Часть2
.pdfКоординат-
ный способ
x = x(t) уравнения y = y(t) движения
z= z(t) точки M
вкоординат- ной форме.
|
|
|
|
|
Уравнения |
|
|
движения |
|||||||||||||||||||||
Траектория |
точки |
- |
позволяют определить |
||||||||||||||||||||||||||
проекции |
V |
|
|
на оси, |
|||||||||||||||||||||||||
это линия, |
которую |
затем величину и на- |
|||||||||||||||||||||||||||
описывает |
точка |
правление. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
при движении. |
|
Vx |
= |
|
dx |
; Vy |
= |
dy |
; |
|
|
|
|||||||||||||||||
Уравнение |
линии |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
dt |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
получим, |
исключив |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|||||||||||||
Vz |
= |
dz |
; модуль: |
||||||||||||||||||||||||||
параметр t |
из урав- |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||
нений |
движения; |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
V = Vx2 + Vy2 + Vz2 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||
или |
строим линию |
||||||||||||||||||||||||||||
по точкам, подстав- |
|
cos( |
|
|
|
|
|
) = |
Vx |
; |
|||||||||||||||||||
ляя |
значения t |
в |
|
V |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
, i |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
уравнения |
движе- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vy |
||||||||||||||||
ния. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
cos(V , j) = |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) = |
|
|
Vz |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
cos(V , k |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
V |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проекции a на координатные оси:
ax = |
dV |
x |
= |
|
|
d 2 x |
; ay = |
dVy |
|
= |
|
d 2 y |
; |
|||||||||||||||
|
dt |
|
|
dt 2 |
|
dt |
|
|
dt |
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
az = |
dV |
z |
|
= |
|
d 2 z |
|
; |
модуль: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dt 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
a = |
ax2 + ay2 + az2 |
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ay |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
cos(a , i ) |
= |
x |
; cos(a , j) = |
; |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos(a , k ) = aaz .
31
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Естествен- |
|
|
|
Траектория |
|
|
|
|
|
|
|
|
Естественные оси: начало осей в |
|||||||||||||||||
ный способ |
|
|
|
известна. |
|
|
|
|
|
|
|
|
том месте, где находится движу- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
щаяся точка М. Ось τ направлена |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по касательной к траектории. Ось n |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- главная нормаль - к оси τ , |
|||||||||||||||||
|
Траектория известна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
расположена |
|
|
|
в соприкасающейся |
|||||||||||||||
|
заранее |
и |
считается |
|
V = |
ds |
если V > 0, |
|
плоскости; направлена в сторону |
|||||||||||||||||||||
|
криволинейной |
|
|
; |
то |
вогнутости траектории. Ось b - би- |
||||||||||||||||||||||||
dt |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
осью s. На траекто- |
|
точка |
|
движется |
в |
нормаль - |
к плоскости (τ, n). |
||||||||||||||||||||||
|
рии указано начало |
|
сторону |
|
|
положитель- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
отсчета |
|
коорди- |
|
ных значений s ; если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
наты s (ноль 0), на- |
|
V < 0, - точка движет- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
правление |
отсчета s |
|
ся в сторону отрица- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
(+, -); |
|
|
|
тельных |
|
значений |
s; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
s = s(t) |
- |
уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектор |
V |
направлен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
(закон) |
|
движения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
по касательной |
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
точки по траектории. |
|
траектории |
в данной |
Проекции a на естественные оси: |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
точке. |
|
|
|
|
|
|
dV |
|
|
d 2 s |
|
|
|
|
|
|
V 2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aτ = |
= |
|
|
; an |
= |
; ab = 0; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
dt 2 |
|
|
ρ |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
aτ > 0 |
вектор |
|
|
|
направлен в |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сторону положительных значений s; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ - радиус кривизны траектории в |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точке М. |
|
Если знаки aτ и V |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
совпадают, то движение точки |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ускоренное, в противном случае - |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
замедленное. |
|
|
n |
|
τ ; a = |
an2 + aτ2 |
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
Пример К1a. Уравнения движения точки в плоскости заданы
координатным способом и имеют вид: |
|
|
|
|
|
x = 4 sin πt |
, |
|
(1) |
||
2 |
|
|
|
|
|
y = 6cos |
πt |
|
, |
|
(2) |
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
|
где время t задано в секундах, координаты x, y – в метрах. |
|
||||
Найти: уравнение траектории точки; положение точки на траектории при |
|||||
|
|
|
|||
t = t0 = 0 (начальное положение) и при t = t1 = 1 3 c; скорость V |
точки; |
ускорение a точки; касательное aτ , нормальное an ускорения точки и радиус кривизны траектории ρ при t = t1 = 13 c. В каждом пункте выполнить соответствующие построения на рисунке.
Решение. 1. Найдем уравнение траектории, исключив из (1) и (2) параметр t – время. Способ исключения t зависит от вида функций в правых частях (1), (2). В данном случае найдем из (1), (2) соответственно
sin |
πt |
= |
x |
, |
cos |
πt |
= |
y |
. |
2 |
|
2 |
6 |
||||||
|
4 |
|
|
|
|
Возводя полученные соотношения в квадрат, после этого складывая их и
учитывая, что sin2 a + cos2 a = 1, найдем: |
|
||||
|
x2 |
+ |
y2 |
= 1. |
|
42 |
62 |
||||
|
|
Из этого уравнения следует, что траекторией точки является эллипс, полуоси которого равны 4 м и 6 м, а центр имеет координаты (0, 0).
Выберем масштаб координат и выполним рисунок. Следует заметить, что приведенный рисунок (Рис. К1а) имеет вид, соответствующий уже окончанию решения; свой рисунок рекомендуется делать по мере продвижения решения.
Это позволяет контролировать получаемые результаты и делает их более
наглядными. |
|
= t0 , подставляя это значение t в (1) и (2): |
||||
2. Находим положение точки при t |
||||||
t = t0 = 0 |
Þ |
ì x = x |
0 = 0, |
|||
í |
= 6 м. |
|||||
|
|
|
îy = y0 |
|||
3. Находим положение точки при t |
= t1, подставляя это значение t в (1) и (2): |
|||||
t = t1 = 1 3 c Þ |
ì |
|
x = x1 = 2 м, |
|||
í |
y = y = 3 |
|
|
|||
3 м » 5,20 м. |
||||||
|
î |
|||||
|
|
1 |
|
|
Указываем на рисунке точки M0 и M1 , учитывая масштаб координат.
4. Найдем скорость точки. Из теории следует, что при координатном способе задания движения определяются сначала проекции скорости на оси координат. Используя (1) и (2) – уравнения движения точки – находим
33
|
|
|
|
|
Vx = |
dx |
= |
d æ |
|
pt |
ö |
|
2pcos |
pt |
, |
|
|
|
|
|
(3) |
|||
|
|
|
|
|
dt |
ç4sin |
2 |
÷ = |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dt è |
|
ø |
|
πt . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Vy |
= dy |
= -3psin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Модуль скорости V = |
Vx2 +Vy2 . Подставляя сюда (3), (4), получим |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
V = |
4p2 cos |
2 pt + 9p |
2 sin2 pt |
= p |
4 + 5sin |
2 pt . |
|
|
|
(5) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
При t = t |
1 |
= 1 3 с : V |
|
= π |
3 м/c ≈ 5,44 м/c , |
V |
|
= - 3π |
м/c » -4,71м/c , |
||||||||||||||
|
|
|
|
1x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1y |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
V1 = π |
21 2 м/c ≈ 7,20 м/c . |
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Выберем масштаб для скоростей (рис. К1а), проведем в точке M1 линии |
||||||||||||||||||||||||
параллельные осям x и y, и на этих линиях в масштабе скоростей отложим |
||||||||||||||||||||||||
отрезки: 5,44 по оси x |
и - 4,71 по оси y, что соответствует величинам и знакам |
|||||||||||||||||||||||
найденных проекций вектора скорости. На этих составляющих строим |
||||||||||||||||||||||||
параллелограмм (прямоугольник), диагональ которого по величине и |
||||||||||||||||||||||||
направлению |
соответствует |
|
вектору |
V 1. |
|
Проверьте |
|
следующее: |
длина |
|||||||||||||||
построенного |
вектора |
должна |
|
получиться |
равной |
|
найденному |
значению |
||||||||||||||||
V = p |
21 м/c » 7,20 м/c (с учетом масштаба скоростей). Вектор V 1 |
направлен |
||||||||||||||||||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по касательной к траектории в точке M1 |
и показывает направление движения |
|||||||||||||||||||||||
точки по траектории. |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
В точке |
M1 |
именно сейчас |
||||||||||||
|
|
|
|
M 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
M 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
построим естественные оси: |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1x |
|
касательную |
|
τ1 |
и главную |
||||||||
|
|
|
|
a1x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
|
|
|
|
нормаль |
n1 |
|
(эти |
оси |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
потребуются позже). Каса- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
V1y |
|
|
V1 |
|
тельную τ1 проводим вдоль |
||||||||||||
|
|
|
|
C1 |
|
|
|
|
|
V 1; |
главную |
нормаль |
n1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
1 проводим перпендикулярно |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ1 в плоскости рисунка и |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
a1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
направляем |
|
к |
|
центру |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кривизны |
траектории |
в |
||||||||
|
|
|
|
|
|
a1y |
|
|
|
|
|
точке |
|
M1 |
|
(в |
|
сторону |
||||||
n1 |
|
|
|
a1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вогнутости траектории). |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Масштаб длины: _____ =1м, скорости ___ =1м/с, ускорения: __ =1м/с2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
Рис. К1а. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Находим ускорение точки, используя (3), (4): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ax |
= |
|
d 2 x |
= |
|
dVx |
|
= -p |
2 |
sin |
pt |
, |
|
|
|
|
|
(7) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dt 2 |
|
|
dt |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
ay = |
|
d 2 y |
= |
dVy |
= - |
3p |
2 |
cos |
pt |
. |
|
|
|
|
(8) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dt 2 |
|
|
|
dt |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Модуль ускорения a = |
|
ax2 + ay2 |
. Из (7), (8) получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
pt |
|
9p4 |
|
2 pt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
a = |
p |
4 |
sin |
2 |
+ |
|
= |
|
4 + |
5cos |
2 pt |
. |
|
|
(9) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
cos |
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Подставляя в (7) - (9) t = t1 = 1 3 c, найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
= - p2 м/с2 |
|
|
|
|
|
= - 3 |
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
a |
|
» -4,93 м/c2 |
, a |
|
|
3 |
м/с2 |
» -12,8 м/c2 , |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
1x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1y |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
= p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
31 |
м/с2 » 13,7 |
м/c2 . |
|
|
|
|
(10) |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В точке M1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1x , a1y , учитывая их |
||||||||
строим в масштабе проекции ускорений |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
величины и знаки, а затем строим вектор ускорения |
|
1. |
Построив |
|
1, следует |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
проверить, получилось |
|
ли на |
|
|
рисунке |
|
|
a ≈ 13,7 м/c2 |
|
(c |
учетом |
масштаба |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ускорений), и направлен ли вектор a1 в сторону вогнутости траектории (вектор a1 проходит через центр эллипса, но это есть особенность данной задачи, связанная с конкретным видом функций (1) и (2)).
6. Находим касательное ускорение aτ , характеризующее изменение
модуля |
V |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dV |
|
|
|
|
|
d æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
5p2 sin pt |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 pt |
|
|
|
|
||||||||||||||
Учитывая (5), получим aτ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 + 5sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
çp |
|
|
|
÷ |
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
dt è |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
ø |
4 |
4 + |
5sin |
2 pt |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
При t = t1 = 1 3 c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
= |
5p |
|
|
м/c2 » 4,66 м/с2 . |
|
|
|
|
(11) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1τ |
|
|
4 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Касательное ускорение можно также найти, дифференцируя по времени |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
равенство V 2 = Vx2 +Vy2 . Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
2V |
dV |
= 2Vx |
dV |
x |
+ 2Vy |
|
dVy |
|
, откуда следует |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
dt |
|
dt |
|
|
dt |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
aτ |
= |
dV |
= |
Vx ax + Vy ay |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Нормальную составляющую an ускорения, характеризующую изменение |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
направления |
|
, можно найти по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an = V 2 ρ , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(12) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35 |
если ρ |
- радиус кривизны траектории заранее известен, |
или (учитывая, что, |
||
aτ an |
и, следовательно, a 2 = an2 + aτ2 ) по формуле |
|
||
|
an = |
a 2 − aτ2 |
. |
(13) |
Так как в данной задаче радиус ρ заранее неизвестен, то используем (13). Подставляя (10), (11) в (13), получим
a |
= 6π2 |
21 |
м/c2 |
≈ 12,92 м/c2 . |
(14) |
1n |
|
|
|
|
|
Вернемся к рис. К1а. Ранее на этом рисунке вектор a1 |
был построен по |
||||
составляющим a1x , a1y . С другой стороны, |
этот вектор можно разложить на |
составляющие по естественным осям τ1 и n1 (пользуясь правилом
параллелограмма). Выполним это разложение и построим на рисунке векторы a1τ и a1n . Далее следует провести проверку: с учетом масштаба ускорений
определить по рисунку величины |
a1τ , |
a1n и убедиться, |
что они совпадают с |
||||||||||||||
(11), (14). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что движение точки ускоренное, т.к. направления векторов V1 и |
|||||||||||||||||
a1τ совпадают (рис. К1а). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Найдем радиус |
кривизны |
ρ , |
используя (12), |
откуда |
|
следует, что |
|||||||||||
ρ = V 2 a |
n |
. Подставляя в последнее соотношение V |
и a |
1n |
из (6) и (14), получим |
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
радиус кривизны траектории в точке |
M1 : ρ1 = 7 |
|
|
8 м ≈ 4 м . |
Отложим на |
||||||||||||
|
21 |
||||||||||||||||
рисунке от точки M1 |
по оси n1 отрезок M1C1 длины ρ1 (в масштабе длин); |
||||||||||||||||
полученная точка С1 есть центр кривизны траектории в точке M1 . |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Объединяя полученные результаты, запишем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
y2 |
|
|
|
||
|
1. траектория точки - эллипс, имеющий уравнение |
x |
|
+ |
= 1; |
|
|
||||||||||
|
4 |
2 |
|
62 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.M0 (x0 = 0, y0 = 6 м);
3.M1(x1 = 2 м, y1 = 33 м ≈ 5,20 м);
4. V = |
π |
|
21 |
|
|
|
м/c ≈ 7,20 м/c ; |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
π2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5. a |
= |
|
31 |
м/с2 ≈ 13,7 м/c2 ; |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6. a |
= |
|
5π |
2 |
|
|
м/c2 ≈ 4,66 м/с2 ; a |
= |
6 |
π2 |
|
м/c2 ≈ 12,92 м/c2 ; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1τ |
|
|
4 |
7 |
|
|
|
|
|
1n |
21 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ρ1 = |
7 |
|
21 |
|
|
|
м ≈ 4 м . |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36
Обсудим некоторые особенности и частные случаи, которые могут встретиться в задачах.
Если траектория точки |
– прямая |
линия, то |
ρ = ∞ и, следовательно, |
||
an = V 2 ρ = 0. Найденное по |
величине |
и направлению ускорение |
a |
равно |
|
ускорению aτ . |
|
|
ρ = R , где R |
|
|
Если траектория точки – окружность, то |
– |
радиус |
|||
окружности (определяется из уравнения траектории). Если скорость V точки |
|||||
найдена, то an = V 2 ρ = V 2 R . Вектор |
an направлен к центру окружности. |
Касательное ускорение aτ = dV dt , полное ускорение a = an2 + aτ2 .
Пример К1б. |
Точка движется по дуге окружности радиуса R = 2м по |
|
æ p |
ö |
|
закону s = 2sin ç |
t ÷ (s – в метрах, t – в секундах), где s = AM (рис. К1б). |
|
è 4 |
ø |
|
Определить: скорость и ускорение точки в момент времени t1 = 1с; характер движения точки по траектории (ускоренное или замедленное).
Решение. Определяем скорость точки:
|
ds |
|
p |
æ p |
ö |
||
V = |
|
= |
|
cos ç |
|
t ÷ . |
|
dt |
2 |
4 |
|||||
|
|
è |
ø |
При t1 = 1с получим V1 = π24 =1,11м/с.
Ускорение находим по его касательной и нормальной составляющим:
|
dV |
|
|
|
|
p2 |
|
|
æ p |
ö |
||
aτ = |
|
= - |
|
|
|
sin ç |
t ÷ , |
|||||
dt |
|
8 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
è 4 |
ø |
||||
|
an |
= |
V |
2 |
= |
V 2 |
|
. |
|
|||
|
|
r |
|
|
R |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При t1 = 1с получим, учитывая, что R = 2м,
V |
M |
a τ |
1 |
|
1 |
a1n |
a1 |
A
C
Рис. К1б
a |
= − π2 |
2 |
16 = −0,87 м/c2 , |
|
a |
|
|
=V 2 2 = π2 16 = 0,62 м/с2 . |
||||||
1τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1n |
1 |
||
Тогда ускорение точки при t1 |
= 1с будет |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
a |
|
= |
a |
2 |
+ a2 = p2 |
|
|
16 =1,07 м/с2 . |
||||
|
|
1 |
|
3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
1τ |
1n |
|
|
|
|
|
|||
|
|
, a1n , a1τ , a1 , считая положительным |
||||||||||||
Изобразим на рис. К1б векторы V1 |
||||||||||||||
направление от A к M. Так как V1 > 0 , |
a1τ |
< 0, то движение точки замедленное. |
Ответ: V1 = π24 =1,11м/с; a1τ = − π2 216 = −0,87 м/c2 ; a1n = π2 16 = 0,62 м/с2 ; движение точки замедленное.
Примечание: одна из частей задачи К3 (см. ниже) аналогична задаче К1б.
37
Задача К2 (тема: “Простые движения твердых тел”)
Механизм состоит из ступенчатых колес 1-3, находящихся в зацеплении или связанных ременной передачей, зубчатой рейки 4 и груза 5, привязанного к концу нити, намотанной на одно из колес (рис. К2.0-К2.9, табл. К2). Радиусы ступеней колес равны соответственно: у колеса 1 – r1 = 2 см, R1 = 4 см, у колеса
2 – r2 = 6 см, R2 = 8 см, у колеса 3 – r3 =12 см, R3 = 16 см. На ободах колес расположены (в произвольном месте обода) точки А, В и С.
В столбце «Дано» таблицы указан закон движения или закон изменения скорости ведущего звена механизма, где ϕ1(t) – закон вращения колеса 1, s4 (t)
– закон движения рейки 4, ω2 (t) – закон изменения угловой скорости колеса 2, V5 (t) – закон изменения скорости груза 5 и т. д. (ϕ выражено в радианах, s – в
сантиметрах, t – в секундах). Положительное направление для ϕ и ω против хода часовой стрелки, для s4 ,s5 и V4 , V5 – вниз.
Определить в момент времени t1 = 2 с указанные в таблице в столбцах «Найти» скорости (V – линейные, ω – угловые) и ускорения (а – линейные, ε – угловые) соответствующих точек или тел (V5 – скорость груза 5 и т. д.).
Указания. В задаче К2 рассматривается многозвенный механизм, каждое звено которого совершает простое движение – поступательное (рейка 4 и груз 5) или вращение вокруг неподвижной оси (колеса 1-3). Для исследования движения звеньев следует переходить от одного звена к другому, начиная с ведущего. При расчетах нужно учесть, что точки соприкосновения тел имеют одинаковые скорости (так как проскальзывание отсутствует).
38
Рис. К2.5
Рис. К2.6 |
|
Рис. К2.7 |
|
|
|
3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. К2.9 |
|
||
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Рис. К2.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица К2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер |
|
Дано |
|
|
|
|
|
Найти |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Условия |
|
скорости |
|
Ускорения |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
s4 = 4( 7t − t2 ) |
VB ,VC |
|
ε2 ,aA ,a5 |
||||||||||
1 |
|
V = 2(t 2 |
− 3) |
VA ,VC |
|
ε3 ,aB ,a4 |
|||||||||
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
ϕ = 2t2 |
− 9 |
V4 ,ω2 |
|
ε2 ,aC ,a5 |
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
ω2 = 7t − 3t2 |
V5 ,ω3 |
|
ε2 ,aA ,a4 |
||||||||||
4 |
|
ϕ3 = 3t − t2 |
V4 ,ω1 |
|
ε1 ,aC ,a5 |
||||||||||
5 |
|
ω = 5t − 2t2 |
V5 ,VB |
|
ε2 ,aC ,a4 |
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
ϕ2 = 2( t2 − 3t ) |
V4 ,ω1 |
|
ε1 ,aC ,a5 |
||||||||||
7 |
|
V = 3t 2 |
− 8 |
VA ,ω3 |
|
ε3 ,aB ,a5 |
|||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
s5 = 2t 2 − 5t |
V4 ,ω2 |
|
ε1 ,aC ,a4 |
||||||||||
9 |
|
ω3 = 8t − 3t2 |
V5 ,VB |
|
ε2 ,aA ,a4 |
39
40
Простые движения твердых тел (краткие сведения из теории).
Простых движений два: 1. Поступательное движение тела, 2. Вращение тела вокруг неподвижной оси.
1. Поступательное движение тела.
Признак движения: при движении тела любая прямая, жестко связанная с телом, остается параллельной своему начальному положению.
Основная теорема: при поступательном движении тела все точки описывают одинаковые траектории и в один и тот же момент времени имеют одинаковые по величине и направлению скорости, а также одинаковые по величине и
направлению ускорения. Из теоремы следует, что это вид движения, когда скорость V и ускорение a одной точки являются скоростью и ускорением тела в целом (это верно только для поступательного движения).
Задание движения тела. Из теоремы следует: для того, чтобы задать движение тела, надо задать движение одной его точки, что можно сделать векторным, координатным и естественным способом (см. задачу К1). Заметим, что траектории точек - любые линии (не обязательно прямые).
Кабина "колеса обозре- ния" и стержень AB механизма
совершают поступательное движение (см. признак), но точки этих тел описывают, соответственно, окружности и циклоиды.