Розрахункова_дифрівняння
.pdfМIНIСТЕРСТВО ОСВIТИ I НАУКИ УКРАˆНИ
НАЦIОНАЛЬНИЙ УНIВЕРСИТЕТЛЬВIВСЬКА ПОЛIТЕХНIКА
ЗАВДАННЯ ДО РОЗРАХУНКОВОˆ РОБОТИ
з курсу Диференцiальнi рiвняння
для студентiв iнженерно-технiчних спецiальностей
Ëüâiâ 2013
2
Укладачi: Каленюк П.I., д-р фiз.-мат. наук, проф., Iлькiв В.С., д-р фiз.-мат. наук, проф., Нитребич З.М., канд. фiз.-мат. наук, доц., Сохан П.Л., канд. фiз.-мат. наук, доц., Пукач П.Я., канд. фiз.-мат. наук, доц.
Iндивiдуальнi завдання |
3 |
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РОЗРАХУНКОВА ЧАСТИНА
Завдання 1 . Знайти загальний iнтеграл рiвняння:
1.1.4x dx − 3y dy = 3x2y dy − 2xy2dx;
1.2.x√1 + y2 + yy′√1 + x2 = 0;
√
1.3.4 + y2dx − y dy = x2y dy;
√
1.4.3 + y2dx − y dy = x2y dy;
1.5.6x dx − 6y dy = 2x2y dy − 3xy2dx;
√√
1.6. x 3 + y2dx + y 2 + x2dy = 0;
1.7. y(1 + ln y) + xy′ = 0;
√
1 − x2
1.8.yy′ 1 − y2 + 1 = 0;
1.9.6x dx − 6y dy = 3x2y dy − 2xy2dx;
√√
1.10. x 5 + y2dx + y 4 + x2dy = 0;
1.11.y (4 + ex) dy = exdx;
√ ( )
1.12.4 − x2y′ + x y2 + 1 = 0;
1.13.2x dx − 2y dy = x2y dy − 2xy2dx;
√√
1.14. x 4 + y2dx + y 1 + x2dy = 0;
1.15.(ex + 8) dy = yexdx;
1.16.6x dx − y dy = x2y dy − 3xy2dx;
√
1.17.5 + y2 + y′y = 0;
1.18.y ln y + xy′ = 0;
1.19.(1 + ex) y′ = yex;
√
1.20.1 − x2 y′ + xy2 + x = 0;
1.21.6x dx − 2y dy = 2x2y dy − 3xy2dx;
4 |
Iндивiдуальнi завдання |
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() ( )
1.22.y x2 − 1 dx + x y2 + 1 dy = 0;
1.23.(3 + ex) yy′ = ex;
√√
1.24.3 + y2 + 1 − x2yy′ = 0;
1.25.x dx − y dy = x2y dy − xy2dx;
√( )
1.26.5 + y2dx + 4y x2 + 1 dy = 0.
Завдання 2 . Знайти розв'язок задачi Кошi:
2.1. y′ = 2 + y2; y(1) = 2;
2.2.yy′ = −2x; y(0) = 5;
2.3.y′ = (y − 1)x; y(1) = 32;
2.4.y′ = 23xy ; y(1) = 1;
2.5.yy′ + x = 0; y(−2) = −3;
2.6. |
y′ |
= 3 + y2; y(1) = 2; |
2.7. |
y′ |
(x2 + 2) = y; y(2) = 2; |
2.8.y′ = xy; y(0) = −1;
2.9.yy′ = −12 x; y(4) = 2;
2.10.3xy′ = 2y; y(1) = 3;
2.11.3yy′ = x; y(−3) = −2;
2 |
; y(1) = 3; |
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2.12. y′ = 3y 3 |
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2.13. y′ = x(y − 1); y(1) = |
1 |
; |
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|||
2 |
2.14. yy′ = −x; y(2) = 3;
2.15. y′ = 2 + y2; y(1) = 2;
2.16.y′ = (y − 1)x; y(1) = 32;
2.17.yy′ = −2x; y(0) = 5;
2.18.y′ = 3xy ; y(1) = 1;
2.19.yy′ + x = 0; y(−2) = −3;
2.20. y′ = 3 + y2; y(1) = 2;
()
2.21.y′ x2 + 2 = y; y(2) = 2;
2.22.y′ = xy; y(0) = −1;
2 |
y(1) = 3; |
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||||
2.23. y′ = 3y 3 ; |
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|||||
2.24. 3xy′ = 2y; |
y(1) = 3; |
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|||||
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2.25. y′ = y ctg x; |
y ( |
|
) = 1; |
||||
2 |
|||||||
2.26. 3yy′ = x; |
y( |
− |
3) = |
− |
2. |
||
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Завдання 3 . Знайти загальний iнтеграл рiвняння:
3.1. y′ = |
y2 |
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y |
3.2. xy′ = |
3y3 |
+ 2yx2 |
||
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+ 4 |
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+ 2; |
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||
x2 |
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2y2 + x2 ; |
||||||
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x |
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Iндивiдуальнi завдання |
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3.3. y′ = |
x + y |
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; |
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3.15. y′ |
= |
x2 + 2xy − y2 |
; |
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x − y |
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2x2 − 2xy |
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√ |
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y |
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y |
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3.4. xy′ |
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√ |
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= x2 + y2 + y; |
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3.16. xy′ = 3 |
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x2 + y2 + y; |
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3.5. 2y′ |
= |
y |
2 |
+ 6 |
y |
+ 3; |
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3.17. 2y′ = |
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2 |
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+ 8 |
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+ 8; |
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x2 |
x |
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x2 |
x |
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3.6. xy′ |
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= |
|
3y3 + 4yx2 |
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3.18. xy′ = |
|
3y3 + 10yx2 |
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2y2 + 2x2 ; |
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2y2 + 5x2 ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.7. y′ = |
x + 2y |
; |
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3.19. y′ |
= |
x2 + 3xy − y2 |
; |
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− |
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2x |
y |
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3x2 |
− |
2xy |
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3.8. xy′ |
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3y |
3 |
+ 6yx |
2 |
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3.20. xy′ = 3 |
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= |
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2x2 + y2 + y; |
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y2 + 3x2 ; |
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y2 √ |
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x22+ xy |
− |
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y2 |
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3.21. y′ |
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y |
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3.9. y′ = |
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; |
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= |
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+ 8 |
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+ 12; |
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2 |
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x2 |
x |
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2x |
− 2xy |
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y√ |
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y |
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3.23. y′ |
= |
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− |
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; |
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= 22 |
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2 |
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2 |
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3.22. |
(2 |
xy2 + 6x3 |
y = 3y3 + 12yx2; |
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3.10. xy′ |
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x |
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+ y |
|
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+ y; |
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x2 + xy) |
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′ 3y2 |
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3.11. 3y′ |
= |
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+ 8 |
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|
+ 4; |
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x2 − 4xy |
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x2 |
x |
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3.12. xy′ |
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y√ |
2x |
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y |
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+ y; |
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3.25. |
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′ = y√2 |
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; |
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y |
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= |
2 |
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+ y |
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2 |
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2 |
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3.24. xy |
|
|
2 |
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3x2 |
+ y2 + y; |
||||||||||||||||||
3.13. y′ |
|
= |
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+ 6 |
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+ 6; |
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4y′ = |
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+ 10 |
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+ 5 |
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x |
2 |
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2 |
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x |
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x |
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3 |
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x |
2 |
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||||||||||||
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|
( |
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) |
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3.26. xy′ = |
|
3y |
+ 14yx |
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3.14. y′ |
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|
2xy2 + 4x3 |
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= 3y3 + 8yx2; |
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|
2y2 + 7x2 . |
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Завдання 4 . Знайти розв'язок задачi Кошi: |
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4.1. xy′ |
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= xey=x + y; |
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y(1) = 0; |
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4.2. xy′ |
|
= y + x tg |
y |
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; |
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y(1) = |
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; |
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x |
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2 |
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||||||
4.3. y′ = 4 + |
y |
+ |
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y2 |
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; |
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y(1) = 2; |
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x |
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x2 |
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|||||||||
4.4. x2 − y2 + 2xyy′ = 0; y(−1) = 1; |
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4.5. (xy′ − y) arctg |
y |
|
|
= x; |
y(1) = 0; |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.6. y2 |
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3x2 |
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dy + 2xydx = 0; |
y(0) = 1; |
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( |
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−y2 |
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)2xy |
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x2 |
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4.7. y′ = |
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− |
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− |
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; y(1) = |
− |
1; |
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||||||||||||
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y2 + 2xy − x2 |
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4.8. y |
− |
xy′ = 2 (x + yy′) ; |
y(1) = 1; |
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4.9. (x4 + 6x2y2 + y4)dx + 4xy (x2 + y2)dy = 0; y(1) = 0;
6 |
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Iндивiдуальнi завдання |
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|||||||||||||
4.10. xdy − ydx = √ |
|
|
dx; |
|
|
y(−3) = 4; |
|||||||||||||||||
x2 + y2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
4.11. (x − y)dx + xdy = 0; |
y(1) = 0; |
||||||||||||||||||||||
4.12. (8y + 10x)dx + (5y + 7x)dy = 0; y(−1) = 3; |
|||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
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|
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|
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|
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|
|
4.13. (x2 |
+ y |
)2 dx = 2xydy; |
|
y(4) = 0; |
|||||||||||||||||||
4.14. (x |
− 3y )dx + 2xydy = 0; |
|
y(2) = 1; |
||||||||||||||||||||
4.15. (x + y)dx + xdy = 0; |
y(1) = 2; |
||||||||||||||||||||||
4.16. (2√ |
|
|
− y)dx + xdy = 0; |
|
y(1) = 0; |
||||||||||||||||||
xy |
|
||||||||||||||||||||||
4.17. (y − x)dx + (y + x)dy = 0; |
|
y(2) = 1; |
|||||||||||||||||||||
4.18. (2x |
− |
y) y′ = x + 2y; |
y(1) = 0; |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||
4.19. xy′ |
= y ln y |
− |
y ln x; y(1) = e; |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4.20. (√ |
|
− x)dy + ydx = 0; |
|
y(1) = 1; |
|||||||||||||||||||
xy |
|
||||||||||||||||||||||
4.21. ydx − (x + y)dy = 0; |
y(1) = 1; |
||||||||||||||||||||||
4.22. xy2′ |
− y =22√ |
|
; |
|
|||||||||||||||||||
x2 + y2 |
2 y(3) = 4; |
||||||||||||||||||||||
4.23. 3x y′ |
= y |
+ 8xy + 4x ; |
|
y( |
|
1) = 5; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= ( |
|
|
|
|
2 ) |
|
|
|
|
|
|
− |
|||||
4.24. xy2dy |
x3 |
+ |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
y3 |
dx; |
|
y(1) = 2; |
|||||||||||||||
4.25. 2x(x |
− |
y)y′ |
= x |
+ xy |
− |
y ; |
y(1) = 1; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||
4.26. (x + 2y)y′ |
= y − 2x; |
y(1) = 1. |
Завдання 5 . Знайти загальний розв'язок рiвняння:
5.1.y′ + y = x + 1 ex; x x
y2 ln x
5.2.y′ − x = − x ;
5.3.y′ − xy = −12x3 ;
5.4.y′ + 2xy = x2;
5.5.y′ − y cos x = sin 2x;
5.6.y′ − xy = −x22 ;
5.7.y′ + xy = 3x;
5.8. y′ − |
2xy |
= 1 + x2; |
1 + x2 |
Iндивiдуальнi завдання |
7 |
|
|
5.9. y′ + 1 − 2xy = 1; x2
5.10.y′ + 3xy = x23 ;
5.11.y′ + 2xy = −2x3;
5.12. y′ + |
|
xy |
|
= |
x |
; |
||
|
|
|
|
|
||||
|
2 (1 − x2) 2 |
|||||||
5.13. y′ + xy = −x3; |
||||||||
5.14. y′ + |
|
2y |
= ex(1 + x)2; |
|||||
|
|
|
||||||
x + 1 |
||||||||
|
|
|
|
|
||||
5.15. y′ + 2xy = xe−x2 sin x; |
||||||||
5.16. y′ − |
2y |
= (1 + x)3; |
||||||
|
|
|||||||
x + 1 |
5.17. y′ − y cos x = − sin 2x;
5.18.y′ + y cos x = 12 sin 2x;
5.19.y′ − y ctg x = 2x sin x;
5.20.y′ − xy = x2;
5.21.y′ + y tg x = sin2 x;
5.22.y′ − x +y 2 = x2 + 2x;
5.23.y′ − xy = x sin x;
5.24.y′ − xy = x cos x;
5.25.y′ + 2yx = x2;
2x
5.26. y′ + 1 + x2 y =
Завдання 6 . Знайти розв'язок задачi Кошi:
6.1. y′ − |
y |
= x2; y(1) = 0; |
|
|
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|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||
x |
( |
2 ) |
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||
|
′ − |
|
|
|
|
ctg |
|
|
|
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|||||||||||||||
6.2. y |
|
|
y |
|
|
|
x |
|
|
|
2x sin x; |
y |
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
6.3. y′ + y cos x = |
|
|
sin 2x; |
y(0) = 0; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
6.4. y |
|
|
y tg x = cos2 x; |
y |
|
|
= |
1 |
; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
′ + |
|
|
|
|
y |
|
|
= x2 + 2x; |
(4 ) |
2 |
3 |
|
|
||||||||||||||||||||
6.5. y′ − |
|
|
|
|
|
|
|
|
y(−1) = |
|
|
|
; |
|||||||||||||||||||||
x + 2 |
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
6.6. y′ − |
|
|
y |
|
|
= ex(x + 1); |
|
y(0) = 1; |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
x + 1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6.7. y′ − |
|
|
= x sin x; y ( |
|
|
) = 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
6.8. y′ − y cos x = sin 2x; |
|
|
y(0) = −1; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
6.9. y′ + |
|
|
y |
|
= x2; |
y(1) = 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6.10. y′ |
+ |
|
|
2xy |
|
|
= |
|
|
|
|
; |
|
y(0) = |
|
2 |
; |
|
||||||||||||||||
1 + x2 |
|
1 + x2 |
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
6.11. y′ |
− |
2x − 5 |
y = 5; |
y(2) = 4; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
6.12. y′ |
+ |
y |
= |
x + 1 |
ex; |
|
y(1) = e; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
Iндивiдуальнi завдання |
|
|
|
|
|
6.13. y′ = |
y |
− |
2 ln x |
; y(1) = 1; |
|
|
|||
x |
x |
6.14.y′ = xy − 12x3 ; y(1) = 4;
6.15.y′ + x2 y = x2; y(1) = −56;
6.16.y′ + xy = 3x; y(1) = 1;
6.17. y′ − |
2xy |
|
= 1 + x2; |
y(1) = 3; |
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
1 + x2 |
||||||||||||||||
6.18. y′ + |
1 − 2x |
y = 1; y(1) = 1; |
|
|
|
|||||||||||
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6.19. y′ + |
3y |
= |
|
|
2 |
; |
|
y(1) = 1; |
|
|
|
|||||
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6.20. y′ + 2xy = −2x3; y(1) = e−1; |
|
|
|
|||||||||||||
6.21. y′ + |
|
xy |
|
|
|
|
= |
x |
; y(0) = |
2 |
; |
|
|
|||
2 (1 − x2) |
|
|
||||||||||||||
|
2 |
|
3 |
|
|
|
||||||||||
6.22. y′ + xy = −x3; |
y(0) = 3; |
|
|
|
||||||||||||
6.23. y′ − |
2y |
= ex(1 + x)2; y(0) = 1; |
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
1 + x |
||||||||||||||||
6.24. y′ + 2xy = xe−x2 sin x; |
y(0) = 1; |
|||||||||||||||
6.25. y′ − |
2y |
= (1 + x)3; |
y(0) = |
1 |
||||||||||||
|
|
|
|
; |
||||||||||||
1 + x |
2 |
|||||||||||||||
6.26. y′ − y cos x = − sin 2x; |
y(0) = 3. |
Завдання 7 . Проiнтегрувати рiвняння у повних диференцiалах та знайти iнтегруючий множник, коли це можливо, а також розв'язати задачi Кошi:
7.1. |
ey cos x2 |
|
|
|
|
|
y e |
x2 |
dy |
=42 |
x ey |
|
x2 |
|
y e |
x2 |
dx; y(0) = 0; |
||||||||||||||||||||||
( |
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
+ cos |
|
− |
) |
|
|
|
( |
|
|
sin |
|
|
|
+ sin |
− |
|
) |
|||||||||||||
7.2. ( |
|
|
|
|
|
3y |
|
− 2x2)dx − ( |
x |
|
1 |
)dy = 0; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
y |
|
|
x2 |
y2 |
x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
7.3. 2 |
( |
|
1 |
|
+ |
y ln x |
)dx + |
( |
1 |
|
+ ln2 x)dy = 0; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
x3y |
|
|
x |
x2y2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
y |
|
|
|
1 |
|
|
|
3y |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
7.4. (1 − |
|
+ |
|
2√ |
|
)dx + |
|
|
( |
|
|
− |
|
|
+ √x)dy = 0; |
|
|
||||||||||||||||||||||
x2 |
2 |
x |
|
y |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
Iндивiдуальнi завдання |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
( |
2xy2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = − (2y ln x2 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
)dy; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ln y |
|
|
|
|
|
|
x2 + 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7.5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(0) = 1; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 + 1 |
|
|
|
|
y |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 + 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||
7.6. (2xy − y + 2x) dx + (3x2 − 3x + 2 |
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)dy = 0; |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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y |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7.7. |
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x |
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cos 2y |
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y3e |
x2 |
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dx = |
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2x2 sin 2y |
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3y2e |
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x2 |
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dy; |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
( |
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y2 |
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− |
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− |
) |
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2y( |
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− |
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|
− |
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|
) |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7.8. (3 − |
|
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+ 4xy)dx + ( |
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− x2)dy = 0; |
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x2 |
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x |
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2 |
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e−x2 |
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x |
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ln y)dx + (1 + |
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e√y)dy = 0; |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7.9. (e√y − 2xe−x |
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+ |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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y |
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2√ |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
y |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7.10. y |
|
2xy2 + 1 dx + |
|
x2y2 + 3y4 − x |
|
|
|
dy = 0; |
y(0) = 1; |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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y |
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(3 √x |
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y |
( |
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x√x |
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) |
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3 √ |
y |
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2)√ |
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7.11. ( |
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− |
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)dx = ( |
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+ 2 − |
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)dy; |
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y(1) = 4; |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 y |
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x3 |
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y2 |
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2 x2 |
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3 |
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3 |
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|
x |
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|||||||||||
7.12. (2√x − |
|
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|
√ |
y |
)dx + (√ |
y |
|
− |
|
|
|
|
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|
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|
|
)dy = 0; |
|
|
|
|
y(1) = 1; |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
4 |
√ |
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y |
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x |
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1 |
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1 |
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6 |
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||||||||||||
7.13. (2y√x sin y2 + |
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)dy + |
( |
2√ |
|
|
|
cos y2 |
|
+ |
|
|
+ |
|
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|
)dx = 0; y(1) = 4; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y2 |
|
y |
x4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7.14. |
|
|
2x3y2 − y dx + |
2x2y3 − x |
|
dy = 0; |
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( |
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)x |
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xe |
y |
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|
) |
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y |
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yex |
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( |
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− |
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|||||||||||||||||
7.15. |
|
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1 + y2e |
− |
|
√ |
|
|
|
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|
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dx = (√1 |
|
− x2e− |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
)dy; |
y(0) = 0; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
1 |
|
− |
x2 |
|
|
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|
|
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1 + y2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx + (3 |
|
|
) |
|
|
|
|
|
x |
3 |
)dy = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
√; |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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2 |
|
− |
|
|
|
|
|
|
− 2 |
x |
|
|
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7.16. |
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3x |
|
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1 |
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+ 2 |
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|
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|
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y(1) = 1 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
y |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
( |
|
|
|
|
|
2x |
) |
|
|
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|
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2y |
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|
x |
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
||||||||||||||||||||
7.17. ( |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ √ |
y |
)dx + ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2y + |
|
|
|
|
|
)dy = 0; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 + y2 |
x2 + y2 |
2√ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7.18. |
|
|
10x3 + 3y + 3y2 dx + (2xy + x) dy = 0; |
|
|
y(1) = 1; |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
( |
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||
7.19. ( |
|
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|
− 2y ctg x)dy = |
|
(2x |
− |
|
|
|
|
|
|
|
− |
2√ |
|
|
tg y)dx; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos2 y |
sin2 x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
sin √ |
|
|
dx + cos √ |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
sin √ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
cos √ |
|
dy; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7.20. |
|
|
|
|
x |
dy = |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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2√x |
− 2√ |
|
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|
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y |
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
sin 2x |
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sin2 x |
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7.21. ( |
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+ x)dx + (y − |
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|
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)dy = 0; |
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|
|
|
y(0) = 1; |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y |
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|
|
|
|
y2 |
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7.22. (y + |
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1 |
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+ |
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y |
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)dx − ( |
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x |
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+ |
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1 |
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|
− x)dy = 0; |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ln y |
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x ln2 x |
y ln2 y |
ln x |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7.23. ( |
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|
2x |
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+ √ |
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|
)dx + ( |
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2y |
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|
|
|
|
+ 2y + |
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x |
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|
)dy = 0; |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
y |
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|
|
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x2 + y2 |
x2 + y2 |
2√ |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
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|
|
|
|
|
1 |
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|
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|
|
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|
√ |
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|
1 |
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|
ln x |
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1 |
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y |
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7.24. |
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(√ |
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− |
|
)dx = |
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|
( |
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|
|
− |
|
)dy; |
y(e) = 1; |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
ln2 x |
|
2√ |
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|
y |
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|
ln x |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
y |
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10 |
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Iндивiдуальнi завдання |
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|
y |
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|
arctg x |
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|
1 |
1 |
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|
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|
y2 |
|
|
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|
|
||||||
7.25. 2 |
( |
|
|
|
|
− |
|
|
|
)dy + |
|
|
( |
|
|
+ |
|
|
)dx = 0; |
y(1) = 1; |
|||||||||||
arcctg x |
|
|
y3 |
1 + x2 |
y2 |
arcctg2x |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
cos y |
|
ln |
( |
x2 + 1 |
) |
) |
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|
|
( |
sin y |
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|
|
x |
|
√ |
|
) |
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|||||||||
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||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
4 + y2 |
|
|||||||||||||||
7.26. |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
dx = 0: |
|||||
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|
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|
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|
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3 |
|
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|||||||||
|
|
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|
|
2√4 + y |
|
− |
|
2(x + 1) |
− |
1 + x2 |
||||||||||||||||||||
( |
√x + 1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Завдання 8 . Знайти загальний розв'язок рiвняння:
8.1.y′′′x ln x = y′′;
8.2.xy′′′ + y′′ = 1;
8.3.2xy′′′ = y′′;
8.4.xy′′′ + y′′ = x + 1;
1
8.5. tg x y′′ − y′ + sin x = 0;
8.6. x2y′′ + xy′ = 1;
8.7. y′′′ ctg 2x + 2y′′ = 0;
8.8. y′′′ tg x = 2y′′;
8.9. x4y′′ + x3y′ = 1;
8.10. xy′′′ + 2y′′ = 0;
8.11. (1 + x2)y′′ + 2xy′ = x3;
8.12. xy′′′ + y′′ + x = 0;
√
8.13. x5y′′′ + y′′ = x;
8.14. xy′′′ − y′′ + x1 = 0;
√
8.15. xy′′′ + y′′ = x;
8.16.y′′′ tg x = y′′ + 1;
8.17.y′′′ tg 5x = 5y′′;
√
8.18. x3y′′′ + x2y′′ = x;
8.19.(x + 1)y′′′ + y′′ = x + 1;
8.20.(1 + sin x)y′′′ = y′′ cos x;
1
8.21. xy′′′ + y′′ = √x; 8.22. −xy′′′ + 2y′′ = x22 ;
8.23. x4y′′ + x3y′ = 4;
2x
8.24.y′′ + 1 + x2 y′ = 2x;
8.25.(1 + x2)y′′ + 2xy′ = 12x3;
√
8.26. xy′′′ + y′′ = x.
Завдання 9 . Розв'язати задачу Кошi:
9.1. |
3 |
|
4 |
|
√ |
|
|
1 |
|
|
|
|
4y |
y′′ = y |
|
− 1; y(0) = 2; |
y′(0) = |
√ |
|
; |
|||
|
|
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
9.2. y′′ = 128y3; y(0) = 1; |
y′(0) = 8; |
|
|
||||||||
9.3. y′′ + y3 + 64 = 0; y(0) = 1; |
y′(0) = 8; |
|
|
||||||||
9.4. y′′ + 2 sin y cos3 y = 0; |
y(0) = 0; y′(0) = 1; |