Kniga_16_Fizicheskie_osnovy_nanoinzhenerii-1

Таким образом, каждому энергетическому уровню изолированного атома в кристалле соответствует зона разрешенных энергий. Зоны разрешенных энергий разделены запрещенными зонами. С увеличением энергии электрона в атоме ширина разрешенных зон увеличивается, а ширина запрещенных уменьшается. В общем случае зоны, образованные отдельными уровнями, могут перекрываться, образуя гибридную зону.

Приближение слабой связи. Энергетический спектр электронов в кристалле, как было показано выше, имеет зонный характер. Определим, как энергия электронов зависит от импульса p. Рас-

смотрим свободные электроны, движущиеся в периодическом поле кристаллической решетки. В этом случае уравнение Шредингера решают при циклических граничных условиях:

∂2Ψ + 2m (E −u)Ψ = 0.

∂x2 2

Решение этого уравнения по Блоху можно записать в виде

Ψ(x) = u1 (x)eikx ,

где u1 (x) – периодическая функция, период которой совпадает с периодом потенциала u (x), т. е. равен d (d = a +b, где a – ши-

рина потенциальной ямы; b – ширина потенциального барьера согласно модели Кронига–Пенни (рис. 1.5)).

u

E

Рис. 1.5. Модель Кронига–Пенни

Можно показать, что с учетом граничных условий, подставляя решение по Блоху в уравнение Шредингера, получим уравнение

Уравнение (1.14) решаем графическим способом (по оси абсцесс откладываем αa, а по оси ординат y(αa)). Качественно получаем характеристику, изображенную на рис. 1.6. Пунктиром нанесена часть кривой y(αa), выходящая за ±1. Эта часть кривой не может удовлетворять уравнению (1.12), поскольку cos(ka) не может быть по абсолютному значению больше 1. Сплошной линией нанесена часть кривой y(αa), лежащая в пределах ±1 и удовле-

творяющая уравнению (1.14). Участки на оси абсцисс AB, CD, A1B1 и C1D1, на которых кривая не выходит за пределы

±1, соответствуют разрешенным зонам энергии, поскольку α и E связаны соотношением (1.13). При αa → 0 имеем sin (αa)αa →1,

разрешенная зона CD. B D αa = 2π. Кривая y(αa) симметрична

относительно нуля, следовательно, при отрицательном αa имеем аналогичные отрицательные углы. Ширина разрешенных зон уве-

где n =1,2,3,….

На рис. 1.7 приведена кривая E (k ), соответствующая рассматриваемому случаю. Вблизи дна первой разрешенной зоны кривая E (k ) представляет собой параболу. Однако к потолку зоны кривая E (k ) отклоняется от параболы. При k = ±πa имеем потолок

первой зоны и разрыв кривой, соответствующий запрещенной зоне. Далее имеются отрезки кривых, обусловленные более высокими разрешенными энергетическими зонами.

Таким образом, волновые законы движения электронов в периодическом потенциальном поле приводят к возникновению разрешенных и запрещенных зон энергии.

1.3.2. ЗОНЫ БРИЛЛЮЭНА

Ранее использовалось понятие пространства импульсов, которое определялось путем задания составляющих импульсов в декартовой системе координат. Модуль волнового вектора, или вол-

Следовательно, импульс пропорционален волновому вектору k : p = k; тогда вместо пространства импульсов можно рассматри-

вать k-пространство, задаваемое составляющими kx , ky , kz . Раз-

решенным энергетическим зонам в твердом теле соответствуют зоны в k-пространстве. Области значений волнового вектора k,

в пределах которых энергия электрона E (k ), являющаяся периоди-

ческой функцией k, испытывает полный цикл своего изменения, называют зонами Бриллюэна. На границах зон энергия претерпевает разрыв. Для одномерного кристалла первая зона Бриллюэна простирается от k = −πa до k = πa и имеет протяженность 2πa

(см. рис. 1.7).

Как уже указывалось, из решения уравнения Шредингера для электрона, находящегося в периодическом потенциальном поле кристаллической решетки, следует, что собственные значения (разрешенные) энергии электрона должны быть периодическими функциями k :

Кривая E (kx ) называется дисперсионной кривой. Как видно из рис. 1.8, для каждой из разрешенной зон справедливо соотношение (1.16), хотя кривые E (kx ) для разрешенных зон отличаются друг

от друга. С ростом E ширина разрешенных зон увеличивается. Если отрезок CD сдвинуть на 2πax влево, а отрезок C1D1 на

2πax вправо, то вторую зону Бриллюэна можно привести к первой. Первую зону Бриллюэна, куда перенесены E (kx ) для разных энергетических зон, называют приведенной зоной Бриллюэна

В реальных кристаллах направления составляющих волнового вектора k выбирают в соответствии с определенными кристалло-

графическими направлениями. Зависимости E (k ) у реальных

кристаллов являются достаточно сложными.

В качестве примера рассмотрим зонную структуру кремния для двух направлений в k-пространстве. Минимум зависимости E (k )

или дисперсионной кривой называют дном энергетической зоны, а максимум – потолком зоны. Как видно из рис. 1.10, дно зоны проводимости у кремния находится не в середине зоны Бриллюэна, а вблизи ее границы в направлении «[100]». Вершина валентной зоны расположена в середине зоны Бриллюэна.

Минимальный зазор между валентной зоной и зоной проводимости принимается за ширину запрещенной зоны Eg .

При упрощенном рассмотрении энергетической структуры полупроводников вместо истинных дисперсионных кривых E (k ),

ограничивающих валентную зону и зону проводимости, проводят две параллельные прямые: одну – касательную к дну зоны проводимости, вторую – касательную к вершине валентной зоны. Первую прямую принимают за нижнюю границу (дно) зоны проводимости, вторую – за верхнюю границу (потолок) валентной зоны.

1.3.3. ЭФФЕКТИВНАЯ МАССА ЭЛЕКТРОНА

Известно: p = k = mv,

Кинетическая энергия свободного электрона Ek = E:

Масса m* называется эффективной массой электрона. Приписывая электрону, находящемуся в периодическом поле кристалла,

массу m*, можно считать этот электрон свободным и описывать

его движение во внешнем поле так, как описывается движение свободного электрона. Эффективная масса, отражающая особенности движения электрона в периодическом поле, является своеобразной функцией. Она может быть как положительной, так и отрицательной, а по абсолютному значению как меньше, так и больше массы покоя электрона. Эффективная масса свободного электрона равна массе покоя.

При движении электрона в периодическом потенциальном поле кристалла работа внешней силы может переходить как в кинетическую, так и потенциальную энергию электрона:

A = Ek + u.

Если часть работы внешней силы, F = −qε, переходит в потен-

циальную энергию, то скорость электрона возрастает медленнее, чем у свободного электрона и, следовательно, его эффективная масса больше массы покоя. Если вся работа внешней силы переходит в потенциальную энергию, то скорость электрона изменяться не будет, и он будет вести себя, как частица с бесконечно большой массой.

В потенциальную энергию может переходить не только работа внешней силы, но и кинетическая энергия электрона. Скорость электрона будет в этом случае уменьшаться, т. е. он ведет себя как частица с отрицательной массой.

Возможен случай, когда в кинетическую энергию может переходить не только работа внешней силы, но и потенциальная энергия, тогда скорость электрона будет расти быстрее, чем у свободного, т. е. его эффективная масса будет меньше массы покоя.

На рис. 1.11 показаны зависимости E, v, m* от волнового век-

тора k. Вблизи дна разрешенной зоны энергия m* электрона положительна, а у потолка зоны – отрицательна. Точка A – точка перегиба зависимости E (k ), в этой точке dEdk достигает мак-