Kniga_16_Fizicheskie_osnovy_nanoinzhenerii-1

и R + D =1, т. е. в данном случае в отличие от классической частицы наблюдается отражение. Коэффициент отражения R будет тем

k = 1 2m(u − E ).

Тогда k2 = ik,

R = k1 −ik 2 = (k1 −ik )(k1 +ik ) =1 k1 +ik (k1 +ik )(k1 −ik )

(см. определение комплексно-сопряженных чисел);

D =1− R = 0.

Однако в этом случае

Ψ2 = А2еik2 x = A2e−kx.

Вероятность обнаружения частицы в области B в зависимости от значения координат будет равна:

Произведение комплексно сопряженных чисел есть число действительное и равное квадрату модуля каждого из них.

Комплексно-сопряженными числами называются два числа, действительные части которых равны, а мнимые различаются только знаками.

24 Физические основы наноинженерии

Выражение (1.11), показывающее, что вероятность обнаружения частицы в области B отлична от нуля, не противоречит однако D =1− R, показывающему, что падающая волна полностью отражается от барьера. Дело в том, что некоторая часть частиц из падающего потока проникает в область B, а затем выходит в область A.

Прямоугольный потенциальный барьер. Пусть в областях A

и C потенциальная энергия частицы равна нулю, а в области B потенциальная энергия равна u. Ранее было показано, что существует некоторая вероятность нахождения частицы на некотором расстоянии x от прямоугольного барьера при E < u. Если x > d, то частицы будут из области A переходить в область C.

Такое прохождение частиц через барьер получило название туннельного эффекта. Коэффициент прозрачности барьера в этом случае равен:

где D0 – коэффициент пропорциональности, равный ~1.

При туннельном прохождении барьера энергия микрочастиц не меняется, они покидают барьер с той же энергией, с какой входят в него.

Вероятность прохождения электрона через барьер при E < u быстро убывает с увеличением толщины барьера.

Глубокая прямоугольная потенциальная яма. В областях

A и C потенциальная энергия частицы равна u, а в области B – нулю.

Ширину потенциальной ямы обозначим через a.

Решение уравнения Шредингера показывает, что микрочастица, запертая в потенциальной яме, может иметь только квантованные значения энергии. Каждому значению энергии будет соответствовать собственная волновая функция:

Ψn = A0 sin πa nx,

где n – квантовое число.

Энергия частицы определяется выражением

1.2.4.ФУНКЦИЯ ФЕРМИ

Всоответствии с принципом запрета Паули в элементарной фазовой ячейке может находиться не более двух электронов, имеющих антипараллельные спины. Ячейка может быть полностью занята, занята частично, полностью свободна.

Из статистической физики известно, что вероятность заполне-

ния электронами фазовой ячейки, имеющей энергию E, определяется функцией Ферми:

В условиях термодинамического равновесия уровень Ферми оказывается постоянным в любой системе контактирующих тел. Необходимым условием термодинамического равновесия системы является постоянство уровня Ферми.

Электронный газ, свойства которого описываются функцией Ферми, называют вырожденным, или квантованным. При этом число состояний одного порядка оказывается равным с числом частиц. Электронный газ называется невырожденным, если число разрешенных энергетических состояний значительно больше числа электронов, при этом используется классическая статистика Максвелла–Больцмана, поскольку квантомеханические запреты затушевываются.

Электронный газ можно считать невырожденным, если выполняется условие:

E−EF

fM−Б = e kT >>1.

Это условие выполняется при e(E−EF )kT >> 2 ÷3 на хвосте кривой выше EF . Этот «хвост» соответствует распределению Мак-

свелла–Больцмана.

Наоборот, при выполнении условия

E−EF

e kT <<1

газ является вырожденным.

Строение атома. Состояния электронов в атомах характеризуются четырьмя квантовыми числами:

1.Главное квантовое число n = 1,2,3,4,…. Оно определяет по-

рядковый номер разрешенной орбиты или энергетического уровня электрона.

2.Орбитальное квантовое число l связано с орбитальным ме-

ханическим моментом количества движения pl-электрона соотношением:

pl = l (l +1).

Моментом количества движения точки относительно полюса называется вектор, равный векторному произведению радиусвектора точки, проведенного из полюса, на ее количество движения.

3. Моментное квантовое число m = 0,±1,±2,… определяет про-

екцию момента pi на некоторое направление, m принимает лишь целочисленные значения.

4. Спиновое квантовое число S = ±12 выражает собственный

момент количества движения электрона. Он может быть направлен либо параллельно, либо антипараллельно орбитальному моменту количества движения.

Совокупность электронов, обладающих одним и тем же значением главного квантового числа n, образуют слой атома n = 1, κ-слой; n = 2, L-слой; n = 3, M-слой и т. д.

Внутри слоя электроны с различными орбитальными числами l образуют оболочки s (l = 0), p (l =1), d (l = 2), f (l = 3) и т. д.

Согласно принципу Паули, в одном квантовом состоянии, характеризуемом четырьмя квантовыми числами, может находиться не более одного электрона.

При заполнении слоев и оболочек электроны стремятся занять более низкие энергетические уровни.

1.2.5. ФАЗОВАЯ И ГРУППОВАЯ СКОРОСТИ, ФОНОНЫ

Атомы, находящиеся в узлах кристаллической решетки, при температуре, отличной от абсолютного нуля, совершают колебания в окрестности положения равновесия. Носители заряда, движущиеся среди колеблющихся атомов, обмениваются с ними энергией, благодаря чему устанавливается термодинамическое равновесие между решеткой и электронным газом.

Вследствие сильного межатомного взаимодействия колебание каждого атома передается соседним, и в кристалле возбуждаются «коллективные» колебания атомов, распространяющиеся во всевозможных направлениях. Если на атом действует сила, пропорциональная его смещению из положения равновесия, то возникают гармонические колебания. Следовательно, колеблющийся атом можно считать гармоническим осциллятором. Колебания каждого гармонического осциллятора можно разложить на составляющие по трем направлениям. Атомы кристалла упруго связаны между собой, и колебания любого из них передаются соседям. Такие колебания называются нормальными. В кристалле, содержащем N атомов, распространяются упругие волны от 3N-осцилляторов, т. е. возможно 3N нормальных колебаний.

Волновой процесс характеризуется также фазовой и групповой скоростями распространения волны. Фазовая скорость представляет собой скорость перемещения в пространстве точки с заданной фазой:

где β – жесткость связи; M – масса атома.

Скорость распространения волнового пакета (скорость переноса энергии в среде) определяется групповой скоростью:

Если длина цепочки L, то наиболее длинноволновые колебания, которые могут распространяться в такой цепочке, имеют дли-

В последнем случае может быть найдена максимально возможная частота колебаний:

ωmax = 2πvλmin = πva = kv,

где v – средняя скорость распространения нормальных колебаний. Отсюда видно, что максимальная частота колебаний является постоянной величиной для каждого конкретного материала. На-

Из соотношений для фазовой и групповой скоростей следует, что для длинных волн (k → 0) vф = vгр = vзв, где vзв – средняя скорость распространения звука в кристалле. Для коротких волн

(k → πa) vгр → 0, vф →(2aπ) βM .

Рассмотрим тепловые колебания решетки с квантовой точки зрения. Энергия каждого из 3N колебаний квантована. Разрешенные значения энергии определяются выражением

Eω = (n +12) ω,

где = h2π; h – постоянная Планка, 0,1,2,… Отсюда видно, что

минимально возможное изменение тепловой энергии равно ω. Эта минимальная порция, или квант энергии колебания, называется фононом. Если представить решетку в виде фононного газа, то увеличение энергии Eω = Eω0 + E означает увеличение концен-

трации фононов, уменьшение же энергии Eω = Eω0 − E – умень-

шение концентрации фононов. При этом акустическим колебаниям решетки соответствуют акустические фононы, оптическим – оптические фононы.

1.2.6. НИЗКОРАЗМЕРНЫЕ ОБЪЕКТЫ: КВАНТОВАЯ ЯМА, КВАНТОВАЯ НИТЬ, КВАНТОВАЯ ТОЧКА

При переходе вещества в наносостояние его свойства начинают сильно зависеть от размера составляющих его нанообъектов. Размерный эффект – зависимость свойств тела от его размера.

Размерные эффекты возникают, когда размер объекта соизмерим с каким-либо параметром вещества, оказывающим сущест-

венное влияние на физические процессы в веществе и его свойства. Такими параметрами могут быть длина свободного пробега носителей в веществе, диффузионная длина, диаметр траекторий скольжения дислокаций и т. п. Для квантовых размерных эффектов данным параметром является длина волны де Бройля.

Длина волны де Бройля для электрона, движущегося в кристаллической структуре, определяется выражением:

E– кинетическая энергия; v – скорость.

Так как длина волны де Бройля для свободных электронов

вполупроводниках значительно больше, чем в металлах, то квантоворазмерные эффекты технологически легче осуществить на полупроводниках. Поэтому исследование этих эффектов и формирование наноструктур для применения в электронике проводится преимущественно на полупроводниках.

Следует отметить, что квантоворазмерные эффекты можно наблюдать при условии, что средняя длина свободного пробега электронов превышает размер рассматриваемой области, ее границы имеют высокую степень совершенства, а отражения волны де Бройля от границ можно считать зеркальными.

В 3D-объектах электроны могут свободно перемещаться во всех трех направлениях:

λLx , Ly , Lz .

Примером такого объекта может являться неограниченный кристалл полупроводника.

Двухмерный 2D-объект. Это тонкий слой кристалла, толщина которого d соизмерима с длиной волны де Бройля (d λ):

λ > Lz и одновременно λ Lx , Ly .

Вэтом случае электроны могут свободно перемещаться только

вплоскости пленки, а в направлении, перпендикулярном плоскости пленки, движение их будет ограничено потенциальным барьером. Двигаясь в этом направлении, электрон не способен покинуть слой, так как его работа выхода (1–6 эВ) много больше энергии теплового движения (~0,026 эВ при комнатной температуре).

При сближении атомов взаимодействие между ними растет. Потенциальные кривые, отделяющие соседние атомы (показаны частично), накладываются друг на друга и дают результирующие кривые, проходящие ниже линии 0–0 (рис. 1.3). Таким образом, сближение атомов оказывает двоякое действие на потенциальный барьер, оно уменьшает его толщину до значения порядка кристаллической решетки и понижает высоту. Высота потенциального барьера для верхних уровней оказывается ниже их положения

в свободном атоме (E3 ), и валентные электроны, находящиеся на

этом уровне, получают возможность перемещаться по кристаллу от одного атома к другому. Такие электроны называются свободными, а их совокупность – электронным газом.

При расчете состояний электронного газа используют два крайних случая – приближение сильной и слабой связи.

Приближение сильной связи. Пусть электроны находятся в потенциальных ямах своих атомов. Уменьшение высоты и толщины барьера вследствие сближения атомов может привести к тому, что барьер окажется прозрачным для туннелирования электронов. Туннелируют преимущественно электроны на внешних уровнях, так как частота перехода от одного атома к другому равна:

γ = av D = av e−2b 2m(u−E) ,

где v – скорость перемещения электрона в потенциальной яме; va – число подходов к барьеру в единицу времени; b – толщина

барьера.

Тогда время пребывания электрона в атоме:

τ =1γ.