- •Сборник практических занятий по дисциплине «элементы высшей математики»
- •230105 «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем»
- •Содержание
- •Пояснительная записка
- •Практическое занятие №1 Тема: Операции над матрицами. Вычисление определителей
- •Теоретический материал
- •Примеры
- •Задания для самостоятельной работы
- •Практическое занятие №2 Тема: Нахождение обратной матрицы
- •Теоретический материал
- •Задания для самостоятельной работы
- •Практическое занятие №4 Тема: Решение систем алгебраических уравнений методом Гаусса
- •Теоретический материал
- •Задания для самостоятельной работы
- •Практическое занятие №5 Тема: Операции над векторами. Вычисление модуля и скалярного произведения
- •Теоретический материал
- •Задания для самостоятельной работы
- •Практическое занятие №6 Тема: Составление уравнений прямых и кривых второго порядка, их построение
- •Теоретический материал
- •Задания для самостоятельной работы
- •Практическое занятие №7 Тема: Вычисление пределов с помощью замечательных пределов, раскрытие неопределенностей
- •Теоретический материал
- •Задания для самостоятельной работы
- •Практическое занятие №8 Тема: Вычисление односторонних пределов, классификация точек разрыва
- •Теоретический материал
- •Задания для самостоятельной работы
- •Практическое занятие №9 Тема: Вычисление производных функций по определению производной
- •Теоретический материал
- •Задания для самостоятельной работы
- •Практическое занятие №10
- •Примеры
- •Задания для самостоятельной работы
- •Практическое занятие №12 Тема: Полное исследование функции. Построение графиков
- •Теоретический материал
- •Задания для самостоятельной работы
- •Практическое занятие №13 Тема: Интегрирование заменой переменной и по частям в неопределенном интеграле
- •Теоретический материал
- •Примеры
- •Задания для самостоятельной работы
- •Практическое занятие №14 Тема: Вычисление определенных интегралов
- •Теоретический материал
- •Примеры
- •Примеры
- •Задания для самостоятельной работы
- •Практическое занятие №16
- •Теоретический материал
- •Примеры
- •Задания для самостоятельной работы
- •Практическое занятие №17
- •Теоретический материал
- •Примеры
- •Задания для самостоятельной работы
- •Практическое занятие №18
- •Теоретический материал
- •Примеры
- •Задания для самостоятельной работы
- •Практическое занятие №19
- •Теоретический материал
- •Примеры
- •Задания для самостоятельной работы
- •Практическое занятие №20
- •Теоретический материал
- •Примеры
- •Задания для самостоятельной работы
- •Практическое занятие №21
- •Теоретический материал
- •Примеры
- •Задания для самостоятельной работы
- •Практическое занятие №22
- •Теоретический материал
- •Примеры
- •Задания для самостоятельной работы
- •Практическое занятие №23
- •Теоретический материал
- •Примеры
- •Задания для самостоятельной работы
- •Практическое занятие №24
- •Теоретический материал
- •Примеры
- •Задания для самостоятельной работы
- •Практическое занятие №25
- •Теоретический материал
- •Примеры
- •2) Здесь ,,. Точка, изображающая число, лежит воIIчетверти;,. Значит,
- •Задания для самостоятельной работы
- •Список рекомендуемой литературы
Задания для самостоятельной работы
Вычислить пределы:
1) ; 2); 3);
4) ; 5); 6);
7) ; 8); 9);
10) ; 11); 12);
13) ; 14); 15);
16) .
Вопросы для самоконтроля:
Что называется пределом функции?
Каким образом определяется число ?
Сформулируйте основные теоремы вычисления пределов.
Запишите формулы соответствующие первому и второму замечательным пределам.
Какие приемы используются при раскрытии неопределенностей?
Практическое занятие №8 Тема: Вычисление односторонних пределов, классификация точек разрыва
Цель: Формирование навыков вычисления односторонних пределов, классификации точек разрыва
На выполнение практической работы отводится 2 часа.
Требования к выполнению практической работы:
1.Ответить на теоретические вопросы.
2.Оформить задания в тетради для практических работ.
Теоретический материал
Функция называетсянепрерывной в точке, если бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции, то есть.
Функция называетсянепрерывной в точке, если существует конечный предел функции в этой точке, который равен значению функции в точке, то есть.
Примером непрерывной функции может служить любая элементарная функция, которая непрерывна в каждой точке своей области определения.
Точка называетсяточкой разрывафункции, если эта функции определена в некоторой окрестности точки, но в самой точкене удовлетворяет условию непрерывности.
Точки разрыва функции делятся два типа. К точкам разрыва I родаотносятся такие точки, в которых существуют конечные односторонние пределы:(левый предел) и(правый предел). Кточкам разрыва II родаотносятся те точки, в которых хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен.
Заметим, что точки разрыва Iрода подразделяются в свою очередь наточки устранимого разрыва(когда) и наточки скачкафункции (когда); в последнем случае разностьназывается скачком функциив точке.
Пример
Задание 1:Вычислите односторонние пределы: 1);
2) .
Решение:1) Пусть. Тогда прифункция, а, следовательно, иесть отрицательная бесконечно малая, поэтому функция- отрицательная бесконечно большая, то есть.
При функция, а, следовательно, и- положительная бесконечно большая функция, то есть.
2) Пусть . Тогда приимеем:- отрицательная бесконечно малая функция; следовательно,и. Отсюда.
Если , то приполучим:- положительная бесконечно малая функция; следовательно,и, тогда. Имеем,.
Задание 2:Даны функции: 1); 2). Найти точки разрыва и исследовать их характер.
Решение:1) Функцияопределена при всех значениях, кроме. Так как эта функция является элементарной, то она непрерывна в каждой точке своей области определения, состоящей из двух промежуткови.
Следовательно, единственной точкой разрыва является точка (функция определена в окрестности этой точки, в самой же точке нарушается условие непрерывности – функция в ней неопределена). Для исследования характера разрыва найдем левый и правый пределы этой функции при стремлении аргумента к точке разрыва:,.
Следовательно, при функцияимеет бесконечный разрыв;есть точкаIIрода.
2) Рассуждая аналогично, получим, что точкой разрыва заданной функции является . Найдем односторонние пределы этой функции в точке:,.
Таким образом, левый и правый пределы исследуемой функции при конечны, но не равны между собой. ПоэтомуточкаIрода, причем точка скачка функции.