Тема 5. Финансово-математические основы инвестиционного проектирования

Цель лекции: Дать понятия основных концепций стоимости денег во времени; раскрыть основные элементы теории процентов; рассмотреть механизм наращивания и дисконтирования денежных потоков.

Вопросы:

1. Стоимость денег во времени

2. Элементы теории процентов

3. Наращивание и дисконтирование денежных потоков

Глоссарий

Будущая стоимость денег — это та сумма, в которую пре­вратятся инвестированные в настоящий момент денежные сред­ства через определенный период времени с учетом определенной процентной ставки.

Настоящая (современная) стоимость денег — это сумма бу­дущих денежных поступлений, приведенных к настоящему мо­менту времени с учетом определенной процентной ставки.

Анализ денежных потоков— раздел финансового анализа, задача которого — определение направления и интенсивности денежных потоков на протяжении заданного будущего периода (например, за период цикла жизни проекта). Позволяет, в частности, "сконструировать" денежные потоки таким образом, чтобы по возможности не допустить долговременного оттока средств (негативный денежный поток) или найти источники покрытия кратковременного недостатка ликвидности, не ставя под угрозу платежеспособность компании; результаты анализа денежных потоков обычно представляются в виде таблиц, где для каждого года (иногда ежемесячно) рассчитываются балансы, показывающие накопление или потерю средств в течение заданного периода.

Аннуитет — серия или один из серии равных по размеру платежей, осуществляемых в течение определенного периода, через равные промежутки времени; первоначально термин относился только к ежегодным платежам, сейчас — употребляется применительно к любым промежуткам времени (ежемесячно, ежеквартально и т. д.).

Денежный поток — поток денежных средств. Представляет все ре­зультаты операций компании в виде двух встречных потоков денег, "втекающих" в кассу компании и "вытекающих" из нее; разница между этими потоками составляет чистый де­нежный поток или кассовый баланс (net cash flow), который может быть либо положительным, либо отрицательным.

Дисконтирование— операция, используемая для приведения будущих стоимостей к настоящему (текущему) моменту. Позволяет определить текущую стоимость Р (т. е. реальную ценность на данный момент) будущих платежей (поступлений) F_n, осуществляемых через n лет при ставке процента, равной r.

Дисконтированный денежный поток — представление последовательности будущих поступлений (пла­тежей) в виде последовательности их текущих стоимостей (т. е. величин, приведенных к настоящему моменту путем дисконти­рования по определенной ставке).

Начисление сложных процентов — компаундирование, нахождение будущей величины F_n (например, суммы вклада) в конце периода n, если первоначальный взнос составил Р ден. ед., при ставке сложных процентов, равной r.

F_n = P(1+r)ⁿ

1. Стоимость денег во времени

В основе концепции стоимости денег во времени (дисконтирование) лежит следу­ющий основной принцип: доллар сейчас стоит больше, чем доллар, который будет получен в будущем, например через год, так как он может быть инвестирован, и это принесет дополни­тельную прибыль.

Данный принцип является наиболее важ­ным положением во всей теории финансов и при анализе ин­вестиций. На этом принципе основан подход к оценке эконо­мической эффективности инвестиционных проектов.

Суть концепции заключается в том, что стоимость денег с течением времени изменяется с учетом нор­мы прибыльности.

Учитывая, что инвестирование представляет собой обычно длительный процесс, в инвестиционной практике, как прави­ло, приходится сравнивать стоимость денег в начале их инвес­тирования со стоимостью денег при их возврате в виде буду­щей прибыли.

В процессе сравнения стоимости денежных средств при их вложении и возврате принято использовать два основных понятия: настоящая (современная) стоимость денег и будущая стоимость денег.

Будущая стоимость денег — это та сумма, в которую пре­вратятся инвестированные в настоящий момент денежные сред­ства через определенный период времени с учетом определенной процентной ставки. Расчет будущей стоимости денег связан с про­цессом наращения начальной стоимости, пред­ставляющего собой поэтапное увеличение вложенной суммы пу­тем присоединения к первоначальному ее размеру суммы про­центных платежей. В инвестиционных расчетах процентная став­ка платежей применяется не только как инструмент наращения стоимости денежных средств, но и как измеритель степени до­ходности инвестиционных операций.

Настоящая (современная) стоимость денег — это сумма бу­дущих денежных поступлений, приведенных к настоящему мо­менту времени с учетом определенной процентной ставки. Рас­чет настоящей стоимости денег связан с процессом дисконти­рования будущей стоимости, который представляет собой операцию, обратную наращению. Дискон­тирование используется во многих задачах анализа инвести­ций. Типичной в данном случае является следующая: опреде­лить, какую сумму надо инвестировать сейчас, чтобы получить, например, $1000 через 5 лет.

Таким образом, одну и ту же сумму денег можно рассматри­вать с двух позиций:

а) ее настоящей стоимости;

б) ее будущей стоимости.

2. Элементы теории процентов

При анализе инвестиционных решений используются расчеты простых и сложных процентов.

При осуществлении данных расчетов используются понятия:

Процентная ставка — относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени. Абсолютная величина дохода от представления денег в долг.

Период начисления — это временной интервал, к которому приурочена процентная ставка. Обычно в качестве такого периода принимают год, полугодие, квартал, месяц, но чаще всего дело имеют с годовыми ставками.

Капитализация процентов — присоединение процентов к основной сумме долга.

Наращение — процесс увеличения суммы денег во времени в связи с присоединением процентов.

Дисконтирование — обратно наращению, при котором сумма денег, относящаяся к будущему уменьшается на величину соответствующую дисконту.

При схеме "простых процентов" исходной базой для начисления процентов в течение всего срока долга на каждом периоде применения процентной ставки является первоначальная сумма долга .PV

При схеме "сложных процентов" (для целых ) исходной базой для начисления процентов в течение всего срока на каждом периоде применения процентной ставки является наращенная за предыдущий период сумма долга.

Присоединение начисленных процентных денег к сумме, которая служит базой для их вычисления, называется капитализацией процентов. При применении схемы "сложных процентов" капитализация процентов происходит на каждом периоде . T

При схеме "простых процентов" вознаграждение по вкладу (начисление процентов) осуществляется в конце срока.

При схеме "сложных процентов" вознаграждение по вкладу (начисление процентов) осуществляется в течение всего срока на каждом периоде применения учетной ставки.

Областью применения простых процентов чаще всего явля­ются краткосрочные операции (со сроком до одного года) с од­нократным начислением процентов (краткосрочные ссуды, век­сельные кредиты) и реже — долгосрочные операции.

Расчет простых процентов.

Пример 1. Простой процент

Вкладчик разместил личные сбережения в банке на 5 лет. Сумма вклада составляет 800 тыс. тг. Определите, какую сумму получит вкладчик через 5 лет, если банк по данному вкладу осуществляет начисление простых процентов - простая ставка процентов 14% в год.

 

Решение

- формула расчета простых процентов на период в годах,

где Pi - будущая стоимость,

P - текущая стоимость,

r – ставка простого процента,

n - количество лет, за которые рассчитывается простой процент.

Pi = 800* (1+ 5*0,14) = 1360,00

Ответ: через 5 лет вкладчик получит итоговую сумму вклада в размере 1360,00 тыс. тг..

Задача 2: простой процент на несколько месяцев

Вкладчик разместил в банке личные сбережения в размере 2500 тыс. тг. на 4 месяца. Определите, какую сумму получит вкладчик через 4 месяца, если банк по данному вкладу осуществляет начисление простых процентов - простая ставка процентов 12% в год.

Решение

- формула расчета простых процентов на период в месяцах,

где Pi - будущая стоимость,

P - текущая стоимость,

r - ставка простого процента,

a - количество месяцев, за которые рассчитывается простой процент.

 

Pi = 2500 * (1 + 0.12 * 4/12) = 2600,00 тыс. тг.

Ответ: через 4 месяца вкладчик получит итоговую сумму вклада в размере 2600,00 тыс. тг.

 

Задача 3: простой процент – период в днях

Вкладчик разместил личные сбережения в размере 1200 тыс. тг. в банке на 200 дней. Определите, какую сумму получит вкладчик через 200 дней, если банк по данному вкладу осуществляет начисление простых процентов, простая ставка процентов - 19% в год.

 

Решение

- формула расчета простых процентов на период в днях,

где Pi - будущая стоимость,

P - текущая стоимость,

r - ставка простого процента,

t - количество дней, за которые рассчитывается простой процент.

Pi = 1200 * (1 + 0.19* 200/360) = 1326,67

Ответ: через 200 дней вкладчик получит итоговую сумму вклада в размере 1326,67 тыс. тг.

При анализе инвестиционных решений принято использовать сложные проценты. Сложным процентом называется сумма до­хода, которая образуется в результате инвестирования денег при условии, что сумма начисленного простого процента не выплачивается в конце каждого периода, а присоединяется к сумме основного вклада и в следующем платежном периоде сама приносит доход.

Основная формула теории процентов определяет будущую стоимость денег:

где Р— настоящее значение вложенной суммы денег;

F— бу­дущее значение стоимости денег;

п — количество периодов вре­мени, на которое производится вложение;

r— норма доходно­сти (прибыльности) от вложения.

Пример 1. Банк выплачивает 5 % годовых по депозитному вкладу. Согласно формуле $100, вложенные сейчас, через год станут:

=$100 (1+0,05)=$105.

Если вкладчик решает оставить всю сумму на депозите еще на один год, то к концу второго года объем его вклада составит

или

Процесс наращения стоимости $100 по годам можно пред­ставить в виде таблицы:

Год	Обозначение	Стоимость денег
0	P	100.0
1		105.0
2		110.25
3		115.76
4		121.55
5		127.63

В данном случае применяется обычная формула начисления сложных процентов.

Также, может использоваться формула начисления сложных процентов с учетом внутригодового начисления.

Под внутригодовым начислением процентов понимается выплата процентного дохода более одного раза в год. В зависимости от количества вы­плат дохода в год (m) внутригодовое начисление может быть:

1) полугодовым (m = 2);

2) поквартальным (m = 4);

3) ежемесячным (m = 12);

4) ежедневным (m = 365 или 366);

5) непрерывным (m -» ?).

Формула наращения при полугодовом, поквартальном, еже­месячном и ежедневном начислении сложных процентов имеет следующий вид:

FV = PV (1 + r / m)^nm,

где  PV — исходная сумма;

г   — годовая процентная ставка;

n   — количество лет;

m  — количество внутригодовых начислений;

FV — наращенная сумма.

Пример. Вкладчик разместил в банке личные сбережения в размере 2500 тыс. тг. на 1 год. Определите, какую сумму получит вкладчик, если банк по данному вкладу осуществляет начисление сложных процентов 1 раз в квартал, ставка процентов 12% в год.

При одинаковой величине исходной суммы, одинаковом сро­ке вложения денежных средств и значении процентной ставки возвращаемая сумма оказывается больше в случае использования формулы внутригодовых начислений, чем в случае использова­ния обычной формулы начисления сложных процентов:

FV = PV (1 + r / m)^nm > FV = PV (1 + r)ⁿ.

Если доход, полученный при использовании внутригодовых начислений, выразить в процентах, то полученная процентная ставка окажется выше той, которая использовалась при обычном начислении сложных процентов.

Таким образом, первоначально заявленная годовая процент­ная ставка для начисления сложных процентов, называемая но­минальной, не отражает реальной эффективности сделки. Про­центная ставка, отражающая фактически полученный доход, на­зывается эффективной. Классификацию процентных ставок при внутригодовом начислении сложных процентов наглядно иллю­стрирует рисунок.

Номинальная процентная ставка задается изначально. Для каждой номинальной процентной ставки и на ее основании мож­но рассчитать эффективную процентную ставку (rе).

Из формулы наращения сложных процентов можно получить формулу эффективной процентной ставки:

FV = PV (1 + r)ⁿ;

(1 + re) = FV / PV.

Приведем формулу наращения сложных процентов с внутригодовыми начислениями, при которых каждый год начисляется r / m процента:

FV = PV (1 + r / m)^nm.

Тогда эффективная процентная ставка находится по формуле:

(1 + re) = (1 + r/m)^m, или re = (l + r/m)^{m - 1},

где rе — эффективная процентная ставка;

r — номинальная процентная ставка;

m — количество внутригодовых выплат.

Величина эффективной процентной ставки зависит от коли­чества внутригодовых начислений (m):

1) при m = 1 номинальная и эффективная процентные ставки равны;

2) чем больше количество внутригодовых начислений (значение m), тем больше эффективная процентная ставка.

Одновременное применение простых и сложных процентов.

Областью одновременного применения простых и сложных процентов являются долгосрочные операции, срок которых со­ставляет дробное количество лет. При этом начисление процентов возможно двумя способами:

1) начисление сложных процентов с дробным числом лет;

2) начисление процентов по смешанной схеме.

В первом случае для расчетов применяется формула сложных процентов, в которой присутствует возведение в дробную сте­пень:

FV = PV (1 + r)n+f,

где f — дробная часть срока вложения денежных средств.

Во втором случае для расчетов применяется так называемая смешанная схема, которая включает формулу начисления слож­ных процентов с целым числом лет и формулу начисления про­стых процентов для краткосрочных операций:

FV = PV (1 + r)n • (1 + f • r),

или

FV = PV (1 + r)n • (1 + t • r / Т).

Настоящее значение стоимости (настоящая стоимость) определенной будущей суммы денег вычисляется с помощью формулы:

Пример 2. Пусть инвестор хочет получить $200 через 2 года. Какую сумму он должен положить на срочный депозит сейчас, если депозитная процентная ставка составляет 5%.

Рассмотренный пример можно интерпретировать следую­щим образом:

$181,40 и $200 — это два способа представить одну и ту же сумму денег в разные моменты времени: $200 через 2 года рав­ноценны $181,40 сейчас.

3.Наращивание и дисконтирование денежных потоков

Поскольку процесс инвестирования, как правило, имеет боль­шую продолжительность в практике анализа эффективности ка­питальных вложений, обычно приходится иметь дело не с еди­ничными денежными суммами, а с потоками денежных средств.

Все операции, связанные с инвестициями, называют потоками платежей или денежными потоками.

Денежные потоки – это приходы и выбытие денежных средств и их эквивалентов.

Денежный поток подразделяется на поступления и выплаты:

- выплаты – все расходы, связанные с осуществлением проекта;

- поступления – все приходы, связанные с осуществлением проекта.

В инвестиционных расчетах поступления и выплаты подразделяются на периоды, где периоды могут представлять собой года или месяцы, в особых случаях даже дни (рисунок 1).

Где периоды обозначаются с помощью «t» и индекса, соответствующего определенному году. t₀ – настоящее время. В конце каждого периода находится соответствующий момент времени, который обозначается буквой Т.

Рисунок 1 – Промежутки и моменты времени в расчете инвестиций

Все платежи, проходящие в каком-либо периоде, относятся на конец данного периода.

Разница между поступлениями и выплатами каждого периода называется чистым денежным потоком (Cash Flow). (Таблица 1)

Таблица 1 – Исчисление Cash Flow

Периоды	t0	t1	t2	t3
Поступления	0	20	40	100
Выплаты	80	10	10	10
Cash Flow	-80	10	30	90

Вычисление наращенной и дисконтированной оценок сумм денежных средств в этом случае осуществляется путем исполь­зования формул для каждого элемента денежного потока.

Изобразим денежный поток на временной линии (рисунок 2):

0 1000 1000 1500 1000

Годы

0 1 2 3 4

-$2000

Рисунок 2 – Денежные потоки на временной линии

Представленный на рисунке денежный поток отображает, что в настоящее время выплачивается (знак "минус") S2000, в первый и второй годы будет получено по $1000, в третий — $1500, в четвертый — снова $1000.

Элемент денежного потока принято обозначать