Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет Львовская политехника

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Мат. аналіз (практика)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.02.2016

Размер:

317.81 Кб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Частина I

Практичнi заняття. 1 семестр.

Заняття 1. Комплекснi числа

(В.П.Минорский. Сборник задач по высшей математике)

630. Виконати дi¨:
1) (2 + 3i)(3 ¡ 2i); 2) (3 ¡ 2i)	2; 3) 1+i	(1 + i)	3; 5) 2i
	1¡i ; 4)
				1+i .

631.Розв'язати рiвняння:

1)x2 + 25 = 0; 2) x2 ¡ 2x + 5 = 0; 3) x2 + 4x + 13 = 0.

Комплекснi числа зобразити векторами, визначити ¨х модуль та аргумент i записати у тригонометричнiй та експоненцiйнiй формi.

632.1) z = 3; 2) z = ¡2; 3) z = 3i; 4) ¡2i.

633.1) z = 2 ¡ 2i; 2) z = 1 ¡ ip3; 3) z = ¡p3 ¡ i.

636.Побудувати областi точок комплексно¨ площини за умовами:

1)jzj < 3; ¼=2 < ' < ¼;

2)2 · jzj · 4; ¡¼ < ' < ¼=2.

1.482. Числа z1 òà z2 зобразити в тригонометричнiй та показниковiй формi i

виконати над ними вказаíi äi¨:

à)

z12

;

z1z2, z2

, ÿêùî z1

= 2 3 ¡ 2i

= 3 ¡ 3

á) z12z¹2, zz¹12

, ÿêùî z1 = ¡p

+ ip

, z2 = p

¡ ip

i, z2

i. Знайти z1

* Нехай z1 = 1

z2 , подiливши числа в алгебра¨чнiй

та тригонометричнiй формi. Вивеñòè ôîрмули
			p6 + p2			=	p		¡ p
cos	¼	=		; sin	¼			6		2	:
	12				12
		4				4

640.Обчислити зà формулою Муавра:

1)(1 + i)10; 2) (1 ¡ ip3)6; 3) (¡1 + i)5; 4) (p3 + i)3.

641.Використовуючи тотожнiсть (cos ® + i sin ®)3 = cos 3® + i sin 3®, виразити

cos 3® òà sin 3® через функцi¨ кута ®.
642.	Знайти всi значення z = p6					i зобразити ¨х на комплекснiй площинi.
642.	Знайти всi значення z = p6				1	i зобразити ¨х на комплекснiй площинi.
643.	Çíàéòè:
1) p3 i;	2) p6 ¡1; 3) p3			.
1) p3 i;	2) p6 ¡1; 3) p3	¡2 + 2i		.
645.	Розв'язати рiвняння:
1) x3 + 8 = 0; 2) x4 + 4 = 0.
*** Вивести формули Ейлера
	sin ® =		ei® ¡ e¡i®				;	cos ® =	ei® + e¡i®	:
	sin ® =						;	cos ® =		:
				2i				2

Заняття 2. Числовi послiдовностi

Записати перших п'ять елементiв послiдовностi:

1.213 xn = 1 + (¡1)n

n .

1.214 xn = n (1 ¡ (¡1)n).

*** xn = cos(¼n).

Знайти найменший (найбiльший) елемент обмежено¨ знизу (зверху) послiдовно-

ñòi:

1.223 xn = 6n ¡ n2 ¡ 5; 1.226 xn = 3n2 ¡ 10n ¡ 14.

Безпосередньо за означенням границi послiдовностi довести, що

1. nlim

= 0; 2.

nlim

n + 3

= +1; 3.

nlim (3 ¡ n2) = ¡1;

n + 3

Використовуючи правило про суму, рiзницю, добуток та частку границь, знайти

границi:

n ¡ 1

5n + 1

(n + 1)2

1.231

lim

2n3

;

n!1

3n ; 1.232 n!1

9n; 1.233 n!1

1.234

lim

¡ 7n + 1

lim

(n + 2) ¡ (n ¡ 2)

2 ¡ 5n ¡ 6n2 ;

n!1

1.235 n!1

95n3 + 39n

;

n!1

µn2

¢ ¢ ¢

¶;

1.238

lim (pn + 2

); 1.241 lim

n ¡ 1

n!1

µ1 2 +

2 3

¢ ¢ ¢

n (n + 1)

1.234

lim

¢4

lim

(3 ¡ n)

¡ (2 ¡ n)

(1 ¡ n)4 ¡ (1 + n)4 ,

n!1

Заняття 3. Границi числових послiдовностей

Безпосередньо за означенням границi послiдовностi довести, що

ïðè

a > 1;

a > 0;

ïðè

1. lim na =

ïðè

a = 0;

2. lim an =

a = 1;

ïðè

a < 1;

ïðè

a < 0;

ïðè

aj ·j

¡1:

Знайти

границi числових послiдовностей:

1.237

nlim

n + 3n + 1

. 1.239 nlim n

(

n + 1 ¡ n

¡ 2)

1.243

lim

pn2 sin(n )

lim

+ 3

n!1

. 1.240 n!1 2

8¡

+ 3

+ 1

2.29

lim

2p8n ¡ 1 ¡ pn

lim

npn + pn

n!1

p5 n

. 2.30 n!1 p4n3 + 2n

3 .

3.29

. 3.30

n(n ¡ 4) .

nlim pn + 1(pn + 2 ¡ pn ¡ 5)

nlim

n + 1)!

4.29

lim

! + (

+ 2)!

lim

)! + (3

(3n)! ¡ (3n + 1)!.

n!1 (n ¡ 1)! + (n + 2)!.

4.30 n!1

Знайти границi рацiональних функцiй:

1.272 lim

¡ 2

lim

+ 7x2 + 15x + 9

x3 + 8x2 + 21x + 18.

x!0

3x2 ¡ 5x + 1. 6.29 x!¡3

Заняття 4. Границi функцiй

Обчислити границi:

2x2 ¡ 1

12.

lim

2) ¡ x2

x2 + 1 .

1(0;

1) 1

x. 11. x

2 x(x

3x + 2. 9. x

¡ 5x

3x + 1

+ x

1.288 lim

lim

x!1 5x + p3 x. 7. x!1 x2

¡ 3x + 1. 8. x!1 x4 ¡ 3x2 + 1.

x!1 µ2x2

1 ¡

2x + 1¶

x!¡8

2 + p3 x

10. lim

. 7.29 lim

x ¡ 6p

1 ¡ x

7.30 lim

p1 + x ¡ 1

lim

px ¡ 1 ¡ 3

lim

(x ¡ 1)p2 ¡ x

x!0

. 1.289 x!10

13. x!1

1 .

x!1

pn2 + 1 + n

¢ .

p3 x2

¡¡ 1. 18. n!1 ¡

p3 n6

+ 1

17. lim

lim

Використовуючи першу важливу границю, довести, що:

lim

tg x

= 1,

lim

arcsin x

= 1,

lim

arctg x

= 1.

x!0

Використовуючи першу важливу границю, обчислити границi:

1.303 lim

sin 3x

lim

sin 7x

lim x ctg ¼x.

x!0

. 1.304 x!0

tg 3x .

1.305 x!0

1 ¡ cos2 x

1.306 lim

arcsin 3x

lim

1 ¡ cos 2x

lim

x!0

4x .

1.307 x!0

x2 .

322 x!0

x sin 2x .

325. lim

tg x ¡ sin x

lim

1 ¡ sin x

lim

sin 3x

n+1

¢n4

x!0

. 328. x!¼2

¼2 ¡ x 2 . 330. x!¼ sin 2x.

n!1

Використовуючи другу важливу границю, обчислити границi:

2n + 1

¶ 2

n!1 µ

n¡2

¶ .

lim

2n + 3

. 2.

lim

µx2

¡ 2¶

x!1

x!1 µx ¡ 1

+ 1

x + 3

2x+1

lim

4. lim

Заняття 5.

Нехай lim u(x) = 1 i lim v(x) =

. Òîäi

x!a

lim(u(x)

1)v(x)

lim u(x)v(x) = ex!a

x!a

Використовуючи цю формулу, обчислити:

;

x!1 µx2

¡ 5x + 5¶

;

x!1 µ

x3 + 2

lim

6x + 5

3x+2

lim

+ x + 1

2x2

x+2

lim

+ 18x ¡ 15

;

1.322 lim (cos x)x2

x!1 µ

x!0

x2 + 11x + 15

Використовуючи границi

ln(1 + x)

lim

loga(1 + x)

lim

= 1;

x!0

ln a; зокрема x!0

lim

¡ 1

= ln a (a > 0), зокрема lim

¡ 1

= 1;

x!0

lim

(1 + x)a ¡ 1

= a

x!0

обчислити:

4. lim

¡ ab

lim

ax ¡ ab

lim

e®x ¡ e¯x

x!b

b ;

5. x!b

a ;

6. x!0

sin(®x)

sin(¯x);

7. lim

1 ¡ x

lim

1 ¡ cos 4x

lim

¡ 1

m = n;

log2 x;

x!0

ex2

1 ;

9. x!1

1 ,

1=n

¡ 1

10.

lim

lim x(ln(2 + x)

ln x).

21=n

+ 1;

n!1

1.324 n!1

Показати, що не iснують такi границi:

1.335.

xlim cos

1.337.

xlim

¡ [

;

lim cos

]

Знайти одностороннi границi:

1.338.

lim

x ¡ 3

lim

2 + x

lim (2 + x)1=x;

x2 ;

x!3§0

3 ;

1.339. x!2§0

1.340. x!§0

1.342.

lim

arctg x;

1.343.

lim [1=x];

1.345. lim

cos2 x ¡ 1.

x!§1

x!2¼§0

Заняття 6.

1.Порiвняти нескiнченно малi:

(a)®(x) = ex ¡ cos x i ¯(x) = arcsin 5x ïðè x ! 0;

(b)®(x) = ax ¡ a2 i ¯(x) = (x ¡ 2)a2 ln a ïðè x ! 2;

(c)®(x) = tg x3 i ¯(x) = 2x ¡ 1 ïðè x ! 0;

(d)®(x) = (x + a)3 ¡ a3 i ¯(x) = 1 ¡ cos x ïðè x ! 0;

2.Замiнити нескiнченно малу еквiвалентною, але простiшою:

(a)®(x) = e3x ¡ 1 ïðè x ! 0;

(b)®(x) = sin(x + arctg x) ïðè x ! 0;

(c)®(x) = arcsin x2 + sin x ïðè x ! 0;

(d)®(x) = ln(1 + px) ïðè x ! 0;

(e)®(x) = ex2 ¡ 1 ïðè x ! 0;

Замiняючи нескiнченно малi еквiвалентними, але простiшими, обчислити гра-

íèöi:

arcsin

1 ¡ x

a) lim

1¡x2

lim

x!0

ln(1 ¡ x)

;

(b) x!1

lg x ;

cos x ¡ cos 2x

lim

arctg x

arcsin 3x ¢ sin x2 .

x!0

1 ¡ cos x

;

(d) x!0

Дослiдити функцi¨ на неперервнiсть:

(a)1.387.

(b)1.388.

(d)1.391.

(e)1.392.

(f)1.393.

(g)1.399.

f(x) =	1

	x2(x ¡ 1);
f(x) =		j3x ¡ 5j
f(x) =		3x ¡ 5 ;
		3x ¡ 5 ;
f(x) =		(1 + x)n ¡ 1					n		2 N	;
				x		,			2 N
	1
f(x) = 1 ¡ x sin						;
f(x) = 1 ¡ x sin					x	;
f(x) = 3			x
f(x) = 3			4¡x2	;
f(x) = (x + 1) arctg							1
								;
							x	;
f(x) =	8 2x;					¡1 · x < 1;
	>
	<
	> x ¡ 1; 1 < x · 4; ;
	> 1;					x = 1:
	>
	:

Заняття 7.

Знайти похiднi вiд функцiй:

x2+1

5.21. y = 3 ¡ 2x +

3 x

;

5.23. y = x

;

5.25. y = x3¡x ;

2+p

+ 1 ;

5.31.

x ¡ 1)

y =

x ;

5.32. y = 2

;

5.33. y = (

3¡

5.34. y

= 3

¡ 2

;

5.35. y

= 3

+ 6

;

5.36. y

px3

¡ px2 ;

tg x

cos x´

5.37. y

ctg

5.38. y

sin

1+sin x ;

5.40.

px2 ;

5.39.

5.41. y = xp3

(2 ln x + 3x);

5.42. y = 3x2 log2 x +

5.43. y = 2 sin x ¡ 3 tg x;

;

5.44. y = sin x¡cos x

y = x3=2p3

5.47. y = sin

x5 + a

;

y = 6 cos

5.45.

3x ;

5.48.

2 ;

sin x+cos x ;

5.49. y = (1 + 4x2)3;

5.52. y = p

¡ p

;

5.50. y = 4 (1 + 3x2)3;

1 + sin 4x

1 ¡ sin 4x

5.53.

;

5.56.

;

5.57.

x=3

; 5.60.

1+x2

y = x arcsin ln x

y = e

cos

y = ln

1¡x2

;

y =p

5.69. y = 2

;

5.71. y = 32x

;

5.72.

y = ln x ¢ lg x ¡ ln a ¢ loga x;

ln x

5.73. y = log2 ln 2x;

5.75. y = ln arctg p

1 + x2

Знайти похiднi вiд степеíåво-показникових функцiй:

5.88. y = (ln x)1=x;

5.89. y = (sin x)arcsin x;

5.86. y = x2x ; 5.87. y = (px)px;

5.90. y = xx

x ;

5.91.

y =

(ln x)x

5.92. y = xx

+ x2

+ 2x

x .

xln x ;

Знайти похiднi, використовуючи

попередн¹

логарифмування:

3)2(2x

(x+2)(x 1)2

5.81. y = (x¡(x+1)3¡

;

5.82. y = q

¡ .

Знайти похiднi неявно заданих функцiй:

5.144. x3

2x2y2 + 5x + y

5 = 0,

y(1) = 1,

(1) ?;

5.146.

= 1,

5.147. x4 + y4 = x2y2

yx0

5.151. sin(xy) + cos(xy) = 0,

yx0

Заняття 8.

Знайти похiдну yx0

, як похiдну неявно задано¨ функцi¨ i як похiдну обернено¨

функцi¨.

5.145. ey + xy = e,

y(0) = 1,

yx0 (0) ?;

5.149. 2y ln y = x,

yx0

Знайти похiднi функцiй, заданих параметрично:

5.168. x = 2t,

y = 3t2 ¡ 5t,

t 2 (¡1; +1);

5.171. x = 2¡t,

y = 22t,

(

¡1

; +

);

5.173. x = tg t,

y = sin 2t + 2 cos 2t,

t 2 (¡¼2 ; ¼2 );

5.175. x = ln(1 + t2),

y = t ¡ arctg t,

t 2 (0; +1);

5.177. x = arcsin(t2 ¡ 1),

t 2 (0; p

y = arccos

2).

Знайти похiднi функцiй:

5.117. y = ln jxj;

5.120. y = j arctg xj;

5.122.

y = (

1 ¡ x;

x · 0;

e¡x; x > 0:

Знайти похiднi другого порядку вiд функцiй:

5.184. y = cos2 x;

5.185. y = arctg x2;

5.186. y = log2 p3

;

1 ¡ x2

2 ;

5.188.

arcsin x

5.187. y = e¡x

y = p

;

5.189. y = x

1¡x2

Використовуючи формулу Лейбнiца, знайти вказанi похiднi:

5.208. y = (x2 + x + 1) sin x, y(15)

5.209. y = (x2 ¡ x)ex, y(20) ?;

5.210. y = sin x ¢ e¡x, y(5)

5.211. y = x log2 x, y(10) ?.

Заняття 9.

1.	Написати рiвняння дотично¨ i нормалi до графiка функцi¨ y = f(x) â äàíié òî÷öi,
	ÿêùî:
	5.235. y = x2 ¡ 5x + 4, x0 = ¡1; 5.237. y = p									, x0 = 4; 5.238. y = tg 2x, x0 = 0.
	5.235. y = x2 ¡ 5x + 4, x0 = ¡1; 5.237. y = p								x	, x0 = 4; 5.238. y = tg 2x, x0 = 0.
2.	Знайти диференцiали вказаних функцiй при довiльному значеннi аргумента x i
	при довiльному його приростi dx:
	5.285. y	= xp		+ a2 arcsin xa ¡ 5;						5.286. y	= sin x ¡ x cos x + 4;
	5.285. y	= xp	a2 ¡ x2	+ a2 arcsin xa ¡ 5;						5.286. y	= sin x ¡ x cos x + 4;
	5.287. y	= x arctg x ¡ ln p						;		5.288. y	= x ln x ¡ x + 1;
	5.287. y	= x arctg x ¡ ln p					1 + x2	;		5.288. y	= x ln x ¡ x + 1;
	5.289. y = x arcsin x + p					¡ 3.
	5.289. y = x arcsin x + p				1 ¡ x2	¡ 3.

3.Використовуючи диференцiали, приблизно обчислити:

5.298. a) arcsin 0; 05; á) arctg 1; 04; b) ln 1; 2.

4.Знайти диференцiали другого порядку вiд функцiй:

5.303. y = a sin(bx + c).

5.304. y = 3¡x2 .

5.305. y = sinx x .

5.306.

5.307.

y = ax

+ bx + c

arcsin x

y = x2¡3x+2 . 5.308. y =

1 ¡ x

5.309. y = ln(x + p

). 5.310. y = arcsin(a sin x).

1 + x2

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.02.201642.3 Кб45маринін.docx
#
12.02.2016120.25 Кб127Маркетинг курсач.docx
#
12.02.2016773.12 Кб33Маркетинг.doc
#
12.02.2016287.23 Кб31Маркетинг_Інд.роб (1).doc
#
12.02.20161.31 Mб24Мат. аналіз (лекції).pdf
#
12.02.2016317.81 Кб12Мат. аналіз (практика).pdf
#
12.02.2016588.22 Кб76Мат. лінгвістика 1.pdf
#
12.02.2016385.63 Кб36Мат. лінгвістика 2.pdf
#
12.02.2016401.53 Кб37Мат. лінгвістика 3.pdf
#
12.02.2016392.43 Кб27Мат. лінгвістика 4.pdf
#
12.02.2016362.87 Кб34Мат. лінгвістика 5.pdf