- •2 Определители матриц
- •4 Координаты на прямой в плоскости и пространстве.Оси,направленные отрезки.
- •5 Векторы. Линейные операции над векторами, разложение вектора по базису
- •Линейные операции над векторами
- •Базис и разложение по базису
- •Обозначения
- •6 Скалярное,векторное и смешанное произведение векторов.
- •18 Основные правила нахождения производной
- •19 Применение производной к нахождению нибольших и наименьших значений функций на отрезке.
- •20 Функции 2 переменных. Частные производные. Перестановочность частных производных.Линии уровня.Градиент.
- •Способы задания функции
- •Непрерывность функции двух переменных
- •Основные свойства непрерывных функций двух переменных
- •21 Пределы и непрерывность функций 2 переменных. Особые точки
- •Особые точки векторных полей на плоскости
- •22 Двойные интегралы. Мин и Макс значение функции 2 переменных в области
- •25 Разложение в степенные ряды основных элементарных функций.Формула Моавра.
- •26 Дифференциал функции.
- •27 Применение дифференциала
- •29 Таблица основных неопределённых интегралов.
- •35 Элементы комбинаторики-перестановки,размещения, сочетания
- •Размещения, перестановки, сочетания
- •Свойства чисел
- •Треугольник Паскаля
- •36 Понятие случайного события, вероятность события.
- •0 Ј p(a) ј 1
- •37 Основные правила нахождения вероятности события.38,39
- •40 Схема Бернулли. Формула Пуасова. Локальная и интегральные формулы Моавра-Лапласа
- •41 Функция распределения. Закон распределения.
- •42 Корреляция. Вычисление коэффицициентов корреляции.
25 Разложение в степенные ряды основных элементарных функций.Формула Моавра.
Из дифференциального исчисления известно, что если функция f(x) имеет в некоторой окрестности производные до порядка n включительно, то можно написать формулу Тейлора для этой функции. Положим при любом n = 1, 2,…
и Если
(1.1)
то ряд
сходится и его суммой будет функция f(x).
Определение 1.1. Представление функции f(x) в виде ряда
(1.2)
называется разложением этой функции в ряд Тейлора.
Определение 1.2. Разложение функции f(x) в ряд Тейлора при x0=0
(1.3)
называется разложением этой функции в ряд Маклорена.
Подчеркнем, что из сходимости ряда Тейлора для функции f(x) еще не следует его сходимость именно к этой функции, поэтому при разложении функции в ряд Тейлора следует проверять соблюдение условия (1.1).
Теорема 1.1. Пусть
(1.4) где стоящий справа ряд сходится в некотором отрезке к функцииf(x). Тогда этот ряд является рядом Тейлора, то есть
(1.5)
Доказательство. Применим к равенству (1.4) п раз теорему о почленном дифференцировании степенного ряда. Тогда получим
Если в этом тождестве положить x=x0 , то все слагаемые справа, кроме первого, обратятся в нуль и получим откуда и следует (1.5). Теорема доказана.
2. Разложение основных элементарных функций.
Теорема 2.1. Если функция f(x) определена и имеет производные сколь угодно высоких порядков и существует постоянная, такая, что при любых х и п удовлетворяет неравенству то функция f(x) разлагается в ряд Тейлора (1.2) при любом x0.
Приведем без доказательства следующие разложения элементарных функций в ряд Маклорена
это разложение имеет место при любом натуральном значении и любом значенииx, если число не является натуральным, то данное равенство справедливо лишь при –1<x<1;
Формула Муавра для комплексных чисел утверждает, что
для любого
Формула Муавра сразу следует из формулы Эйлера и тождества дляэкспонент , гдеb — целое число.[1]
Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n-ой степени из ненулевого комплексного числа:
где k = 0, 1, …, n—1.
Из основной теоремы алгебры следует, что корни n-й степени из комплексного числа всегда существуют, и их количество равно n. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в нуле.
26 Дифференциал функции.
Итак, график дифференцируемой функции в окрестности каждой своей точки сколь угодно близко приближается к графику касательной в силу равенства: где α – бесконечно малая в окрестностифункция. Для приближенного вычисления значения функции f в точке x0 + Δx эту бесконечно малую функцию можно отбросить:
Линейную функцию называют дифференциалом функции f в точкеи обозначают df. Для функции x производная в каждой точкеравна 1, то естьПоэтому пишут:
|
Приближенное значение функции вблизи точки равно сумме ее значения в этой точке и дифференциала в этой же точке. Это дает возможность записать производную следующим образом:
Часто эту запись используют, чтобы уточнить, по какой переменной дифференцируется функция.