- •Понятие матрицы.
- •Операции над матрицами.
- •Определители второго и третьего порядков и их свойства.
- •Понятие определителя n-го порядка.
- •Ранг матрицы.
- •Обратная матрица.
- •Собственные числа и собственные векторы матрицы.
- •Понятие о квадратичных формах и их преобразовании к каноническому виду.
- •Системы линейных уравнений.
- •Правило Крамера.
- •Метод Гаусса.
- •Матричный метод решения систем линейных уравнений
- •Теорема Кронекера-Капелли.
- •Системы линейных неравенств.
- •II семестр
- •Свойства неопределенного интеграла.
- •Метод замены переменной.
- •Формула интегрирования по частям.
- •Замена переменной в определенном интеграле.
- •Формула интегрирования по частям для определенного интеграла.
- •Применение определенного интеграла в экономике
- •Применение определенного интеграла для вычисления площадей фигур, длин дуг плоских кривых и объемов тел.
- •Приближенные методы вычисления определенных интегралов.
- •Несобственные интегралы.
II семестр
-
Функции нескольких переменных.
-
Множества уровней.
-
Однородные функции.
-
Выпуклые и вогнутые функции.
-
Производственные функции.
-
Линии изоквант и изокост.
-
Предел функции в точке.
-
Непрерывность.
-
Свойства непрерывных функций.
-
Частные производные.
-
Примеры применения частных производных в экономике.
-
Дифференцируемость функции нескольких переменных.
-
Градиент функции и его свойства.
-
Производная функции по направлению.
-
Неявные функции.
-
Экстремумы функций нескольких переменных.
-
Необходимое условие экстремума.
-
Достаточные условия экстремума.
-
Задачи на условный экстремум.
-
Наибольшее и наименьшее значения функции.
-
Выравнивание эмпирических зависимостей.
-
Метод наименьших квадратов.
-
Первообразная функции и неопределенный интеграл.
Функция F(x) наз-ся первообразной ф-ции f(x) на определенном интервале, если F'(x)=f(x) или dF(x)=f(x)dx. Основная теорема интегрирования:
Если ф-ция f(x), определенная на интервале x , имеет 1 первообразную F(x), то она имеет бесконечное число первообразных, все они описываются выр-ем F(x)+c, где c-const. Док-во: По опр-ю F'(x)=f(x), (F(x)+c)'=F'(x)+(c)'=f(x). Докажем, что F(x)+c описывает все первообразные ф-ции f(x). Возьмем F1(x)- первообразная.Докажем, что (F1(x)-F(x))-есть константа. Обозначим F1(x)-F(x)=r(x). Исследуем r'(x)= (F1(x)-F(x))'=F1'(x)-F'(x), т.к. F1 и F - первообр. ф-ции f(x), то r'(x)=f(x)-f(x)≡0(≡ - это для любого x). Пусть x1 и x2 принадлежат X. Применим ф-лу Лагранжа для x1 и x2. Пусть x1 < x2, тогда r(x2)-r(x1)=r'(*(x2 - x1), где r'()=0, х1<<х2. Значит r(x2)-r(x1)=0, значит r(x2)=r(x1), для разных аргументов ф-ция принимает равные значения, то ф-ция r(x) постоянна по опред-ю, значит r(x) - константа и F'(x)=F(x)+c. Ч.Т.Д. Неопределенный интеграл - совокупность всех первообразных для ф-ции f(x) на интервале X. f(x)dx=F(x)+c f(x)-подинтегральная ф-ция, f(x)dx- подинтегральное выражение.
-
Свойства неопределенного интеграла.
1) дифференциал от неопред-го интеграла = подынтегральному выраж-ю d(∫f(x)dx)=f(x)dx.
ДОК-ВО: в самом деле по ф-ле ∫f(x)dx=F(x)+C:
d(∫f(x)dx)=d(F(x)+C)=d(F(x))=f(x)dx.
2) неопред-й интергал от дифференциала некот. фун-и U(x) = самой этой фун-и + некот. константа.
∫dU(x)=U(x)+C.
ДОК-ВО: в кач-ве первообразной можно взять U(x). Согласно теореме интеграл = тогда U(x)+C.
3) неопред-й интеграл от алгебраич. выраж-я = алгебраич. сумме интегралов от слагаемых.
∫(f(x)+φ(х)-ψ(х))dx=∫f(x)dx+∫φ(х)dx-∫ψ(x)dx
ДОК-ВО: для того, чтобы док-ть данное рав-во надо док-ть рав-во двух бесконечных множеств фун-й. Пусть а – бесконечное множество фун-й левой части; в - -//-//- правой части. Множ-во а есть множ-во всех фун-й, дифференциал кот-х равен (f(x)+φ(x)+ψ(x))dx. Множ-во в – это множ-во всех фун-й, дифференциал кот-х равен f(x)dx+φ(x)dx-ψ(x)dx. Т.к. f(x)dx+φ(x)dx-ψ(x)dx=f(x)dx. => множ-во а и в равны, т.к. состоят из одних и тех же фун-й.
4) постоянный множитель можно выносить из под знака интеграла.
∫аf(x)dx=а∫f(x)dx
ДОК-ВО: для того, чтобы док-ть рав-во, достаточно проверить, что производные от его левой и правой частей совпадают. Диф-я левую и правую части получаем: ( ∫ аf(x)dx )′ = af(x) и (a∫f(x)dx+C)′ = a( ∫ f(x)dx)′ + (C)′ = af(x). А это значит рав-во справедливо.
5) если интеграл фун-и f(x)dx=F(x)+C, то ∫f(u)du=F(u)+C, где u – яв-ся некот. фун-ей от х.