- •Паскевич Тетяна Іванівна магістерська робота електронний посібник для поглибленого вивчення математики учнями математичних ліцеїв та шкіл
- •1. 1. Поняття про електронний підручник
- •1. 2. Основні вимоги до електронного підручника
- •1. 3. Структуризація та оформлення електронного підручника
- •1. 3. 1. Особливості мови html
- •1. 3. 2. Редагування тексту
- •3Адання заголовків
- •1. 3. 3. Створення гіперпосилань і графіки на Web-cторінках
- •1. 3. 4. Робота з таблицями
- •1. 4. Програма Advanced Grapher.
- •1. 5. Етапи створення посібника
- •2. 1. Границя послідовності
- •2. 1. 1. Деякі позначення і термінологія
- •2. 1. 2. Числові послідовності та їх класифікація
- •2. 1. 3. Нескінченно малі послідовності та їх властивості
- •2. 1. 4. Границя послідовності
- •2. 1. 5. Граничний перехід в нерівностях
- •2. 1. 6. Нескінченно великі послідовності
- •2. 2. Теорія дійсних чисел
- •2. 2. 1. Теорія дійсних чисел
- •Порівняння дійсних чисел
- •Властивість транзитивності
- •Додавання дійсних чисел
- •Віднімання дійсних чисел.
- •Множення дійсних чисел
- •Частка двох дійсних чисел
- •Інші властивості дійсних чисел
- •2. 2. 2. Точні грані множини
- •2. 2. 3. Поняття підпослідовності. Теорема Больцано-Вейєрштрасса. Поняття часткової границі. Верхні і нижні границі, проблема їх існування
- •2. 2. 4. Критерій Коші збіжності послідовності
- •2. 3. Границя і неперервність функції
- •2. 3. 1. Гранична точка множини. Означення границі функції
- •2. 3. 2. Границя функції на нескінченності (випадок, коли )
- •2. 3. 3. Односторонні границі функції в точці
- •Перша цікава границя.
- •2. 3. 4. Означення неперервності функції в точці. Точки розриву функції та їх класифікація
- •2. 3. 5. Арифметичні операції над неперервними функціями
- •Одностороння неперервність функції в точці
- •2. 3. 6. Властивості неперервних функцій
- •Локальна властивість
- •2. Глобальні властивості
- •2. 3. 7. Обернена функція
- •2. 4. Показникова та логарифмічна функції і їх властивості
- •2. 4. 1. Степінь з раціональним показником. Показникова функція та її властивості
- •2. 4. 2. Логарифмічна функція
- •2. 4. 3. Загальностепенева функція і її властивості
- •2. 4. 4. Друга та інші цікаві границі
- •2. 4. 5. Гіперболічні функції та їх графіки
- •3. 1. Похідна та її обчислення
- •3. 1. 1. Поняття дотичної до кривої. Кутовий коефіцієнт дотичної
- •3. 1. 2. Диференційованість функції в точці. Зв’язок її з неперервністю і існуванням похідної
- •3. 1. 3. Правила диференціювання
- •3. 1. 4. Диференціал функції та його застосування
- •3. 1. 5. Похідні і диференціали вищих порядків
- •3. 1. 6. Параметрично задані функції і обчислення їх похідних
- •3. 1. 7. Теореми про середнє. І, іі правила Лопіталя. Критерій строгої монотонності функції
- •3. 2. Дослідження функції та побудова її графіку
- •3. 2. 1. Дослідження функції на екстремум
- •3. 2. 2. Дослідження функції диференційованої на відрізку на найбільше та найменше її значення на цьому ж відрізку
- •3. 2. 3. Опуклість і вгнутість графіка функції. Теорема про достатні умови опуклості, вгнутості функції на проміжку
- •3. 2. 4. Точки перегину графіка функції та їх відшукання
- •3. 2. 5. Асимптоти графіка функції
- •4. 1. Невизначений інтеграл
- •4. 1. 1. Первісна. Невизначений інтеграл
- •4. 1. 2. Заміна змінних у невизначеному інтегралі. Інтегрування за частинами
- •4. 2. Інтегрування різних класів функцій
- •4. 2. 1. Інтегрування раціональних функцій
- •4. 2. 2. Інтегрування деяких класів ірраціональних функцій
- •4. 2. 3. Інтегрування ірраціональних функцій з квадратним тричленом під квадратним коренем. Підстановки Ейлера
- •4. 2. 4. Підстановки Чебишева
- •4. 2. 5. Інтегрування тригонометричних функцій
- •4. 3. Інтеграл Рімана
- •4. 3. 1. Суми Дарбу. Їх властивості та означення інтеграла Рімана
- •4. 3. 2. Рівномірно-неперервні функції. Теорема Кантора
- •4. 3. 3. Друге означення інтеграла Рімана
- •4. 3. 4. Властивості інтеграла Рімана
- •4. 3. 5. Інтеграл із змінною верхньою межею. Його властивості
- •4. 3. 6. Формула Ньютона-Лейбніца (основна формула інтегрального числення). Інтегрування методом підстановки та за частинами
- •4. 4. Застосування інтеграла Рімана
- •4. 4. 1. Площа криволінійної трапеції
- •4. 4. 2. Площа криволінійного сектора.
- •4. 4. 3. Об’єм тіла обертання
- •4. 4. 4. Довжина дуги кривої
- •4. 4. 5. Площа поверхні обертання
- •4. 4. 6. Координати центра ваги матеріальної дуги та пластинки. Теореми Гульдена
3. 2. Дослідження функції та побудова її графіку
3. 2. 1. Дослідження функції на екстремум
Нехай маємо функцію , яка задана в деякому околі точки .
Означення 1. Точка називається точкою мінімуму функції, якщо існує окіл цієї точки такий, що із всіх значень, які приймає функція в цьому околі значення в точці найменше.
Тобто, інакше кажучи, якщо
Аналогічно вводиться і точка максимуму функції.
Нехай задана в .
Означення 2. Назвемо точкою максимуму функції, якщо існує окіл цієї точки такий, що із всіх значень, які приймає функція в ньому, значення в точці найбільше.
Тобто
Точки максимуму і мінімуму називаються точками екстремуму.
Як випливає із зауваження, зробленого після теореми Ферма, точки, в яких функція може набирати максимум чи мінімум слід шукати серед тих, в яких або не існує. Там також відмічено, що не в кожній такій точці, які ми будемо називати критичними, функція має екстремум (найбільше чи найменше значення).
Для з’ясування, в якій критичній точці буде екстремум і який, а в якій не буде, використовують наступне твердження
Теорема 1 (І достатні умови існування екстремуму).
Нехай функція диференційована в деякому проколотому околі критичної точки . Якщо при проходженні точки через точку зліва направо похідна змінює знак, то в цій точці функція має екстремум, а саме: мінімум, якщо похідна змінює знак з «-» на «+», і максимум – з «+» на «-». Якщо ж при проходженні через похідна не змінює знак, то екстремуму немає.
(Зауважимо, що критичні точки беруться з тих, де функція неперервна, тобто точку 0, для функції ми відносити до критичних не будемо).
Доведення.
Нехай для конкретності при проходженні через змінює знак з «-» на «+». Це означає, що знайдеться окіл точки такий, що
Візьмемо будь яке . Застосуємо до відрізка з кінцями теорему Лагранжа. Очевидно (врахувавши, що в критичній точці функція є неперервною за домовленістю) всі умови цієї теореми будуть виконуватися. Тоді , яка лежить між і і .
Можливі два варіанти: або , або .
В першому випадку матимемо:
Тоді отримаємо, що . Із останньої рівності, оскільки , одержуємо, що Отже .
В другому випадку:
Матимемо, що , а оскільки , то Тоді .
Другий випадок розглядається аналогічно. Пропонуємо зробити це самостійно. Залишається розглянути 3 частину. Якщо похідна, при проходженні через точку не змінює знак. Нехай і зліва і справа . А це означає. – зростаюча і на зростаюча. Це означає, що значення в точці буде більшим за значення цієї функції в будь-якій точці в лівому півоколі і меншим за будь-яке значення в правому півоколі. А це означає, що не є точкою екстремуму.
Теорема доведена.
Із всього сказаного вище, одержується наступне правило дослідження функції на екстремум.
Шукаємо похідну функції.
Знаходимо критичні точки нашої функції. (Для цього розв’язуємо рівняння і до його коренів приєднуємо точки, в яких похідної нема).
Наносимо на числову вісь всі критичні точки і точки розриву нашої функції.
В кожному із одержаних проміжків визначаємо знак похідної.
Дивлячись на зміну знаків похідної на основі попередньої теореми робимо висновок про наявність екстремуму і який він буде.
Приклад.
Дослідити на екстремум функцію
є її точкою мінімуму, а – точкою максимуму.
Це запишемо: