3.3. Кривые второго порядка в прямоугольной системе координат

Окружностьюназывают геометрическое место точек, равноуда-ленных от данной точки, называемой центром окружности.

Уравнение окружности имеет вид

, (3.20)

где координаты ее центра,радиус окружности .

Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух данных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами,const (рис. 3.5).

Рис. 3.5

Каноническое уравнение эллипса имеет вид

, (3.21)

где большая и малая полуоси эллипса.

Если фокусы эллипса расположены на оси , то их координатыи, и фокусное расстояние связано с полуосями эллипса соотношением. (3.22)

Эллипс пересекает ось в точках,, осьв точках,. Эти точки называютсявершинами эллипса.Величиныиназываются соответственнобольшой и малой осями эллипса.

Мера отклонения эллипса от окружности характеризуется величиной , которая называетсяэксцентриситетом эллипса и равна отношению половины его фокального расстояния к длине большой полуоси

. (3.23)

Поскольку у эллипса , то эксцентриситет любого эллипса.

Директрисами эллипса называются прямые, параллельные его малой оси и отстоящие от нее на расстоянии.

Гиперболойназывается геометрическое место точек, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая чем расстояние между фокусами,const (рис. 3.6).

Рис. 3.6

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид

, (3.24)

где действительная полуось;мнимая полуось гиперболы.

Прямые, проходящие через центр симметрии, такие, что если точкадвигаясь по гиперболе, неограниченно удаляясь от вершины неограниченно приближаясь к одной из них, называются асимптотами гиперболы.

Уравнения асимптот. (3.25)

Если фокусы гиперболы расположены на оси , то их координатыи, и фокусное расстояние связано с действительнойи мнимойполуосями соотношением

. (3.26)

Гипербола пересекает ось в точках,. Эти точки называютсявершинами гиперболы.

Эксцентриситетом гиперболыназывается отношение фокусного расстояния гиперболы к ее действительной оси, то есть

. (3.27)

Поскольку у гиперболы , то эксцентриситет гиперболы.

Директрисами гиперболыназываются прямые, параллельные мнимой оси и отстоящие от нее на расстоянии.

Параболойназывается геометрическое место точек, равноуда-ленных от данной точки, называемой фокусом и от данной прямой, называемой директрисой и не проходит через фокус (рис. 3.7).

Рис. 3.7.

Каноническое уравнение параболы, ось симметрии которой парал-лельна оси а вершина совпадает с началом координат, имеет вид

, (3.28)

где параметр параболы, равный расстоянию от фокуса до директрисы.

Фокальный радиус любой точки параболы вычисляется по формуле. (3.29)

У параболы один фокус, следовательно, и одна директриса .

Эксцентриситет параболы равен отношению расстояния любой ее точки от фокуса к расстоянию до директрисы. На основании определения параболы имеем, что эксцентриситет любой параболы равен единице.

Уравнение ,, является каноническим уравнением параболы, с ветками, направленными вверх (рис. 3.8,а), а уравнение,– уравнением параболы, с ветками направленными вниз (рис. 3.8,б).

Рис. 3.8

Парабола, каноническое уравнение которой,, симметрична осии расположена слева оси, (рис. 3.8,в), а парабола,– справа оси(рис. 3.8,г).

Если парабола симметрична оси координаты вершины параболыто уравнение имеет вид

. (3.30)