Математическое моделирование электрических цепей

Структура электрической цепи. Электрическая цепь состоит из приборов, их контакты соединяются друг с другом в точках, которые называются узлами. Мы будем рассматривать приборы с двумя контактами. От узла к узлу через прибор течет электрический ток. Состояние электрического тока в любой момент времени характеризуется его силой (величиной), состояние узла характеризуется потенциалом.

Сила тока. Сила постоянного тока равна заряду, проходящему через поперечное сечение прибора за единицу времени. В общем случае сила тока и заряд связаны интегральным соотношением:

t

q_AB ( t ) = ∫ i_AB ( τ ) dτ,

t₀

где q_AB ( t ) - заряд, который прошёл через прибор от узла A к узлу B с момента времени t₀, когда включили ток, до момента времени t, i_AB ( τ ) - сила ток протекающего через прибор в момент времени τ. Если функция i_AB ( τ ) непрерывна, то i_AB ( t ) = q'_AB ( t ).

Первое правило Кирхгофа. Первое правило Кирхгофа является следствием закона сохранения заряда: сумма сил токов, втекающих в узел, равна сумме сил токов, вытекающих из узла.

Потенциал узла. Потенциал узла равен работе, которую надо затратить, чтобы, преодолевая электростатические силы, перенести единичный положительный заряд из фиксированной точки в данный узел. В качестве фиксированной точки в электротехнике выбирают точку на поверхности Земли, таким образом, потенциал земной поверхности равен нулю. Из закона сохранения энергии следует, что единичный положительный заряд, перемещающийся по электрической цепи из узла A в узел B, приобретает энергию, равную равную разности их потенциалов φ_A - φ_B.

Электродвижущая сила прибора. Внутри прибора могут протекать химические, тепловые, магнитные и другие процессы, в результате которых энергия проходящего через него единичного положительного заряда изменяется. Величина изменения этой энергии называется электродвижущей силой прибора.

Обобщённый закон Ома. Обобщенный закон Ома утверждает, что величина изменения энергии единичного положительного заряда, проходящего через прибор, пропорциональна силе тока:

падение напряжения на приборе, соединяющем узлы A и B вычисляется по формуле:

U_AB = i_AB R = φ_A - φ_B + e_AB

где i_AB – ток текущий через прибор от узла A к узлу B ( i_AB = - i_BA), R – сопротивление прибора, φ_A – потенциал узла A, φ_B - потенциал узла B, e_AB – электродвижущая сила прибора, e_AB = - e_BA . Если прибор содержит источник электродвижущей силы, то величина этого источника считается положительной в том случае, когда ток проходит через прибор от узла с меньшим потенциалом к узлу с большим потенциалом.

Электрическая цепь, состоящая из источника постоянной электродвижущей силы и сопротивления. Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из источника постоянной электродвижущей силы (ЭДС) и сопротивления, положительный полюс источника ЭДС соединяется с контактом сопротивления в узле A, отрицательный полюс источника ЭДС соединяется с другим контактом сопротивления в узле B. Из первого правила Кирхгофа вытекает, что в каждый момент времени сила тока, проходящего от узла A к узлу B через сопротивление, равна силе тока, проходящего от узла B к узлу A через источник ЭДС. Обозначим эту силу тока символом i. Применяя обобщённый закон Ома к источнику ЭДС, получим:

i_AB ∙ 0 = φ_B - φ_A + e_BA

(источник ЭДС является идеальным — его сопротивление равно нулю),

e_BA = φ_A - φ_B.

С другой стороны,

i R = φ_A — φ_B,

где R — величина сопротивления. Таким образом,

i = e_BA / R

Второе правило Кирхгофа. Напишем обобщённый закон Ома для каждого прибора, входящего в замкнутый контур электрической цепи и сложим полученные равенства. Сумма потенциалов всех узлов контура обратится в ноль, так что сумма падений напряжений вдоль замкнутого контура будет равна сумме электродвижущих сил приборов, образующих этот контур (второе правило Кирхгофа).

Электродвижущая сила катушки. Электродвижущая сила катушки (без сердечника) вычисляется по формуле

e_AB ( t ) = - L ( i_AB ( t ))',

где L – коэффициент самоиндукции катушки.

Электрическая цепь, состоящая из источника постоянной электродвижущей силы, катушки и сопротивления. Электрическая цепь состоит из ключа, источника постоянной электродвижущей силы величины e₀, сопротивления и катушки без сердечника; величина сопротивления равна R, коэффициент самоиндукции катушки равен L (надо различать случаи, когда буква L обозначает коэффициент самоиндукции катушки и когда она обозначает преобразование Лапласа). Мы рассматриваем идеальную электрическую цепь - источник электродвижущей силы и катушка не обладают внутренним сопротивлением. В начальный момент времени t = 0 включают электрический ток. Из первого правила Кирхгофа вытекает, что силы токов, протекающих через приборы, образующие электрическую цепь, одинаковы, обозначим силу каждого из этих токов в момент времени t через i ( t ) Применяя второе правило Кирхгофа, получим уравнение

R i ( t ) = χ ( t ) e₀ - L i' ( t ).

В начальный момент времени t = 0 тока в цепи нет: i ( 0 + 0 ) = 0 — это начальное условие нашей задачи.

Электродвижущая сила конденсатора. Заряд, накопленный конденсатором, пропорционален его электродвижущей силе:

q_AB ( t ) = - C e_AB ( t ),

коэффициент C называется электрической ёмкостью конденсатора.

Электрическая цепь, состоящая из источника постоянной электродвижущей силы, конденсатора и сопротивления. Электрическая цепь состоит из ключа, источника постоянной электродвижущей силы величины e₀, сопротивления и конденсатора; R – величина сопротивления, C — ёмкость конденсатора. В начальный момент времени t = 0 включают электрический ток. Из первого правила Кирхгофа вытекает, что силы токов, протекающих через приборы, образующие электрическую цепь, одинаковы, обозначим силу каждого из этих токов в момент времени t через i ( t ) Применяя второе правило Кирхгофа, получим уравнение

R i ( t ) = χ ( t ) e₀ - q ( t ) / C.

В начальный момент времени t = 0 заряд конденсатора равен нулю: q ( 0 + 0 ) = 0 — это начальное условие нашей задачи.

Будем считать, что состояние системы описывается значением заряда конденсатора q ( t ), а сила тока является непрерывной функцией времени. Так как

t

q ( t ) = ∫ i ( τ ) dτ,

0

то сила тока представляет собой производную заряда: q' ( t ) = i ( t ),

R q' ( t ) + q ( t ) / C = χ ( t ) e₀.