4. Поток вектора индукции электрического поля. Теорема Гаусса

Вектор электрической индукции, в сущности, представляет собой сумму двух совершенно различных физических величин: напряженности поля и ( умноженной на 4тг) поляризации единицы объема среды. Тем не менее введение в рассмотрение этого вектора чрезвычайно упрощает изучение поля в диэлектриках.  Нормальная составляющая вектора электрической индукции на границе двух непроводящих сред претерпевает скачок, равный поверхностной плотности свободных зарядов, распределенных на границе .Нормальная слагающая вектора электрической индукции изменяется непрерывно при переходе через поверхность иона. Вектор D называется вектором электрической индукции или вектором электрического смещения.Вектор D называют вектором электрической индукции или вектором электрического смещения.]Таким образом, поток вектора электрической индукции через любую замкнутую поверхность в направлении внешней нормали равен заряду свободного электричества, заключенного в пространстве, ограниченном этой поверхностью. Если в объеме, ограниченном замкнутой поверхностью, свободных зарядов нет, суммарный поток через эту поверхность равен нулю: значение потока, который входит в объем, охватываемый этой поверхностью, всегда равно значению потока, который выходит из этого объема. Теорема Гаусса формулируется следующим образом: поток вектора E через замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную.

Теорема Гаусса:

Полученный результат не зависит от формы поверхности. Теорема Гауссаявляется фундаментальным соотношением, которое позволяет решать прямую задачу электростатики.

Рассмотрим поле точечного заряда на поверхности, являющейся сферой некоторого радиуса r.Поток вектора E сквозь площадку S равен:Ф = E*dS*cosa. тогда теорема Гаусса примет вид:

Физический смысл теоремы Гаусса - источником электростатического поля являются электрические заряды.

5. Применение теоремы гауса для расчета электростатических полей.

Определим напряжённость поля на расстоянии r от нити, заряженной с постоянной линейной плотностью :

, [Кл/м]    

Окружим нить замкнутой цилиндрической поверхностью (рис. 2.7.). Высота цилиндра — h, а радиус его основания — r.

Поле, созданное заряженной нитью, обладает цилиндрической симметрией. В связи с этим векторы напряжённости во всех точках боковой поверхности цилиндра будут одинаковы по модулю и направлены радиально, то есть перпендикулярно к боковой поверхности цилиндра. На основаниях цилиндра векторы , направленные по-прежнему радиально, «скользят» по основанию, образуя прямой угол с нормалью .

Вычислим поток вектора через поверхность выбранного цилиндра. Полный поток через эту замкнутую «гауссову» поверхность складывается из потока через боковую поверхность цилиндра и через два его основания:

Последние два интеграла равны нулю, так как «скользящие» по основаниям цилиндра векторы не пронизывают их и не создают никакого потока. Формально эти два интеграла равны нулю, так как между векторами и прямой угол и . Таким образом

Во всех точках боковой поверхности цилиндра E =Е_r = const и .

Поэтому поток через боковую поверхность цилиндра равен

                  

Это поток вектора напряжённости электрического поля, вычисленный по определению потока.

Теперь воспользуемся теоремой Гаусса, отметив предварительно, что «заряд, заключённый внутри гауссовой поверхности» в данном случае сосредоточен на отрезке нити h — на оси цилиндра:

6.Работа перемещения заряда в электрическое поле. Потенциал. Разность потенциалов.Вычислим работу при перемещении электрического заряда в однородном электрическом поле с напряженностью . Если перемещение заряда происходило по линии на пряженности поля на расстояние Ad = d₁-d₂, то работа равна

где d₁ и d₂ — расстояния от начальной и конечной точек до пластины В.В механике было показано, что при перемещении между двумя точками в гравитационном поле работа силы тяжести не зависит от траектории движения тела. Силы гравитационного и электростатического взаимодействия имеют одинаковую зависимость от расстояния, векторы сил направлены вдоль прямой, соединяющей взаимодействующие точечные тела. Отсюда следует, что и при перемещении заряда в электрическом поле из одной точки в другую работа сил электрического поля не зависит от траектории' его движения.При изменении направления перемещения на 180° работа сил электрического поля, как и работа силы тяжести, изменяет знак на противоположный. Если при перемещении заряда q из точки В в точку С силы электрического поля совершили работу А, то при перемещении заряда q по тому же самому пути из точки С в точку В они совершают работу — А. Но так как работа не зависит от траектории, то и при перемещении по траектории СКВ тоже совершается работа — А. Отсюда следует, что при перемещении заряда сначала из точки В в точку С, а затем из точки С в точку В, т. е. по замкнутой траектории, суммарная работа сил электростатического поля оказывается равной нулю (рие.111).Работа сил электростатического поля при движении электрического заряда по любой замкнутой траектории равна нулю.Поле, работа сил которого по любой замкнутой траектории равна нулю, называется потенциальным полем. Гравитационное и электростатическое поля являются потенциальными полями.

Потенциал электростатического поля — скалярная величина, равная отношению потен­циальной энергии заряда в поле к этому заряду:  

 

 - энергетическая характеристика поля в данной точке. Потенциал не зависит от величины заряда, помещенного в это поле.

Потенциал численно равен работе поля по перемещению единичного положительного заряда из данной точки электрического поля в бесконечность.

В СИ потенциал измеряется в вольтах: 

Разность потенциалов
Напряжение — разность значений потенциала в начальной и конечнойточках траектории.  Напряжение численно равно работе электростатического поля при перемещении единичного положительного заряда вдоль силовых линий этого поля.          Разность потенциалов (напряжение) не зависит от выбора системы координат!