Практичне заняття № 2 Застосування методу дисперсійного аналізу при обробці ре­зуль­татів вимірювального експерименту в середовищі Excel

Мета заняття: набути практичних навичок у виконанні дисперсійного аналізу даних вимірювань в процесі опрацювання експериментальних даних.

Завдання заняття: вивчення методики виконання розрахунків дисперсійного аналізу експериментальних даних в середовищі ППП Excel.

Тривалість 4 год.

Основні теоретичні положення

Оцінка впливу кожного компонента - ознаки стану (X₁,X₂,...,X_k) на вихідну змінну Y, яка у загальному випадку може бути векторною найбільш часто зустрічається в інже-нерній прак­тиці бу­ріння та видобутку. На першій стадії дос-лідження питання ста­вить­ся звичайно якісно, тобто необхідно оцінити якіс­ний вплив кож­ного з факторів (компонента век-тора ознак) X_i і їхніх ком­бінацій X_iX_j, X_iX_jX_r,…, X_iX_jX_r … X_m на вихідну змінну.

З цією метою використовують процедури статистичного аналізу, названі дисперсій­ним аналізом. Основний зміст цієї про­цедури полягає в оцінці внеску різних факторів і їхніх ком­бінацій у дисперсію вихідної змінної (факторна дисперсія) та в їх порівнянні іззалишковою дисперсією, що характеризує роз­кид величини вихідної змінної, яка не зале­жить від зміни зна­чень факторів у спостереженнях. Таким чином, основне зав­дан­ня дис­персійного аналізу можна сформулювати на­ступ­ним чи­ном: оцінити вплив кожного з фак­торів і їхніх комбіна­цій на ви­хідну змінну, тобто виділити із всього різноманіття факторів, які впливають на процес, лише тих, вплив яких най­більше істот­ний.

Розглянемо обчислювальну суть дисперсійного аналізу на при­кладі спостережень за трьома факторами, які підда­ються зміні: X₁,X₂іX₃з багаторазовим повторенням дослідів для кожної з комбінацій факторів. Якщо в процесі експери­мен­тування факторX₁змі­ню­вався наa рівнях, факторX₂–b рівнях, а факторX₃– наc рівнях, то приn-кратномупов-торенні дослідів для тих самих умов експерименту можна скласи таблицю спостережень (табл.2.1).

Зміст чотиризначних індексів наступний: перший індекс змінної Y відповідає рівню факторуX₁, другий –X₂, третій –X₃, четвертий індекс – це номер повторного досліду при фік­сованих факторах; індекси приX_ij означають номера фактору й рівня.

Для суми квадратів відхилень вихідної змінної S²(Y) від загального середнього ос­тан­нє для всіх дослідів основне спів-відношення дисперсійного аналізу має вигляд:

(2.1)

де (Y),(Y),(Y) – суми квадратів відхилень Y від середніх значень, обумовлені відповідно зміною факторів X₁, X₂, X₃; (Y), (Y), (Y) – суми квадратів від­хилень Y від се­редніх значень, обумовлені відповідно зміною ком-бінацій (взаємо­дій) факторів X₁ і X₂, X₁ і X₃, X₂ і X₃; (Y) – сума квадратів відхилень Y від середніх зна­чень, обумовлена сумісною зміною факторів X₁, X₂, X₃; (Y) – залишкова сума квадратів відхилень Y від середніх значень, обумовлена впли-вом неврахованих у дослідах факторів (неоднорідність) на вихідну змінну.

Таблиця 2.1 - Обчислювальна суть дисперсійного аналізу на прикладі спостере­жень із факторами, які піддаються зміні x1, x2 і x3

Х3

Х1

Х11

Х12

…

Х1а

Х2

Х2

…

Х2

Х21

Х22

…

Х2b

X21

X22

…

X2b

…

X21

X22

…

X2b

X31

Y1111 Y1112 . . . Y111n

Y1211 Y1212 . . . Y121n

. . .

Y1b11 Y1b12 . . . Y1b1n

Y2111 Y2112 . . . Y211n

Y2211 Y2212 . . . Y221n

. . .

Y2b11 Y2b12 . . . Y2b1n

… … … … …

Ya111 Ya112 . . . Ya11n

Ya211 Ya212 . . . Ya21n

. . . .

Yab11 Yab12 . . . Yab1n

X32

Y1121 Y1122 . . . Y112n

Y1221 Y1222 . . . Y122n

. . .

Y1b21 Y1b21 . . . Y1b2n

Y2121 Y2122 . . . Y212n

Y2221 Y2222 . . . Y222n

. . .

Y2b21 Y2b22 . . . Y2b2n

… … … … … …

Ya121 Ya122 . . . Ya12n

Ya221 Ya222 . . . Ya22n

. . .

Yab21 Yab22 . . . Yab2n

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

… … ….

. . .

. . .

. . .

. . .

X3c

Y11c1 Y11c2 . . . Y11cn

Y12c1 Y12c2 . . . Y12cn

. . . . . .

Y1bc1 Y1bc2 . . . Y1bcn

Y21c1 Y21c2 . . . Y21cn

Y22c1 Y22c2 . . . Y22cn

. . . . . .

Y2bc1 Y2bc2 . . . Y2bcn

… … . . .

Ya1c1 Ya1c2 . . . Ya1cn

Ya2c1 Ya2c2 . . . Ya2cn

. . . . . .

Yabc1 Yabc2 . . . Yabcn

Використовуючи позначення, у яких під крапкою замість індексу будемо розуміти усереднення по цьому індексі, для відповідних сум квадратів відхилень основного співвідно­шення дисперсійного аналізу можна записати:

; (2.2)

; (2.3)

; (2.4)

; (2.5)

; (2.6)

; (2.7)

; (2.8)

; (2.9)

, (2.10)

де i = 1, 2, … , a; j = 1, 2, … , b; k = 1, 2, … , c; m = 1, 2, … , n – відповідно поточне зна­чення числа рівнів факторів X₁, X₂, X₃ і число повторних вимірів у кожній із кліток таблиці спосте-режень (див. табл.2.1).

Усереднені значення вихідної змінної Y у наведених вище формулах визначають на­ступним чином:

; (2.11)

; (2.12)

; (2.13)

; (2.14)

; (2.15)

; (2.16)

; (2.17)

. (2.18)

Знаючи величини сум квадратів відхилень вихідної змін-ної, легко знайти вибіркові дисперсії залежно від впливу факторів і їхніх комбінацій по формулах:

; (2.19)

; (2.20)

; (2.21)

; (2.22)

; (2.23)

; (2.24)

; (2.25)

; (2.26)

, (5.27)

При наявності значень вибіркових дисперсій вплив фак­торів і їхніх комбінацій на зміну вихідної змінної по F-крите­рію (Фішера) оцінюють відповідно до відношень:

;;;;

;;, (2.28)

які порівнюють із табличними значеннями F-критерію з відпо­відними числами ступенів волі (а - 1) іabc(n - 1); (b - 1) іabc (n - 1); (с - 1) і abс(n - 1);(а - 1) (b - 1) іabc· (п - 1);(а - 1) (с - 1) і abс(n - 1); (b- 1) (c- 1) і abс(n - 1);(а - 1)(b - 1) (c- 1) і abc(n - -1) для обраного рів­ня значимості α або ймовірностіР= 1-α. Фактор, подвійні або потрійні комбінації факто­рів вважають значимими, якщо відповідні обчислені значення F-критерію виявляються більшими табличного.