Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тернопольский национальный педагогический университет им. В. Гнатюка

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

+_Algebra10_Nelin_profil

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.02.2016

Размер:

4.55 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 2422 23 24 > Следующая >>>

§ 12. Узагальнення поняття степеня. Степенева функція, її властивості та графік 211

Для будь-яких раціональних чисел r і s та будь-яких додатних чисел а і b виконуються рівності:

1)ar•as = ar + s;

2)ar : as = ar – s;

3)(ar)s = ars;

4)(ab)r = arbr;

5)(ab )r = abrr .

Для доведення цих властивостей достатньо cкористатиcя означенням степеня з раціональним показником і доведеними в § 9 властивостями кореня п-го степеня.

 Нехай

r = m

s =

де

п і

q — натуральні числа

(біль і за 1),

а т і р — цілі.

Тоді при а > 0 i b > 0 маємо:

mq+np

ar i as = n am i q ap = nq amq i nq anp = nq amq+np = a nq = ar +s;

ar :as = a

mq−np

= nq

= nq amq−np = a nq

= ar −s;

q ap

nq anp

anp

(ar )s = (n am )

= n ams = a n = an æ s = ars;

= arbr;

(ab)r = (ab) n

= n (ab)m = n ambm = n am æ n bm = an

æ bn

(a )r

= (a )n

= n (a )m

= n

n am

= amn = arr .

b n

Поняття степеня з ірраціональним показником. Опи емо в загальних рисах, як можна означити число aα для ірраціональних α, коли a > 1. Наприклад, пояснимо, як можна розуміти значення 2 3.

Ірраціональне число 3 можна подати у вигляді нескінченного неперіодичного десяткового дробу 3 =17320508075,.... Розглянемо десяткові наближення числа 3 з недостачею і надли ком:

1< 3 < 2; 17, < 3 <1,8; 173,< 3 <174,; 1732,< 3 <1733,;

17320,< 3 <17321,; 173205,< 3 <173206,;

1732050,< 3 <1732051,;

...

212 Розділ 2. СТЕПЕНЕВА ФУНКЦІЯ

Будемо вважати, що коли r < 3 < s (де r і s — раціональні числа), то значення 2 3 розміщується між відповідними значеннями 2r і 2s, а саме: 2r < 2 3 < 2s. Знайдемо за допомогою калькулятора наближені

значення 2r і 2s, вибираючи як r і s наближені значення 3 з недостачею і надли ком відповідно. Одержуємо співвідно ення:

21 < 2 3 < 22; 217, ≈ 3,2490096< 2 3 < 21,8 ≈ 3,4822022;

2173, ≈ 3,3172782< 2 3 < 2174, ≈ 3,3403517; 21732, ≈ 3,3218801< 2 3 < 21733, ≈ 3,3241834; 217320, ≈ 3,3218801< 2 3 < 217321, ≈ 3,3221104; 2173205, ≈ 3,3219952< 2 3 < 2173206, ≈ 3,3220182;

21732050, ≈ 3,3219952< 2 3 < 21732051, ≈ 3,3219975;

...

Як бачимо, значення 2r і 2s наближаються до одного й того самого числа3,32199....Цечислоівважаютьстепенем 2 3. Отже, 2 3 = 3,32199....

Значення 2 3, обчислене на калькуляторі, таке: 2 3 ≈ 3,321997.

Можна довести, що завжди, коли ми вибираємо раціональні числа r, які з недостачею наближаються до ірраціонального числа α, і раціональні числа s, які з надли ком наближаються до цього самого ірраціонального числа α, для будь-якого a > 1 існує, і притому тільки одне, число y, біль е за всі ar і мен е за всі as. Це число y за означенням є aα.

Аналогічно означають і степінь з ірраціональним показником α для 0 < a < 1, тільки у випадку, коли r < α < s при 0 < a < 1, вважають, що as < aα < ar. Крім того, як і для раціональних показників, за означенням вважають, що 1α = 1 для будь-якого α і 0α = 0 для всіх α > 0.

Приклади розв’язання завдань

Приклад 1. Подайте вираз у вигляді степеня з раціональним показником:

			1) 3 75 ;	2) 4 5−3 ;	3) 7 a2 при а l 0;	4*)	7 a2 .
		Розв’язання			Коментар
		Розв’язання			Коментар
		5			За означенням степеня з раціо-
1) 	3	75 = 73	; 		нальним показником для а > 0
			3		m
2) 	4	5−3 = 5−4; 			n am = an .		(1)

§ 12. Узагальнення поняття степеня. Степенева функція, її властивості та графік 213

3)  при а l

0 7

Для

завдання 3

врахуємо,

що

a2 = a7;



вираз a7

означений

також і

при

4) 

7 a2 = 7

2 =



а = 0.

7 .

У завданні 4 при a < 0 ми не ма-

ємо права користуватися формулою

(1). Але якщо врахувати, що а2 = | a |2,

то для основи | a | формулою (1) уже

можна скористатися, оскільки | a | l0.

(

Приклад 2.

Обчисліть: 1) 814; 2) 128−7; 3*)

−8)3 .

Розв’язання

Коментар

=(4

81)

Використовуємо означення сте-

1)  814 = 4 813

=33

=27; 

пеня з

раціональним показником:

2)  128−7 = 7 128 −2 =(7 128)−2 =

an = n am, де а > 0, а при виконанні

=2−2 = 1

;

завдання

3 враховуємо, що вираз

an не означено при а < 0.

3*) 

(−8)3 не існує, оскільки сте-

пінь a3 означений тільки при

а l 0. 

Спростіть вираз:

Приклад 3.

a − b

;

2*)

x + 27

a2 − b2

x3 −3x3 + 9

Розв’язання

			a − b					(a2 )			2	−(b		2 )		2
								1			2			1		2
1) 							=				1		1				=
1) 			1		1		=										=
			1		1
		a2 − b2							a2 − b2
				(a	2	− b2 )(a					2	+ b	2 )
					1			1			1		1				1	1
	=														= a2			+b2; 
	=							1		1					= a2			+b2; 
							a2 − b2							3
												1		3
2*) 				x + 27					=		(x3 )				+ 33			=
2*) 			2			1			=			2			1			=
		x3 −3x3 + 9 x3 −3x3 + 9																1
			(x3		+ 3)(x3					−3x3			+ 9)					1
				1				2				1
	=					2				1							= x3 +3.
						2				1
						x3 −3x3 + 9

Коментар

Оскільки задані приклади вже

1 1 1

містять вирази a2, b2, x3, то а l 0,

b l 0, х l 0. Тоді в завданні 1 невід’ємні числа а і b можна подати

1	2	1	2
як квадрати: a =(a2 )	,	b =(b2 )	і ви-

користати формулу різниці квад-

ратів: х2 – у2 = (х – у) (х + у),		а в
завданні 2 подати невід’ємне		чис-
1	3
ло х як куб: x =(x3 )	і використати

формулу розкладу суми кубів: а3 + b3 = (а + b) (а2 – аb + b2).

214 Розділ 2. СТЕПЕНЕВА ФУНКЦІЯ

Приклад 4. Розв’яжіть рівняння:

1) 3 x2 =1;	2*)	2	=1.
		x3

Розв’язання

1) 3 x2 =1. ОДЗ: х R, х2 = 1,

х= ±1.

Відповідь: ±1. 

2*)  x3 =1. ОДЗ: х l 0, х2 = 1,

х = ±1.

Ураховуючи ОДЗ, одержуємо х = 1.

Відповідь: 1. 

Запитання для контролю

Коментар

Область допустимих значень рівняння 3 x2 =1 — усі дійсні чис-

ла, а рівняння x3 =1 — тільки х l 0.

При піднесенні обох частин рівняння до куба одержуємо рівняння, рівносильне заданому на його ОДЗ. Отже, пер ому рівнянню задовольняють усі знайдені корені, а другому — тільки невід’ємні.

(У завданні 1 також ураховано, що (3 x2 )3 = x2, а в завданні 2 — що

(x2 )3 = x2 i 3 = x2.)

3 3

1.Дайте означення степеня з натуральним показником. Наведіть приклади обчислення таких степенів.

2.Дайте означення степеня з цілим від’ємним показником та з нульо-

вим показником. Наведіть приклади обчислення таких степенів. При яких значеннях а існують значення виразів а0 та а–n, де n N?

3. Дайте	означення степеня з раціональним показником	r = m,	де
		n
т — ціле число, а п — натуральне, не рівне 1. Наведіть приклади
обчислення таких степенів. При яких значеннях а існують значення
	m	2	−2
виразу	an ? Укажіть область допустимих значень виразів	a5 і a	5.

4.Запи іть властивості степенів з раціональними показниками. Наведіть приклади використання цих властивостей.

5*. Обґрунтуйте властивості степенів з раціональними показниками.

6*. Поясніть на прикладі, як можна ввести поняття степеня з ірраціональним показником.

§ 12. Узагальнення поняття степеня. Степенева функція, її властивості та графік 215

Вправи

1°. Подайте вираз у вигляді кореня з числа:

1	;	2) 3	−2	;	3) 50,25;	4)	4	−3	;	5) 21,5;	6) 7	−2
1) 22			5					7				3.

2.Подайте вираз у вигляді степеня з раціональним показником:

1°)	6 35 ;			2°) 5 4;			3°) 7−9 ;
4)	9 a−2	при a > 0;		5) 4 2b	при b l 0;		6*) 11 c4 .
3°. Чи має зміст вираз:
	1				2
1)	(−3)2	;	2) (–5)–2;		3) 47	;	4) 0–5?

4.Знайдіть область допустимих значень виразу:

	1	2) х–3;	3) (x−1)−	2
1)	x5;	2) х–3;	3) (x−1)−	3;
	3
4) (x+3)7;		5) (х2 – 1)0;	6) х3 – 5.

5.Знайдіть значення числового виразу:

									1												2
								644	−8	5						273					9
1) 2430,4;						2)			;	3) 164;				4)								;
1) 2430,4;						2)			;	3) 164;				4)								;
								38							1256
		−1			1	1		1		6) (14)	−	1	1	−2−1 æ (			)	−	1				1
		−1			1	1		1			−	2	1		1			−	2				1
5) (	14)		2 æ 252			− 812	æ 125−3;						æ 162		1					æ		8−	3;
5) (	14)		2 æ 252			− 812	æ 125−3;						æ 162		25					æ		8−	3;
	(25)					(8)
	1			−1			−1			1
7)	1			2	æ 7−1 − 1		3	æ 2−3 :49−		2.
7)					æ 7−1 − 1			æ 2−3 :49−		2.

6.Розкладіть на множники:

1	1	1
1) (ax)3	+(ay)3;	2) a−a2;

7. Скоротіть дріб:

	1		1			1	−5
1)	a2	+ b	2	;	2)	p2	−5	;
1)	a − b			;	2)	p −25		;
	a − b					p −25

3) 3+32;

1 1

c+ c2d2 + d;

3)3 3

c2 − d2

1			1	1	1
4) a+b2		+a2		+a2b2.
4)			m + n			.
		2		1 1	2
	m3		− m3n3		+ n3

Спростіть вираз (8–9).

		1	2		1
8.	1) (1+c2 )			−2c2;
		1		1	1	+1);
	3) (x4 +1)(x4				−1)(x2	+1);
		1
9.	1)	x2 − 4;			2)		a − b		;
		x −16				1		1
							a3 − b3

		1	1	2		1	1
2) (x2			−y2 )		+2x2y2;
		1	1	1		1	1
4) (k4			+l4 )(k8			+l8 )(k8
3)			z − 8		;		4)
3)	2		1		;		4)
	z3	+ 2z3 + 4

−l1 ).

	a + b		.
2	1 1	2	.
a3	− a3b3	+ b3

10. Розв’яжіть рівняння:

3	=1;	1	=2;	2	=2;	4) 5 x2 =2.
1) x5		2) x7		3) x5

216 Розділ 2. СТЕПЕНЕВА ФУНКЦІЯ
12.2. Степенева функція, її властивості та графік
О з н а ч е н н я. Функція виду у = хα, де α — будь-яке дійсне число,
називається степеневою функцією.
			Графіки і властивості
		Графік
		1. у = хα, α — парне натуральне число
y = x2	y = x4		y = x2n,
			n N
		2. у = хα, α — непарне натуральне число
	y = x3		y = x2n+1,
y = x1			n N
		3. у = хα, α — непарне від’ємне число
y = x−1 = 1		y = x−3 = 1	y = x−(2n−1) =	1	, n N
x		x3		x2n−1

§ 12. Узагальнення поняття степеня. Степенева функція, її властивості та графік 217

Таблиця 25

Особливий випадок (α = 0)

Якщо α = 0, то

y = xα = x0 = 1 (при х ≠ 0).

функції у = хα (при α ≠ 0)

Властивості

D (y)	E (y)	парність і непарність	зростання і спадання

(y = x2n, n N)
			Спадає на проміжку
R	[0; +∞)	Парна	(–∞; 0], зростає
			на проміжку [0; +∞)

(у = х та у = х2n + 1, п N)

R	R	Непарна	Зростає

(y = x−(2n−1) = x21n−1 , n N)

			Спадає на кожному
х ≠ 0	у ≠ 0	Непарна	з проміжків (–∞; 0)
			і (0; +∞)

218	Розділ 2. СТЕПЕНЕВА ФУНКЦІЯ
					Графіки і властивості
			Графік
			4. у = хα, α — парне від’ємне число
	y = x−2 =	1	y = x−4 =	1	y = x−2n = 12n , n N
		x2		x4	x
					5. у = хα,
	1			3	ó = õα (α > 0, α — íåöiëå)
	y = x2		y = x	3	ó = õα (α > 0, α — íåöiëå)
	y = x2		y = x	2
					α > 1
					0 < α < 1
					6. у = хα,
	1		3		y = õα (α< 0, α — íåöiëå)
	y = x−2		y = x−2

§ 12. Узагальнення поняття степеня. Степенева функція, її властивості та графік 219

					Продовження табл. 25

функції у = хα (при α ≠ 0)
				Властивості

D (y)		E (y)		парність і непарність	зростання і спадання
(y = x−2n =	1		, n N)
(y = x−2n =			, n N)
	x	2n
	x

					Зростає
х ≠ 0	(0; +∞)			Парна	на проміжку (–∞; 0),
х ≠ 0	(0; +∞)			Парна	спадає
					спадає
					на проміжку (0; +∞)

α — неціле додатне число

[0; +∞)	[0; +∞)			Ні парна, ні непарна	Зростає

α — неціле від’ємне число

(0; +∞)	(0; +∞)			Ні парна, ні непарна	Спадає

220 Розділ 2. СТЕПЕНЕВА ФУНКЦІЯ

Пояснення й обґрунтування

Степеневими функціями називають функції виду у = хα, де α — будь-яке дійсне число.

З окремими видами таких функцій ви вже ознайомилися в курсі алгебри 7–9 класів. Це, наприклад, функції у = х1 = х, у = х2, у = х3. При довільному натуральному α графіки і властивості функції у = хα аналогічні відомим вам графікам і властивостям указаних функцій.

Описуючи властивості степеневих функцій, виділимо ті характеристики функцій, які ми використовували в § 9: 1) область визначення; 2) область значень; 3) парність чи непарність; 4) точки перетину з осями координат; 5) проміжки знакосталості; 6) проміжки зростання і спадання; 7) найбіль е та наймен е значення функції.

1. Функція y = xα (α — парне натуральне число). Якщо α — парне натуральне число, то функція у = х2n, п N, має властивості та графік, повністю аналогічні властивостям і графіку функції у = х2.

Дійсно, область визначення функції у = х2n: D (y) = R, оскільки значення цієї функції можна обчислити при будь-яких значеннях х.

Функція парна: якщо f (х) = х2n, то f (–х) = (–х)2n = х2n = f (х). Отже, графік функції у = х2n симетричний відносно осі Оу.

Оскільки при х = 0 значення у = 0, то графік функції y = x2n завжди проходить через початок координат.

На проміжку [0; +∞) функція зростає.

Дійсно, для невід’ємних значень при x2 > x1 (x1 l 0, x2 l 0) одержуємо x22n > x12n, оскільки, як відомо з курсу алгебри 9 класу, при піднесенні обох частин правильної нерівності з невід’ємними членами до парного степеня (із збереженням знака нерівності) одержуємо

правильну нерівність. 

На проміжку (–∞; 0] функція спадає.

Дійсно, для недодатних значень x1 і x2 (x1 m 0, x2 m 0), якщо x2 > x1, то –x2 < –x1 (і тепер –x1 l 0, –x2 l 0). Тоді (–x2)2n < (–x1)2n, отже, x22n < x12n, тобто f (x2) < f (x1). 

Для того щоб знайти область значень функції у = х2n, п N, складемо

рівняння x2n = a. Воно має розв’язки для всіх а l 0 (тоді x = ±2n a) і тіль-

ки при таких значеннях а. Усі ці числа і складуть область значень функції. Отже, область значень заданої функції: у l 0, тобто Е (у) = [0; +∞).

Таким чином, для всіх дійсних значень x значення у l 0. Найменше значення функції дорівнює нулю (y = 0 при x = 0). Найбільшого значен ня функція не має.

Зазначимо також, що при x = 1 значення y = 12n = 1.

Ураховуючи властивості функції у = х2n, п N, одержуємо її графік (рис. 92).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 2422 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
22.11.2018316.93 Кб16%D0%9B%20%D1%81%D0%B0%D0%BC%20%D1%80%D0%BE%D0%B....doc
#
14.02.2016253.44 Кб203%D0%9C1%20%D0%9B1.doc
#
13.09.2019120.32 Кб23++кор.-розв. програма (тренінг) самооцінка.doc
#
14.02.20164.55 Mб47+_Algebra10_Nelin_profil.pdf
#
22.11.20191.37 Mб140325989_6549A_moroz_o_g_padalka_o_s_yurchenko_v...doc
#
22.11.20194.69 Mб70325995_C8895_kudina_v_v_solovey_m_i_spicin_e_s...doc
#
14.08.201913.98 Mб58909_kontr_kondrat_01_2009.doc
#
14.02.201690.11 Кб271 лекція (укр.мова).doc
#
14.02.2016135.68 Кб871 рівень.doc