rozrohunkova_mat

11. Бетонна опора об’єму V = 20 має форму трикутної піраміди, три вершини якої знаходяться в точках А(1; 1; -1 ), В (2; 0; 1), С(1; —1; 3). Знайти координати її вершини Д якщо відомо, що вона лежить на осі Оу, а також висоту опори.

12. При якому значенні а вектори а = —2 і + у +3 к , Ь = ] —к , с = і + а ^ +2 к будуть компланарними?

13.Трикутник АВС задано координатами своїх вершин А(1; 6 ), В (9; 2), С(9; 11). Написати:

а) рівняння сторони (АВ)', б) рівняння висоти (СО) і обчислити її довжину;

в) рівняння бісектрис внутрішнього і зовнішнього кутів при вершині А; г) знайти кут ір між висотою (СО) і медіаною (ВМ).

14.Промінь прожектора, розміщеного в точці А(1; 3), падає на дзеркальну поверхню вітрини під кутом 45°. Яку точку вітрини він освітлює, якщо вітрина розміщена вздовж прямої х + у —1 = 0 .

ти кут між отриманою прямою та прямою х = 2і —1, у — Зі + 1, г = і —3 і координати їх точки перетину.

закріплення стрижня в стіні.

17.Знайти півосі, фокуси, ексцентриситет, рівняння директрис та асимптот гіперболи, якщо її рівняння х2 —16у2 — 16. Зробити рисунок.

18.Обчислити фокальний радіус точки М параболи у2 — 12ж, якщо ордината точки

Мдорівнює 6 .

19.Знайти сім’ї твірних для поверхні:

г= 25ж2 —4у2.

43

Варіант 13

5. При яких значеннях параметрів а та Ь система

х + 4у —5г = Ь,

{ах —2у —1 0 г = 2 ,

6 і —Ьу = 1

а) має єдиний розв’язок; б) має безліч розв’язків;

в) не має жодного розв’язку?

У випадку єдиного розв’язку розв’язати систему за правилом Крамера та матричним способом при а = 13,6 = 0 .

8 . Дано дві точки А і В, які є кінцями балки. Знайти проекцію цієї балки на вісь, що утворює з координатними осями Ох, Ог кути си, 7 , а з віссю Оу - тупий кут, якщо А(1; 0; -3 ), В(4; 5; 7), а = 60°, 7 = 120°.

44

10.Показати, що земельна ділянка з вершинами у точках А, В , С, £> має форму ромба. Знайти гострий кут та площу цієї ділянки, якщо А ( - 6 ; - 1 ) ,В ( - 4 ; -4 ),С (~ 1 ; - 6 ), £)(—3; -3 ).

11.Бетонна опора об'єму V 25 має форму трикутної піраміди, три вершини якої знаходяться в точках А(1; 2; 1 ), В (2 ; 1 ; 3), С(1; 0 ; 5). Знайти координати її вершини Д якщо відомо, що вона лежить на осі Оу. а також висоту опори.

13.Трикутник АВС задано координатами своїх вершин А(1; —3), В (—3; 4), С (2; 2). Написати:

а) рівняння сторони (АВ)-, б) рівняння висоти (СО) і обчислити її довжину;

в) рівняння бісектрис внутрішнього і зовнішнього кутів при вершині А; г) знайти кут ір між висотою (СО) і медіаною (ВМ).

14.Дві сторони квадратної ділянки проходять вздовж прямих 5х —12у —65 = 0 та 5а: — 12у + 26 = 0. Обчислити площу цієї ділянки.

15.Скласти канонічні та параметричні рівняння прямої, що проходить через точки Мі(3; 2; —5) та М2 (—1; 4; 6 ). Знайти їх напрямні косинуси та точки перетину з коорди­ натними площинами. Написати рівняння прямої, яка проходить через точку Мі і утворює з осями координат кути а = 120°, /3 = 45°, 7 = 60°. Записати рівняння площини, що проходить через вищеописані прямі.

16.Електричний кабель закріплений у двох точках А(-5; 3; 2) та В (4; -6 ; 7). Записати канонічні та параметричні рівняння осі кабелю.

17.Знайти півосі, фокуси, ексцентриситет, рівняння директрис та асимптот гіперболи, якщо її рівняння ж2 — 4у2 = 16. Зробити рисунок.

18.На еліпсі Ох2 + 25у2 = 225 знайти таку точку, відстань від якої до фокуса Р2 в чотири рази більша від відстані до фокуса Р і.

19.Знайти сім’ї твірних для поверхні:

2 = —ж2 + 9у2.

45

Варіант 14

а) має єдиний розв’язок;

б) має безліч розв’язків; в) не має жодного розв’язку?

У випадку єдиного розв’язку розв’язати систему за правилом Крамера та матричним способом при о = 14, Ь = 0.

6 . Розв’язати методом Гаусса систему рівнянь

х + у —2 —Зі = 4 ,

І2 ж + Зу + 2 = 0 ,

—х —у + 9і = 1,

7. Нехай К І М - середини сторін ВС і СИ паралелограма АВСИ, АК —а, ААІ —Ь. 11х + 15у + 32 - 21* = 0.

Розкласти вектори В І) і А±> за векторами о та Ь.

8 . Дано дві точки А і В, які є кінцями балки. Знайти проекцію цієї балки на вісь, що утворює з координатними осями Ох, Огкути а, 7 , а з віссю Оу - тупий кут, якщо А(3; 5; —9),

В (2; - 1 ; 5), а = 60°, 7 = 60°.

9. Знайти косинус кута між діагоналями паралелограма А ВС Б , якщо АЙ = 4а + Ь- с, а З = а + 6 + с, де а, Ь, с - одиничні, попарно перпендикулярні вектори.

46

10. Показати, що земельна ділянка з вершинами у точках А, В , С, И має форму ромба. Знайти гострий кут та площу цієї ділянки, якщо А(0; 5), В [2; 2), С (5; 0), 0(3; 3).

11.Бетонна опора об’єму V = 30 має форму трикутної піраміди,три вершини якої

=і + + а /с будуть компланарними?

13.Трикутник АВС задано координатами своїх вершин А(6 ; 1), В(2; —2), С(1; 2). Написати:

а) рівняння сторони ('АВУ); б) рівняння висоти (СО) і обчислити її довжину;

в) рівняння бісектрис внутрішнього і зовнішнього кутів при вершині А; г) знайти кут <р між висотою (СО) і медіаною (ВМ).

14.Тераса має форму квадрата, дві вершини якого суміжні зі стіною будинку і розмі­

щені в точках А(2; 0), В(-1; 4). Записати рівняння сторін тераси.

15. Написати канонічні та параметричні рівняння прямої

Скласти канонічні рівняння прямої, що проходить через точку Мі (2; —1 ; 3) паралельно до отриманої. Знайти відстань між цими прямими. Записати рівняння площини, яка проходить через точку Мі перпендикулярно до прямої, що проходить через цю точку.

16. Поверхня стадіону є площиною, що проходить через точки Мі(1; —1; 3), М2 (4; —5; 3). Знайти відстань від вершини М (—8 ; 5; 9)флагштока до лінії розмітки, що проходить через точки Мі та Мі -

17. Знайти півосі, фокуси, ексцентриситет, рівняння директрис та асимптот гіперболи, якщо її рівняння х2 —у2 — 1. Зробити рисунок.

X2 у2

18. Знайти відстань від фокуса гіперболи —------ — = 1 до її асимптот та кут між асимптотами гіперболи.

19.Знайти сім’ї твірних для поверхні:

х= —9у2 + 4г2.

47

Варіант 15

1. Знайти всі можливі добутки таких матриць

5. При яких значеннях параметрів а та Ь система

!Зх + 5у —аг = —8 ,

2х + 5у - 7 г = Ь—х + 9г = 8 ,

а) має єдиний розв’язок; б) має безліч розв’язків;

в) не має жодного розв’язку?

У випадку єдиного розв’язку розв’язати систему за правилом Крамера та матричним способом при а = 15, Ь = 0.

6 . Розв’язати методом Гаусса систему рівнянь

х —у —Зг —і = 0 ,

Зх + у —9ї = 4, -2 х + 2 г —£ = —1 ,

- 9 г - Зу + 2г - Зі = 5.

7. Нехай АВСВЕР - правильний шестикутник, б? - його центр. Розкласти вектори р З , а Д в і ї за векторами <ЗА = а та ОЙ = Ь.

8 . Дано дві точки А і В, які є кінцями балки. Знайти проекцію цієї балки на вісь, що утворює з координатними осями Ох, Ог кути а, 7 , а з віссю Оу - туний кут, якщо А(6 ; 7; 2 ),

В (4; - 1 ; 0), а = 90°, 7 = 150°.

48

9. Знайти косинус кута між діагоналями паралелограма А В С Б , якщо АВ = -Зо + +46 - 2с, А.З = 5а - Ь+ с, де а, Ь, с - одиничні, попарно перпендикулярні вектори.

10. Показати, що земельна ділянка з вершинами у точках А, В, С, О має форму паралелограма. Знайти гострий кут та площу цієї ділянки, якщо А (-3; -3 ), В (-1 ;0 ),

С ( - 2 ; - 2 ), Л(0;1).

11. Бетонна опора об’єму V = 35 має форму трикутної піраміди, три вершини якої знаходяться в точках А(2; 0 ; - 1 ), В (3; - 1 ; 1), <7(2; - 2 ; 3). Знайти координати її вершини В, якщо відомо, що вона лежить на осі Оу, а також висоту опори.

13.Трикутник АВС задано координатами своїх вершин А(—1; 1), В(3; 1), (7(7; 6 ). Написати:

а) рівняння сторони (АВ); б) рівняння висоти (СО) і обчислити її довжину;

в) рівняння бісектрис внутрішнього і зовнішнього кутів при вершині А; г) знайти кут ір між висотою (СО) і медіаною (ВМ).

14.Дві дороги проходять вздовж прямих Зг - у + 2 = 0 та 2х + у - 1 = 0. Під яким кутом і у якій точці вони перетинаються?

15.Скласти канонічні та параметричні рівняння прямої, що проходить через точку Мі(3; —2; 4) і утворює з осями Оу і Ог кути /3 = 30° та у —60°. Через точку М і(—4; 5; 6 ) побудувати пряму, перпендикулярну до вищеотриманої і написати її рівняння. Записати рівняння площини, що проходить через початок координат та точки М, та М2.

17.Знайти півосі, фокуси, ексцентриситет, рівняння директрис та асимптот гіперболи, якщо її рівняння 9ж2 —64у2 — 1 . Зробити рисунок.

18.Написати канонічне рівняння еліпса, фокуси якого лежать на осі абсцис, симет­ рично відносно початку координат, знаючи, що його мала вісь дорівнює 6 , а відстань між директрисами дорівнює 13.

19.Дослідити форму і побудувати поверхню, задану рівнянням х2.+ у2 - хг = -1 .

49

Варіант 16

1. Знайти всі можливі добутки таких матриць

5. При яких значеннях параметрів а та Ь система

І5 х + у —аг = - 6 ,

х —4у + 9г = 6Зх + у —4г = Ь,

а) мав єдиний розв’язок; б) має безліч розв’язків;

в) не має жодного розв’язку?

У випадку єдиного розв’язку розв’язати систему за правилом Крамера та матричним способом при а = 16, Ь = 0.

6 . Розв’язати методом Гаусса систему рівнянь

Г - х + у —2 + 21 = З, | Зх —у + 2г —0,

5х + 2у - і = 4, 2х —Зу + 4г + 5< = 1 .

7. Сторона ВС трикутника АВС розділена на 5 рівних частин і всі точки поділу 23х, Г>2, Д), Лі з ’єднані з вершиною А. Розкласти вектори 0 2 А, Д3Д, ЇЛ^І за векторами

АЙ = с і в д = г.

8 . Дано дві точки А і 5, які є кінцями балки. Знайти проекцію цієї балки на вісь, Що утворює з координатними осями Ох, Ог кути а, 7 , а з віссю Оу - тупий кут, якщо А(2; - 1 ; л/2), В(4; -7 ; 0), а = 1 2 0 ", 7 = 45°.

50

»•>-

9. Знайти кут між одиничними векторами р та ц, якщо відомо, що вектори а = р + 2д, 6 = 5р - 4д взаємно перпендикулярні.

10.Показати, що земельна ділянка з вершинами у точках А, В, С, В має форму ромба.

Знайти гострий кут та площу цієї ділянки, якщо А (-4; -2 ), В (-2 ; -5 ), С ( 1; -7 ), £ )( -1 ;-4 ).

1 1 . Бетонна опора об’єму V = 40 має форму трикутної піраміди, три вершини якої зна­ ходяться в точках А(5; - 2 ; —1), В (6 ; —3; 1), С(7; —1; 0). Знайти координати її вершини О,якщо відомо, що вона лежить на осі Оу, а також висоту опори.

12. При якому значенні а вектори а = і +36 ] + 6 к , Ь = —і + 2 } , с —а і +5 к не будуть компланарними?

13.Трикутник АВС задано координатами своїх вершин А(0; -2 ), В (2; 2), (7(-3; 0).

Написати:

а) рівняння сторони (АВ)\ б) рівняння висоти (СП) і обчислити її довжину;

в) рівняння бісектрис внутрішнього і зовнішнього кутів при вершині А; г) знайти кут ір між висотою (СВ) і медіаною (ВМ).

14.Відновити межі квадратної ділянки землі АВСВ за трьома збереженими мітка­ ми: одній у центрі ділянки і двома кутовими мітками - на протилежних межах. Скласти рівняння меж ділянки, якщо координати міток: М (2; 4) - в центрі, А(-1; 1), В (5; 1) - на протилежних межах.

15.Знайти рівняння прямої, що проходить через початок координат та середину від­ різка [АВ], якщо А(2; 1; 3), В (—1; 3; 4). До цієї прямої через точку <7(4; 5; —3) побудувати паралельну пряму. Знайти відстань між цими прямими. Записати рівняння площини, що проходить: а) через отримані прямі; б) через точки А, В та С.

16.Крокви даху утворюють тупий кут. Знайти цей кут, якщо рівняння осей крокв

якщо її рівняння — ——г = —1. Зробити рисунок. 1о 25

18.Знайти точки перетину асимптот гіперболи х2 - 3у2 = 12 з колом, що має центр у правому фокусі гіперболи та проходить через початок координат.

19.Знайти сім’ї твірних для поверхні:

у— 9г2 —81х2.

51