- •Карапетян л.С.
- •I. Системи із сталими запізненнями
- •1.1. Нефінитизовані диференціальні рівняння зі ланками запізнення
- •1.2. Фінітизовані диференціальні рівняння зі ланками запізнення
- •2. Системи із періодичними запізненнями
- •2.1. Періодичні розв’язки диференціальних рівнянь із запізненням
- •2.2 Умови існування асимптотичних систем для рівнянь із запізненням
- •Таким чином асимптотична система рівнянь для системи із запізненням (2.2.7) має вигляд (2.2.8), де матриця λ є розв'язок матричного рівняння (2.2.10).
- •Приклад: Розглянемо окремий випадок скалярного лінійного рівняння із запізненням
- •2.3Стійкість систем з періодичними запізненням
- •Висновки
- •Література
2.2 Умови існування асимптотичних систем для рівнянь із запізненням
Розглянемо систему диференціальних рівнянь із запізненням:
.
Як відомо, розв'язок задачі Коші для системи (2.2.1) полягає в знаходженні неперервно диференційованої векторної функції, що задовольняє початковим умовам y (t ) = φ(t ) і при підстановці обертає систему (2.2.1) в тотожність. Або, потрібно знайти інтегральну криву системи (2.2.1), що починається з деякого відрізка заданої кривої.
Таким чином простір розв'язків системи із запізненням (2.2.1) можна розглядати, як нескінченовимірний простір неперервно диференційованих функцій
Побудуємо систему звичайних диференціальних рівнянь:
до розв'язків якої прямують всі розв'язки вихідної системи із запізненням, тобто яка володіє асимптотичними властивостями щодо системи (2.2.1) [1, c. 739–749].
Слід зазначити, що розв'язок задачі Коші для системи без запізнення (2.2.2) полягає в знаходженні неперервно диференційованої векторної функції z (t ) , що задовольняє початковим умовам , яка при підстановці обертає систему (2.2.2) в тотожність, тобто потрібно знайти інтегральну криву, що починається в заданій точці. І простір розв'язків системи без запізнення (2.2.2) є скінченовимірним.
Означення 2.2.1. Система звичайних диференціальних рівнянь (2.2.2) називається асимптотичною для системи рівнянь із запізненням (2.2.1), якщо довільний розв'язок z (t ) системи (2.2.2) є розв'язком системи (2.2.1) і довільний розв'язок y (t ) системи із запізненням (2.2.1) прямує y (t ) → z(t ) при
t → +∞ до деякого розв'язку системи без запізнення (2.2.2).
Таким чином, система із запізненням (2.2.1) є асимптотичною, якщо в нескінченовимірному просторі Ω існує скінченовимірний многовид, до якого при t → +∞ прямують розв'язки системи (2.2.1) [2, c. 153–167].
Має місце наступна теорема [2, c. 53 ].
Теорема 2.2.1. Щоб система із запізненням (2.2.1) мала асимптотичну систему без запізнення (2.2.2), необхідно, щоб існувала векторна функція , при якій всі розв'язки системи звичайних диференціальних рівнянь (2.2.2) задовольняли систему інтегральних рівнянь:
Доведення.
◄Запишемо систему без запізнення (2.2.2) і систему із запізненням (2.2.1) в інтегральному вигляді:
Перепишемо інтегральне рівняння (2.2.4) у вигляді:
і підберемо функцію таким чином, щоб всі розв'язкиz (t ) інтегрального рівняння (2.2.4) були розв'язками інтегрального рівняння (2.2.5). Для цього потрібно, щоб для розв'язків z (t ) рівняння без запізнення (2.2.2) при виконувалася тотожність:
Якщо початкові умови при співпадають, то тотожність (2.2.6) виконується при
де z(s) – розв'язки рівняння без запізнення, визначені при .
Таким чином, всі розв'язки z(t ) системи (2.2.2) є розв'язками системи (2.2.1)►.
Розглянемо систему лінійних диференціальних рівнянь з сталим запізненням
Асимптотичне рівняння шукатимемо також у вигляді системи лінійних диференціальних рівняння першого порядку
з невідомою сталою матрицею Λ . Підставивши в інтегральне рівняння (2.2.3), отримуємо співвідношення
Оскільки розв'язок z (t ) системи без запізнення (2.2.8) має вигляд
,
де – нормована фундаментальна матриця розв'язків, що називається матричним експоненціалом, то підставивши його в інтегральне рівняння (2.2.3), і обчисливши інтеграли, отримаємо
Звідси випливає, що