- •Понятие матрицы.
- •Операции над матрицами.
- •Определители второго и третьего порядков и их свойства.
- •Понятие определителя n-го порядка.
- •Ранг матрицы.
- •Обратная матрица.
- •Собственные числа и собственные векторы матрицы.
- •Понятие о квадратичных формах и их преобразовании к каноническому виду.
- •Системы линейных уравнений.
- •Правило Крамера.
- •Метод Гаусса.
- •Матричный метод решения систем линейных уравнений
- •Теорема Кронекера-Капелли.
- •Системы линейных неравенств.
- •II семестр
- •Свойства неопределенного интеграла.
- •Метод замены переменной.
- •Формула интегрирования по частям.
- •Замена переменной в определенном интеграле.
- •Формула интегрирования по частям для определенного интеграла.
- •Применение определенного интеграла в экономике
- •Применение определенного интеграла для вычисления площадей фигур, длин дуг плоских кривых и объемов тел.
- •Приближенные методы вычисления определенных интегралов.
- •Несобственные интегралы.
-
Формула интегрирования по частям для определенного интеграла.
Если ф-ции u(x) и v(x) и их призводные u(x) и v (x) непрерывны в промежутке a x b ,то ф-ла интегрирования по частям для опред. интеграла имеет вид:
-
Применение определенного интеграла в экономике
Пусть функция z=f(t) описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени. Найдем объем продукции u, произведенной за промежуток времени [0,T].
Отметим, что если производительность не изменяется с течением времени (f(x)– const), то объем продукции Δu, произведенной за некоторый промежуток времени [t,t+Δt], задается ф-лой Δu=f(t)Δt. В общем случае справедливо приближенное равенство Δu=f(ξ)Δt, где ξ Є [t,t+Δt], которое оказывается тем более точным, чем меньше Δt.
Разобьем отрезок [0,T] на промежутки времени точками: 0=t0<t1<t2<…<tn=T. Для величины объема продукции ∆ui, произведенной за промежуток времени [ti-1, ti], имеем
∆ui=f(ξi)∆ti, где ξi Є [ti-1, ti], Δt=ti– ti-1, i= 1, 2, …, n. Тогда
.
При стремлении max Δti к нулю каждое из использованных приближенных равенств становится все более точным, поэтому.
Учитывая определение определенного интеграла, окончательно получаем
,
т.е. если f(t) – производительность труда в момент t, то есть объем выпускаемой продукции за промежуток [0,T].
Величина объема продукции, произведенной за промежуток времени [0,T], численно равна площади под графиком функции z=f(t), описывающей изменение производительности труда с течением времени, на промежутке [0,T] или .
-
Применение определенного интеграла для вычисления площадей фигур, длин дуг плоских кривых и объемов тел.
Прилож.№1: вычисление S-ей плоских фигур.
А) S фигуры в декартовой сис-ме корд-т; S криволин. трапеции:
♦ располож. выше оси ОХ (f(x)≥0, x€[a;b]): S=
♦ ниже ОХ (f(x)<0, x€[a;b]): S=−f(x)dx;
Б) Если плоская ф-ра опис-ся 2-мя кривыми(f2(x)≤f1(x)):
S=f1(x)dx−f2(x)dx;
(Если плоская ф-ра имеет сложную форму, то прямыми, ║оси ОУ, ее следует разбить на части так, чтобы м-но было применить известные формулы.)
В) Если криволин. трапеция ограничена прчмыми: у=с, у=d, х=0, у=φ(х)≥0, то удобнее рассмотреть дифф-л по у: S=f(x)dy;
Прилож.№2: криволин. трап. задана параметрически, т.е. трапеция ограничена прямыми t€[α;β] ; x=a; x=b; y=0 :
S=│y(t)·x'(t)dt │;
Прилож.№3: в полярной сис-ме координат. S фигуры, огранич. непрерывной линией r=r(φ) и 2-мя лучами φ=α, φ=β (при α<β), где r ,φ− полярные координаты. (Зная угол и радиус, определяется точное положение точки на плоскости) : S=½r2(φ)dφ;
-
Приближенные методы вычисления определенных интегралов.
-
Несобственные интегралы.
Опред. нтеграл от а до в ф-ии f(x), где промежуток интегрирования конечен (отрезок), называется собственным интегралом (f(x) непрерывна на [а,в]
Несобственный интеграл-опред. интеграл от непрерыв. ф-ии ,но с бесконечным промежутком интегрирования,или опред. интеграл с конечным промежутком интегрирования, но подинтегр.ф-ия имеет на нем бесконечный разрыв.
Пусть ф-ия f(x) непрерывна на интервале [а,+∞),если сущ-т конечный предел при в+∞,
в
то lim ∫f(x)dх (при в+∞)– несобств. интеграл первого рода
а
+∞ в
∫ f(x)dх= lim ∫f(x)dх (при в+∞)
а а
Если такой предел сущ-т, то говорят, что интеграл сходится,если нет-расход.
Аналогично вводится понятие несобст.инт. от (-∞,в]
-
Определение двойного интеграла.
-
Геометрический смысл двойного интеграла.
-
Сведение двойного интеграла к повторному.
-
Тройной интеграл.
-
Приложения кратных интегралов.
-
Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
-
Задача Коши.
-
Теорема существования и единственности решения.
-
Составление дифференциального уравнения первого порядка.
-
Модели экономической динамики.
-
Дифференциальные уравнения первого порядка.
-
Методы интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка.
-
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
-
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
-
Однородные и неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
-
Метод Лагранжа вариации произвольной постоянной.
-
Системы линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.
-
Понятие числового ряда.
-
Сходимость числового ряда.
-
Простейшие свойства сходящихся рядов.
-
Необходимое условие сходимости числового ряда.
-
Признаки сходимости рядов с положительными членами.
-
Знакопеременные ряды.
-
Абсолютная и условная сходимость.
-
Знакочередующиеся ряды.
-
Признак Лейбница.
-
Функциональные ряды.
-
Степенные ряды.
-
Теорема Абеля.
-
Область и интервал сходимости степенного ряда.
-
Ряды Тейлора и Маклорена.
-
Разложение элементарных функций в степенные ряды.
-
Применение рядов к приближенным вычислениям.
-
Ряды Фурье.
-
Разложение функций в ряды Фурье.