n1

ЛЕКЦИЯ № 1

ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ЗАКОНЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ

Электротехника – это наука о техническом использовании электрических, магнитных и электромагнитных явлений. Она занимается вопросами производства, передачи и преобразования электроэнергии.

1.1. Основные определения

Явление направленного движения носителей заряда (электронов), сопровождаемое магнитным полем, называют электрическим током.

Совокупность соединённых между собой источников электрической энергии и нагрузок, по которым может протекать электрический ток, называют электри- ческой цепью. В данной лекции будем рассматривать электрические цепи постоянного тока.

Графическое изображение электрической цепи с помощью условных знаков принято называть

электрической схемой (рис. 1.1).

Основными элементами электрической цепи

являются источники и приёмники (потребители)

электрической энергии, а также провода, соеди-

няющие их между собой.

Приёмник энергии и провода, соединяющие приёмник с источником энергии, называют внешней частью электрической цепи

(внешней цепью) или цепью нагрузки. В цепи нагрузки ток течёт от плюса источника энергии к минусу, а внутри источника – от минуса к плюсу.

Электромагнитные процессы в электрической цепи постоянного тока можно описать с помощью понятий: электрического тока, электродвижущей силы, падения напряжения, сопротивления. Эти понятия условимся обозначать в электрических цепях следующим образом: i , I – постоянный ток; e, E – эдс источника электрической энергии; r , R – сопротивление нагрузки (приёмника); r0 ,

R0 – внутреннее сопротивление источника; u , U – напряжение, приложенное к нагрузке. Где i , e, r , r0 , u – меняющиеся величины, а I , E , R , R0 , U – по-

стоянные величины, которые используются для обозначения цепей постоянного тока.

Постоянным током называют ток, неизменный во времени по значению и направлению. Сила тока равна количеству электричества, проходящему через поперечное сечение проводника, в единицу времени

i = dqdt = I = const ,

где dq – изменение электрического заряда (количество электричества); dt – изменение времени (временной промежуток).

Единицей силы тока является А (Ампер). Сила тока равна 1А, если через по-

2

перечное сечение проводника за 1 с (секунда) проходит электрический заряд в 1 Кл (Кулон):

I = 11Клс = 1А,

где 1 Кл - единица заряда, 1 с - единица времени.

За положительное направление тока принимают направление, в котором перемещаются положительные заряды, т.е. направление, противоположное движению электронов.

Условным знаком источника электрической энергии постоянного тока является окружность, стрелка в которой указывает положительное направление эдс. За положительное направление эдс источника принимается направление возрастания потенциала внутри этого источника.

Источник электрической энергии характеризуется величиной E , называемой электродвижущей силой (эдс). Единицей эдс является В (Вольт). Электродвижущая сила величиной в 1В численно равна работе в 1Дж (Джоуль), которую может совершить источник, проводя единичный положительный заряд в 1 Кл по замкнутому контуру при условии подключения к внешней цепи:

Е = 11ДжКл = 1В ,

где 1Дж – единица работы.

Таким образом, если источник окажется подключенным к внешней цепи (нагрузке), то под действием эдс в ней и в цепи источника возникнет электрический ток, прохождение которого по этим элементам цепи сопровождается затратой энергии источника.

Затрата энергии на этих элементах электрической цепи связана не только с величиной тока I, но и с величиной U , называемой напряжением. Аналогично эдс единицей напряжения является В (Вольт). Напряжение величиной в 1В численно равно работе в 1Дж, которую совершает источник, проводя положительный заряд в 1 Кл по данному участку цепи:

U = 11ДжКл = 1В .

Так как электрическая цепь состоит из внутреннего (источник) и внешнего (нагрузка) участков, то существует понятие напряжения (падения напряжения) на внутреннем сопротивлении источника и на сопротивлении нагрузки. Следовательно, для выполнения баланса - закона сохранения энергии для электрической цепи эдс источника будет равна сумме падений напряжения на сопротивлении нагрузки RН и внутреннем сопротивлении источника R0:

E = U RН + U R0 .

Измерить напряжения на различных участках цепи можно только при замкнутой цепи, когда по ней идет ток нагрузки, а эдс - только между зажимами источника при разомкнутой цепи (холостой ход).

При наличии электрического тока в проводниках элементов цепи движущиеся свободные электроны, сталкиваясь с ионами кристаллической решетки, испытывают противодействие своему движению. Это противодействие количественно оценивается сопротивлением цепи. Единицей сопротивления является Ом (Ом).

3

Сопротивление величиной в 1Ом численно равно сопротивлению такого участка цепи, в котором устанавливается ток в 1А при напряжении в 1В:

R = 11ВA = 1Ом .

При расчете параллельных электрических цепей удобнее пользоваться не со-

противлением R , а величиной, обратной сопротивлению R1 , называемой элек-

трической проводимостью G. Единицей электрической проводимости является См (Сименс):

G = 1Ом1 = 1См .

1.2. Неразветвлённые и разветвлённые электрические цепи

При расчете цепей приходится иметь дело с различными схемами соединений элементов нагрузки. Часто источник питания подключен к смешанному соединению элементов нагрузки, представляющему собой комбинацию их параллельного и последовательного соединений. Расчет такой цепи состоит в определении токов и напряжений на ее элементах.

Соединение, при котором по всем участкам проходит один и тот же ток, называют последовательным. Из этого определения вытекают такие понятия как неразветвленная электрическая цепь, контур и ветвь.

Неразветвлённая электрическая цепь – это цепь, в которой течёт один и тот же ток. Контур – это любой замкнутый путь в электрической цепи, проходящий по нескольким ее участкам. Ветвь – это участок электрической цепи между двумя узлами, по которому проходит один и тот же ток. Например, на рис.1.2 показана одна ветвь электрической цепи между узлами а и b, а на рис. 1.3 - неразветвленная одноконтурная электрическая цепь.

Рис. 1.2. Ветвь а - b участка электрической цепи

Соединение, при котором все участки цепи подключены к двум ее точкам и находятся под действием одного и того же напряжения, называют параллельным. Из этого определения вытекают такие понятия как разветвленная электрическая цепь и ее узлы.

Разветвлённая электрическая цепь – это цепь, имеющая три и более вет-

вей. В разветвлённой цепи находится несколько контуров (два и более). Узел – это точка цепи, в которой сходится не менее трёх ветвей. Например, на рис.1.4

4

показана разветвлённая электрическая цепь с тремя ветвями и с двумя узлами а и b.

Зависимость тока, протекающего по сопротивлению нагрузки, от падения напряжения на этом сопротивлении принято называть вольт-амперной характеристикой (ВАХ) цепи. Эту характеристику изображают графически. На рис. 1.5 представлены ВАХ электрической цепи.

Рис. 1.5. ВАХ электрической цепи: а – линейной; б – нелинейной

Сопротивления, вольт-амперные характеристики которых являются прямыми линиями (рис. 1.5, а), называют линейными сопротивлениями, а электрические цепи с входящими в них только линейными сопротивлениями принято называть

линейными электрическими цепями.

Сопротивления, вольт-амперные характеристики которых не являются прямыми линиями (т.е. нелинейны, рис. 1.5, б), называют нелинейными сопротивлениями, а электрические цепи с нелинейными сопротивлениями называют нели-

нейными электрическими цепями.

1.3. Законы электротехники 1.3.1. Закон Ома

5

и обратно пропорционален сопротивлению того же участка.

Если величину R1 = G представить через проводимость, то закон Ома запи-

шется следующей формулой

I = U G .

Согласно закону Ома напряжение на участке цепи а - b равно

Uab = I R ,

где Uab = ϕa − ϕb – разность потенциалов на концах сопротивления (разность

всегда обозначается от большего потенциала к меньшему).

Разность потенциалов на концах сопротивления принято называть либо напряжением на сопротивлении, либо падением напряжения.

Положительное направление падения напряжения совпадает с положительным направлением тока.

Закон Ома для участка цепи, содержащего эдс, позволяет найти ток этого участка по известной разности потенциалов на концах участка цепи и имеющейся на этом участке эдс:

R E

Здесь знак у напряжения и эдс берётся плюс, если стрелки Uac и E совпадают по направлению с током I :

Требуется написать закон Ома для этой цепи

Ответ: I = ϕm − ϕn − E1 + E2 .

R1 + R2 + R3

6

1.3.2. Закон Джоуля – Ленца

Закон Джоуля – Ленца устанавливает связь между энергией WR , выделяемой в

сопротивлении нагрузки R , током I , проходящим через него, временем T прохождения тока и искомой величиной сопротивления нагрузки

T

WR = ò R i2dt ,

0

при i = I = const ; WR = I 2 RT (Дж).

Выделяемая на сопротивлении нагрузки энергия в единицу времени называется мощностью и обозначается буквой P . Измеряется в Вт (Ватт).

WTR = P = I 2 R .

1.3.3. Законы Кирхгофа

Все электрические цепи подчиняются 1-му и 2-му законам Кирхгофа.

1-й закон. Алгебраическая сумма токов в любом узле схемы, равна нулю, или сумма подтекающих к любому узлу токов равна сумме утекающих от узла

токов (рис. 1.7):

Вопросы для самопроверки

1.Что называется постоянным током?

2.Что понимается под названием «электрическая схема»?

3.Какие элементы составляют электрическую цепь?

4.В каком направлении течёт ток во внешней и внутренней цепях электрической схемы?

7

5.Что такое ветвь и узел в электрической цепи?

6.Что такое неразветвлённая и разветвлённая электрическая цепь?

7.Что понимается под названием «контур» в электрической цепи?

8.Как читается закон Ома для участка цепи и всей цепи?

9.Что называется падением напряжения?

10.Как читаются 1-й и 2-й законы Кирхгофа?

11.Как читается закон Джоуля – Ленца?

12.Что называется электрической мощностью и в каких единицах она измеряет-

ся?

Рис. 2.1. Сложная электрическая цепь

8

Эта система может быть решена любым из известных в математике методов расчёта. Например, методом подстановки или численным методом с помощью матриц на ЭВМ или без неё.

Для того чтобы решать составленную систему уравнений, например матричным методом, надо привести ее к стандартному виду:

Решая систему (2.2) путём расчёта определителей матриц при заданных численных значениях сопротивлений R1 – R6 и эдс Е1 и Е2 , получим значения неизвестных токов I1 – I6 .

Однако расчет с использованием 1-го и 2-го законов Кирхгофа является громоздким для сложных разветвленных цепей, в которых имеется более двух узлов. В таких случаях применяют другие методы решения, которые упрощают решение задачи. Одним из самых распространенных методов решения сложных разветвленных цепей постоянного тока является метод контурных токов.

Метод контурных токов выводится из метода непосредственного применения законов Кирхгофа путём исключения уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа. Суть метода заключается в предположении, что в каждом контуре

9

проходит свой ток. Тогда на общих участках, расположенных на границе двух сососедних контуров, будет протекать ток, равный алгебраической сумме токов этих контуров.

Указанная процедура достигается за счёт введения обобщённых переменных, так называемых контурных токов, относительно которых составляются уравнения по второму закону Кирхгофа. Полученные уравнения решаются относительно контурных токов. Затем токи в ветвях выражаются через найденные контурные токи.

Порядок расчёта рассмотрим на примере схемы, представленной на рис. 2.2. Пример. Задана электрическая цепь с параметрами:

E1 = 100 В, E2 = 200 В, R1 =10 Ом, R2 =15 Ом, R3 = 20 Ом, R4 =25 Ом, R5 = 30

Ом, R6 =35 Ом.

Требуется найти токи в ветвях цепи I1 – I6 .

Рис. 2.2. Расчётная схема сложной электрической цепи

Решение 1. Определим число уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа

m – (n – 1) = 6 – (4 – 1) = 3,

где n – число узлов; m – число ветвей.

Число уравнений равно числу неизвестных контурных токов. В данном случае

– три уравнения. Обозначим контурные токи I11, I22 и I33.

2.Выберем направление контурных токов, совпадающее с направлением вращения часовой стрелки. Номера контуров совпадают с индексами контурных токов. Отметим, что во второй, четвёртой и пятой ветвях текут по два контурных тока.

3.Составим систему из трёх уравнений по второму закону Кирхгофа относительно контурных токов. При этом учтём падение напряжения на резисторных элементах от каждого контурного тока, текущего по нему. Направление обхода контуров выберем совпадающим с направлением соответствующего контурного тока. Первое уравнение соответствует первому контуру, второе – второму и т. д.

Врезультате система имеет вид

10