Контрольная работа по математике № 2

Частное образовательное учреждение

высшего образования

«Русско-Британский Институт Управления»

Факультет заочного обучения

Кафедра математики и информатики

Контрольная работа № 2

по курсу «Математика» для студентов факультета заочного обучения

направления «Менеджмент»

Вариант №_____

1. Выполнение и оформление контрольной работы:

1. Работа выполняется в любой тетради.

2. На обложке указывается фамилия, имя, отчество, номер группы и номер варианта.

3. Задачи должны быть решены в той последовательности, в какой они даны в задании (без изменения нумерации).

4. Решение задач должны сопровождаться пояснениями, все входящие в формулы обозначения должны быть объяснены.

5. Работа должна быть сдана на проверку за 10 дней до начала сессии.

6. При наличии замечаний преподавателя работа возвращается на доработку.

7. Контрольная работа не проверяется, если она выполнена не по своему варианту.

8. Зачтенные контрольные работы возврату не подлежат.

2. Рекомендуемая литература:

1. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей. - М., Наука. 1973.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М., Высшая школа.

3. Гмурман В.Е. Руководство по решению задач по теория вероятностей и математической статистике. - М., Высшая школа.

4. Карасев А.И. Теория вероятностей и математическая статистика. - М., Статистика.

5. Карасев А.И., Аксютина В.М., Савельев Т.Н. Курс высшей математики для экономических вузов. Т.2. -М., Высшая школа, 1982.

Задание 1: Вычисление вероятностей случайных событий по классической формуле. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

1. Среди 20 лотерейных билетов имеется 3 выигрышных. Какова вероятность того, что среди двух взятых наугад билетов окажется:

а) только один выигрышный билет;

б) хотя бы один выигрышный билет?

2. Студент знает 24 из 30 вопросов по первому разделу и 32 из 35 вопросов по второму разделу курса. На экзамене ему случайным образом предлагается по одному вопросу из каждого раздела курса. Какова вероятность того, что студент ответит правильно:

а) хотя бы один вопрос:

б) на оба вопроса?

3. У фотолюбителя в коробке находится пять одинаковых кассет с фотопленками, из которых три пленки уже отсняты, а две – чистые. Будучи не в состоянии установить, какие из них отсняты, он решает отобрать наугад две пленки. Какова вероятность того, что в отобранных кассетах окажутся чистыми:

а) обе пленки;

б) хотя бы одна пленка?

4. В магазин поступило 14 телевизоров, из которых 5 требуют дополнительной регулировки. Какова вероятность того, что среди двух отобранных случайным образом для продажи телевизоров потребуют регулировки:

а) хотя бы один телевизор;

б) оба телевизора?

5. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в центр при одном выстреле равна 0,6 для первого и 0,8 для второго стрелка. Найти вероятность того, что при одном залпе

а) только один стрелок поразит мишень;

б) хотя бы один стрелок поразит мишень.

6. Известно, что среди 10 бутылок минеральной воды, этикетки на которых отсутствуют, имеется 4 бутылки «Боржоми». Какова вероятность того, что среди взятых наугад двух бутылок будет содержаться «Боржоми»:

а) только одна бутылка;

б) хотя бы одна бутылка?

7. В коробке находится 8 однотипных ключей, из которых три ключа подходят к замку. Из коробки наугад берут по одному ключу и пытаются им открыть замок (взятый ключ в коробку не возвращают). Какова вероятность того, что замок будет открыт:

а) с первой попытки;

б) хотя бы со второй попытки?

8.В урне находится 12 шаров, из которых 5 белых. Из нее наугад за другом извлекают 2 шара. Какова вероятность того, что среди извлеченных шаров окажутся белыми:

а)оба шара;

б) только один шар

9.Вероятность безотказной работы в течение гарантийного срока составляет 0,8 для первого прибора и 0,95 – для второго прибора. Какова вероятность того, что в течение гарантийного срока окажутся работоспособными:

а) хотя бы один прибор;

б) оба прибора

10.Студент знает 24 из 30 вопросов программы. На экзамене ему случайным образом предлагается два вопроса. Какова вероятность того, что он ответит правильно:

а) хотя бы на один вопрос;

б) на оба вопроса

Задание 2: Формула полной вероятности. Формулы Байеса.

1. Магазин получил две равные по количеству партии обуви в одинаковых упаковочных коробках. Известно, что в среднем 8% обуви в первой партии и 14% во второй партии имеют определенные дефекты отделки верха. Какова вероятность того, что взятая наугад в магазине пара обуви не будет иметь дефектов отделки верха?

2. Два товароведа производят приемку партии изделий по качеству. Вероятность того, что очередное изделие попадет к первому товароведу, равна 0,4, а ко второму – 0,6. Первый товаровед выявляет дефектное изделие с вероятностью 0,95, второй – с вероятностью 0,8. Одно из дефектных изделий было признано годным к эксплуатации. Какова вероятность того, что это изделие проверял второй товаровед?

3. Укупорка банок томатного сока производится двумя автоматами, продукция которых поступает на общий конвейер. Производительность второго автомата в 1,5 раза выше производительности первого. Доля банок с дефектами упаковки в среднем составляет 0,5% у первого и 0,02% у второго автомата. Какова вероятность того, что взятая наугад банка сока будет иметь дефекты упаковки?

4. Покупатель может приобрести некоторое изделие в двух магазинах. Вероятность обращения его в каждый магазин зависит от их местоположения и соответственно равны 0,3 и 0,7. Вероятность того, что к моменту прихода покупателя нужное ему изделие уже будет распродано, равна 0,2 для первого и 0,6 для второго магазина. Покупатель посетил один из этих магазинов и приобрел изделие. Какова вероятность того, что он купил его в первом магазине?

5. В двух одинаковых урнах находится по 10 шаров двух цветов: белого и синего. Количество шаров в первой урне 3 штуки, а во второй – 6 штук. Студент выбирает наугад одну из урн и выбирает и извлекает из неё случайным образом шар. Какова вероятность того, что извлечённый шар окажется синего цвета?

6. Два специалиста ОТК завода проверяют качество выпускаемых изделий, причём каждое может с одинаковой вероятностью быть проверено как первым, так и вторым специалистом. Вероятность пропуска дефекта первым специалистом составляет 0,1; а вторым – 0,05 . Одно из дефектных изделий было признано годным к эксплуатации. Какова вероятность того, что это изделие проверял первый специалист .

7 . Пассажир может приобрести билет в одной из двух касс: вероятность обращения его в первую кассу составляет 0,4; а во вторую – 0,6 . Вероятности того, что в кассах билетов уже нет, такие: для первой кассы- 0,1; для второй 0,5. Пассажир обратился в одну из касс и приобрел билет. Какова вероятность того, что он приобрел билет в первой кассе?

8. Два товароведа производят приемку партии товара по качеству. Вероятность того, что очередное изделие попадет к первому товароведу, составляет 0,55, а ко второму – 0,45. Первый товаровед выявляет дефектное изделие с вероятностью 0,05, второй – с вероятностью 0,15. Определить вероятность того, что в процессе приемки дефектное изделие будет обнаружено.

9. В магазин от двух поставщиков поступила женская обувь в одинаковых упаковках. От первого поставщика поступило 480 пар, из них 360 пар обуви черного цвета. От второго поставщика поступило 320 пар, в том числе 120 пар обуви черного цвета. Какова вероятность того, что она поступила от второго поставщика?

10. Фасовка сахара производится двумя полуавтоматами с одинаковой производительностью, продукция которых поступает на общий конвейер. Вероятность появления дефектной упаковки для первого полуавтомата составляет 0,01, а второго – 0,006. Найти вероятность того, что выбранная наугад упаковка будет иметь дефект.

Задание 3: Формулы Бернулли и Лапласа.

Вероятность поражения мишени стрелком равна р. Найти вероятность того, что при п выстрелах мишень будет поражена ровно k раз, или от k₁ до k₂ раз:

1. n = 6 p = 0,2 k₁ = 0 k₂ = 3.

2. п = 2100 р = 0,3 k₁ = 600 k₂ =660.

3. п = 6 р = 0,4 k = 2.

4. n = 8 р = 0,5 k₁ = 5 k₂ = 7.

5. n=100 p = 0,5 k₁ = 43 k₂ =57.

6. n = 600 p = 0,3 k = 250.

7. п = 5 р = 0,6 k = 3.

8. п=100 р = 0,8 k = 86.

9. п = 2100 р = 0,7 k =1500.

10. n=100 p = 0,9 k₁ = 86 k₂=94.

Задание 4: Случайные величины и их числовые характеристики.

Закон распределения р (Х = х_i) дискретной случайной величины Х приведен в таблице.

Требуется: а) определить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х) и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х; б) построить график этого распределения.

Номер задачи рi	Значения хi случайной величины Х
	0	1	2	3	4	5
1	0,06	0,28	0,35	0,23	0,07	0,01
2	0,03	0,16	0,31	0,31	0,16	0,03
3	0,16	0,35	0,31	0,12	0,03	0,03
4	0,01	0,06	0,24	0,34	0,26	0,09
5	0,01	0,03	0,11	0,32	0,36	0,17
6	0,48	0,25	0,14	0,07	0,04	0,02
7	0,36	0,38	0,18	0,06	0,02	0,00
8	0,23	0,33	0,25	0,12	0,04	0,03
9	0,13	0,28	0,26	0,18	0,09	0,06
10	0,28	0,35	0,22	0,10	0,04	0,01

Задание 5. По данному статистическому распределению выборки вычислите: выборочную среднюю; выборочную дисперсию; выборочное среднее квадратическое отклонение (в первой строке указаны выборочные варианты x_i, а во второй - соответствующие им частоты n_i количественного признака X), построить полигон частот.

1. x_i 110 115 120 125 130 135 140 n_i 3 7 11 40 19 12 8

2. x_i 120 130 140 150 160 170 180 n_i 6 9 29 26 14 11 5

3. x_i 10,3 11,0 11,7 12,4 13,1 13,8 14,5 n_i 7 10 60 13 5 3 2

4. x_i 11,5 12,0 12,5 13,0 13,5 14,0 14,5 n_i 5 13 40 26 7 5 2

5. x_i 42 50 58 66 74 82 90 n_i 4 17 55 12 7 3 2

6. x_i 12,4 17,4 22,4 27,4 32,4 37,4 42,4 n_i 7 11 60 12 5 3 2

7. x_i 13,5 15,5 17,5 19,5 21,5 23,5 25,5 n_i 4 15 50 23 4 3 1

3. x_i 24 30 36 42 48 54 60 n_i 5 13 45 23 8 4 2

4. x_i 12,8 15,8 18,8 21,8 24,8 27,8 30,8 n_i 5 15 40 25 9 4 2

5. x_i 10,3 14,3 18,3 22,3 26,3 30,3 34,3 n_i 6 14 40 24 9 4 3

Таблица выбора заданий контрольных работ

	Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
Задание 1	1, 6	2, 7	3, 8	4, 9	5, 10
Задание 2	1, 6	2, 7	3, 8	4, 9	5, 10
Задание 3	1, 6	2, 7	3, 8	4, 9	5, 10
Задание 4	1, 6	2, 7	3, 8	4, 9	5, 10
Задание 5	1, 6	2, 7	3, 8	4, 9	5, 10