- •Паскевич Тетяна Іванівна магістерська робота електронний посібник для поглибленого вивчення математики учнями математичних ліцеїв та шкіл
- •1. 1. Поняття про електронний підручник
- •1. 2. Основні вимоги до електронного підручника
- •1. 3. Структуризація та оформлення електронного підручника
- •1. 3. 1. Особливості мови html
- •1. 3. 2. Редагування тексту
- •3Адання заголовків
- •1. 3. 3. Створення гіперпосилань і графіки на Web-cторінках
- •1. 3. 4. Робота з таблицями
- •1. 4. Програма Advanced Grapher.
- •1. 5. Етапи створення посібника
- •2. 1. Границя послідовності
- •2. 1. 1. Деякі позначення і термінологія
- •2. 1. 2. Числові послідовності та їх класифікація
- •2. 1. 3. Нескінченно малі послідовності та їх властивості
- •2. 1. 4. Границя послідовності
- •2. 1. 5. Граничний перехід в нерівностях
- •2. 1. 6. Нескінченно великі послідовності
- •2. 2. Теорія дійсних чисел
- •2. 2. 1. Теорія дійсних чисел
- •Порівняння дійсних чисел
- •Властивість транзитивності
- •Додавання дійсних чисел
- •Віднімання дійсних чисел.
- •Множення дійсних чисел
- •Частка двох дійсних чисел
- •Інші властивості дійсних чисел
- •2. 2. 2. Точні грані множини
- •2. 2. 3. Поняття підпослідовності. Теорема Больцано-Вейєрштрасса. Поняття часткової границі. Верхні і нижні границі, проблема їх існування
- •2. 2. 4. Критерій Коші збіжності послідовності
- •2. 3. Границя і неперервність функції
- •2. 3. 1. Гранична точка множини. Означення границі функції
- •2. 3. 2. Границя функції на нескінченності (випадок, коли )
- •2. 3. 3. Односторонні границі функції в точці
- •Перша цікава границя.
- •2. 3. 4. Означення неперервності функції в точці. Точки розриву функції та їх класифікація
- •2. 3. 5. Арифметичні операції над неперервними функціями
- •Одностороння неперервність функції в точці
- •2. 3. 6. Властивості неперервних функцій
- •Локальна властивість
- •2. Глобальні властивості
- •2. 3. 7. Обернена функція
- •2. 4. Показникова та логарифмічна функції і їх властивості
- •2. 4. 1. Степінь з раціональним показником. Показникова функція та її властивості
- •2. 4. 2. Логарифмічна функція
- •2. 4. 3. Загальностепенева функція і її властивості
- •2. 4. 4. Друга та інші цікаві границі
- •2. 4. 5. Гіперболічні функції та їх графіки
- •3. 1. Похідна та її обчислення
- •3. 1. 1. Поняття дотичної до кривої. Кутовий коефіцієнт дотичної
- •3. 1. 2. Диференційованість функції в точці. Зв’язок її з неперервністю і існуванням похідної
- •3. 1. 3. Правила диференціювання
- •3. 1. 4. Диференціал функції та його застосування
- •3. 1. 5. Похідні і диференціали вищих порядків
- •3. 1. 6. Параметрично задані функції і обчислення їх похідних
- •3. 1. 7. Теореми про середнє. І, іі правила Лопіталя. Критерій строгої монотонності функції
- •3. 2. Дослідження функції та побудова її графіку
- •3. 2. 1. Дослідження функції на екстремум
- •3. 2. 2. Дослідження функції диференційованої на відрізку на найбільше та найменше її значення на цьому ж відрізку
- •3. 2. 3. Опуклість і вгнутість графіка функції. Теорема про достатні умови опуклості, вгнутості функції на проміжку
- •3. 2. 4. Точки перегину графіка функції та їх відшукання
- •3. 2. 5. Асимптоти графіка функції
- •4. 1. Невизначений інтеграл
- •4. 1. 1. Первісна. Невизначений інтеграл
- •4. 1. 2. Заміна змінних у невизначеному інтегралі. Інтегрування за частинами
- •4. 2. Інтегрування різних класів функцій
- •4. 2. 1. Інтегрування раціональних функцій
- •4. 2. 2. Інтегрування деяких класів ірраціональних функцій
- •4. 2. 3. Інтегрування ірраціональних функцій з квадратним тричленом під квадратним коренем. Підстановки Ейлера
- •4. 2. 4. Підстановки Чебишева
- •4. 2. 5. Інтегрування тригонометричних функцій
- •4. 3. Інтеграл Рімана
- •4. 3. 1. Суми Дарбу. Їх властивості та означення інтеграла Рімана
- •4. 3. 2. Рівномірно-неперервні функції. Теорема Кантора
- •4. 3. 3. Друге означення інтеграла Рімана
- •4. 3. 4. Властивості інтеграла Рімана
- •4. 3. 5. Інтеграл із змінною верхньою межею. Його властивості
- •4. 3. 6. Формула Ньютона-Лейбніца (основна формула інтегрального числення). Інтегрування методом підстановки та за частинами
- •4. 4. Застосування інтеграла Рімана
- •4. 4. 1. Площа криволінійної трапеції
- •4. 4. 2. Площа криволінійного сектора.
- •4. 4. 3. Об’єм тіла обертання
- •4. 4. 4. Довжина дуги кривої
- •4. 4. 5. Площа поверхні обертання
- •4. 4. 6. Координати центра ваги матеріальної дуги та пластинки. Теореми Гульдена
4. 3. 3. Друге означення інтеграла Рімана
Нехай – функція, задана на відрізку і – довільне розбиття цього відрізка.
На відрізку візьмемо
……………….
……………….
Таким чином, ми тільки що здійснили якийсь вибір точок на елементарних відрізках розбиття. Тепер утворимо таку суму
,
яку назвемо інтегральною для функції на , для даного – розбиття і даного вибору точок . Очевидно для розбиття (фіксованого) і довільних виборів справедливо
Означення (2) інтеграла Рімана. Якщо існує , яка не залежить від способу розбиття ні від виборів , то вона називається інтегралом Рімана, а функція в цьому випадку називається інтегрованою за Ріманом.
Напишемо, що означає остання рівність на мові :
розбиття (1)
Нерівність виконується для будь-яких виборів точок відрізка.
В зв’язку з тим, що ми маємо два означення інтеграла Рімана з’ясуємо чи вони еквівалентні чи ні. Почнемо з того, що начебто в другому означенні не вимагається обмеженість функції на відрізку і тому може закрастись думка, що сфера застосування другого означення ширша. Але це не так. Можна легко довести, що якщо функція необмежена на , то границя, яка написана в другому означенні існувати не буде. Таким чином перша конструкція неефективна коли функція є необмеженою на .
Теорема 1.
Означення 1 і 2 інтеграла Рімана рівносильні.
Доведення.
Нехай в розумінні першого означення. Значить . Взявши точок на відрізках розбиття, будемо мати
.
Звідси, з Леми 4 і рівності за Теоремою про 2 міліціонери одержимо, що . І, оскільки від не залежить, то остання рівність означає, що функція інтегрована за Ріманом в обох цих розуміннях.
Нехай .
Те, що функція інтегрована в розумінні ІІ означення означає, що виконується (1). Останню нерівність можна переписати у вигляді:
Зауважимо, що взявши будь-яке розбиття, при , ми отримаємо цілу множину інтегральних сум, які відрізнятимуться між собою різним вибором точок . Остання нерівність означає, що множина цих інтегрованих сум є обмеженою знизу і зверху. Значить існують
;
Звідси матимемо, що
(2)
Є підозра, що друга і третя частини нерівності (2) є відповідно нижня і верхня суми Дарбу по . Зауважимо, що вибір точок не залежить ні від вибору точок на інших відрізках, ні не чинить впливу на вибір точок інших відрізків. А раз так, то
З верхньою сумою аналогічно. Значить нерівність (2) можна записати:
(3)
.
А це означає, за критерієм інтегрованості, що в розумінні І означення. Те, що інтеграли обидва рівні випливає з нерівності:
,
з якої маємо
.
тут довільне, тому остання нерівність можлива лише при умові .
Таким чином, ми подали дві точки зору на одне і те ж питання. Тепер головною нашою задачею є прийти до якогось ефективного прийому обчислення інтеграла Рімана і, якщо це буде, то тоді добре було б показати навіщо він потрібний. Шлях до цих результатів ми почнемо з розгляду властивостей інтеграла Рімана, які в кінцевому випадку і виведуть нас на формулу його обчислення. А одержання цих властивостей, як буде видно з наступного параграфа, відбуватиметься за рахунок ІІ означення інтеграла Рімана.