движение звена 3, которое преобразуется в поступательное движение рейки 4 (рис. К2). Отметим на рис. К2 точки контакта одного тела с другим: точка K (груз - трос), точка B (трос - звено 2), точка D (звено 2 - звено 3), точка M (звено 3 - звено 4).
Проскальзывание в точках контакта отсутствует, следовательно, скорости соприкасающихся точек равны. Это равенство скоростей является основным при решении данной и следующей задач.
Будем называть ведущим звеном то звено, движение которого задано. С рассмотрения ведущего звена начинаем решение задачи. В данной задаче это груз 1. Ведущим могло бы быть и любое другое звено – в кинематике это существенного значения не имеет.
По условию, уравнение движения груза 1
x |
= −3t2 |
+ 7t + 20. |
(1) |
||
1 |
|
|
|
|
|
Из (1) находим скорость V1 этого груза |
|
|
|||
V |
= |
dx1 |
|
= -6t + 7 . |
(2) |
|
|||||
1 |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
При t=1c V1 = 1 м/c и вектор V 1 направлен по вертикали вниз.
Рассмотрим точку В.
Так как эта точка принадлежит вертикальной части троса BK, то
VB = VK = V1 ;
с другой стороны, точка B принадлежит вращающемуся телу 2; следовательно,
VB = ω2r2 .
Для VB получено два соотношения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì VB = V1 |
(трос), |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
í |
|
|
|
|
(звено 2). |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
îVB = w2r2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Сравнивая эти соотношения, находим |
= − 6t + 7 ; w |
|
|
|
7 − 6t |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
V = w |
r Þ w |
2 |
= |
V1 |
|
2 |
= |
с−1, |
(3) |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
2 |
|
|
r2 |
0,2 |
|
0,2 |
|
|
|
|||||||
|
|
= 5с−1; для V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
при t =1c ω |
2 |
|
использована формула (2). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Укажем на рис. К2 вектор |
|
B ; он направлен так же, |
как вектор |
|
1; в то же |
|||||||||||||||||
V |
V |
|||||||||||||||||||||
время вектор |
|
|
B O2B |
и |
|
направлен |
в сторону поворота тела 2. Тело 2, |
|||||||||||||||
V |
|
|||||||||||||||||||||
следовательно, |
|
вращается по ходу часовой стрелки. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Рассмотрим точку D. |
|
ìVD = w2 R2 (звено 2), |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
í |
= w3r3 |
(звено 3). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î VD |
|
|
|
|
|
|
|
Сравнив эти соотношения, найдем
44
w |
2 |
R |
2 |
= w |
3 |
r Þ w |
3 |
= |
w2R2 |
. |
|
|||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
r3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставляя в последнее выражение данные задачи и используя (3), получим |
|
|||||||||||||
w3 = |
|
(7 - 6t)× 3r2 |
; |
w3 = 7,5(7 - 6t) c−1. |
(4) |
|||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
0,2 × 2r2 |
|
|
|
|
|
|
Установим направление поворота тела 3. Скорость точки D перпендикулярна DO2 и направлена в сторону поворота тела 2. Этот вектор V D и покажет направление поворота тела 3 – против хода часовой стрелки. Изобразим вектор V D на рис. К2 и заметим, что согласно теории VD = 3VB .
Рассмотрим точку M.
|
|
ìV |
M |
= w |
R (звено 3), |
|
í |
|
3 3 |
|
|||
î |
VM = V4 (звено 4). |
|
||||
Сравнив эти соотношения, найдем |
|
|
||||
|
|
|
|
V4 = w 3R3. |
|
|
Подставляя в последнее уравнение данные из (4), получим |
|
|||||
|
|
V4 = 7,5(7 - 6t) ×3,6 ×0,2; V4 = 5,4(7 - 6t) м / с ; |
(5) |
|||
при t =1с V4 = 5,4 м/с. |
|
|
|
|
||
Вектор |
|
M направлен перпендикулярно MO3 в сторону поворота |
тела 3, |
|||
V |
следовательно, вектор V 4 направлен вниз. Рассмотрим точку A.
Точка A принадлежит звену 3, которое вращается вокруг оси O3, следовательно,
для нахождения |
|
A , |
|
nA |
и |
|
|
τA надо определить угловую скорость |
w3 |
тела и |
||||||||||||
V |
a |
a |
||||||||||||||||||||
угловое ускорение e3 тела. Зависимость угловой |
скорости w3 |
от времени |
||||||||||||||||||||
найдена выше (4). Определяем угловое ускорение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
e3 = |
dω3 |
|
= |
d |
|
(7,5(7 - 6t)) = -7,5×6; e3 |
= -45 с |
−2 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||
dt |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
В момент времени t=1c |
|
|
w = 7,5 с−1, |
e |
3 |
= -45 с−2 |
. Знаки w |
3 |
и e |
3 |
разные, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
следовательно, вращение тела 3 замедленное. Определим расстояние hA от точки до оси O3 :
hA = AO3 = 43 R3 = 0,54 м ;
после чего находим:
VA = w3hA = 4,05 м/с; вектор V A^AO3 и направлен в сторону поворота тела 3; anA = w32 × hA » 30,4 м/с2; вектор anA направлен вдоль АО3 к центру O3;
45
aτ |
= |
|
e |
3 |
|
×h |
A |
= 24,3 |
|
м/с2; вектор aτ |
^AO |
и направлен в сторону, |
||||
|
|
|||||||||||||||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
3 |
|
||
противоположную повороту тела 3 (замедленное вращение тела). |
||||||||||||||||
|
|
|
Векторы |
|
A , |
|
nA , |
|
τA строим на рис. К2 в точке A. Можно вычислить aA |
|||||||
|
|
|
V |
a |
a |
и построить на рис. К2 вектор a A . Это рекомендуется сделать самостоятельно. Так как an^ aτ , то
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
A |
= a2 |
+ a2 = h × w4 |
+ e2 . |
||||||
|
Ответ: при t=1c |
|
|
|
n |
τ |
3 |
3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
w2 = 5 с−1 ,- вращение по ходу часовой стрелки; |
|
|
||||||||||||||||
w |
= 7,5 с−1, e |
3 |
= -45 с−2 |
,- замедленное вращение против хода часовой стрелки; |
||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V4 = 5,4 м/с - движение по вертикали вниз; |
|
|
|
|
||||||||||||||
VA = 4,05 м/с, вектор |
|
|
A^AO3 и направлен в сторону поворота тела 3; |
|||||||||||||||
V |
||||||||||||||||||
an |
» 30,4 м/с2, вектор |
|
nA направлен по АО3 |
к центру O ; |
||||||||||||||
a |
||||||||||||||||||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
τA^AO |
|
|
|
|
3 |
||||
aτ |
= 24,3 м/с2, |
вектор |
|
и направлен |
в сторону, противоположную |
|||||||||||||
a |
||||||||||||||||||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
вектору V A , так как вращение тела замедленное.
Рассмотрим теперь ременную передачу движения. Методика решения задачи при этом не меняется, но необходимо отразить дополнительным кинематическим уравнением тот факт, что в передаче движения от тела 1 к телу 2 участвует ремень.
Пример К2′. Колесо 1 вращается вокруг неподвижной оси O1 с
угловой скоростью |
|
w1 = 3t 2 с-1, |
(6) |
направление поворота указано на рис. К2¢. |
|
1
2
3
Рис. К2′.
46
Определить угловую скорость w2 колеса 2 и скорость V3 груза 3 в произвольный момент времени t. Радиусы колес r1, r2 , R2 известны.
Проскальзывание ремня отсутствует.
Решение. Вращательное движение ведущего звена 1 преобразуется во вращательное движение звена 2, а затем в поступательное движение груза 3. Точки контакта (рис. К2¢): A (звено 1 - ремень), B (ремень - звено 2), D (звено 2 -
трос DK), K (трос - звено 3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Рассмотрим точки A и B. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
ì VA = w1r1 ( звено1), |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
ï |
|
= VB (ремень AB), |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
íVA |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
ï |
|
= w2 R2 (звено 2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
î VB |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Сравнив эти соотношения, найдем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w r |
3t2 r |
|
|
|
|
|
3t2 r |
|
||
|
|
w r = w |
2 |
R |
Þ w |
2 |
= |
|
1 1 = |
1 |
; w |
2 |
= |
1 |
. |
(7) |
||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
1 1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
R2 |
R2 |
|
|
|
|
R2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Направление поворота |
тела |
2 |
|
покажет вектор |
|
V |
B , |
который |
совпадает с |
|||||||||||||
вектором |
|
A . Тело 2 вращается против хода часовой стрелки. |
|
|||||||||||||||||||
V |
|
|||||||||||||||||||||
Рассмотрим точки D и K. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
ìV |
|
= w |
r |
|
(звено 2), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
ï |
D |
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
íVD = VK (трос DK ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
ï |
V |
K |
= V ( тело 3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сравнив эти соотношения, найдем
V3 = ω2r2.
Подставляя в последнее выражение значение ω 2 (формула (7)), получим
V3 = 3r1r2 t2 . R2
Вектор V 3 совпадает по направлению с вектором V D . Последний перпендикулярен DO2 и направлен в сторону поворота тела 2. Следовательно, груз 3 поднимается.
Ответ: w |
2 |
= |
3r1 |
t 2 |
с−1; |
V = |
3r1r2 |
t 2 |
м / с. |
|
|
||||||||
|
|
R2 |
|
3 |
R2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Задача решена в общем виде, но даже в этом случае при построении векторов на рисунке следует соблюдать соотношения "больше-меньше-равно".
Например, на рис. К2¢ VB > VD , VD = V3 .
Число вопросов в задаче может быть больше, но если освоена методика решения, то это не вызовет затруднений. Найдите самостоятельно, например, ε2 , a3.
Примечание: теория вращательного движения твердого тела будет применена также в задачах К3 и К4 (cм. ниже).
47