Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет Львовская политехника

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Мат. аналіз (практика)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.02.2016

Размер:

317.81 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Заняття 10 - 12.

1. Розкрити невизначеностi вигляду 0

ln cos 2x

÷è 1.

1.329. lim

lim

x ¡ arctg x

lim

¡ a

m = m, a = 0;

x!0

sin 2x

;

1.330.

x!0

;

1.331. x!a

an ,

1.332. lim

¡ bx

a = b, c = d; 1.333. lim

ln sin ax

lim

ln cos ax

ln sin bx ;

ln cos bx ;

x 0

dx ,

1.336. x

1.340. lim

¡ e¡

lim

¡ 3x ¡ 1

lim

ln x

1 + 2 ln sin x;

x!0 ln(1 + x);

1.341. x!0

sin2 5x

;

1.345. x!+0

tg ¼x

1.346. lim

ln(1 ¡ x).

x!1¡0

2. Розкрити невизначеностi вигляду 0 ¢ 1 ÷è 1 ¡ 1.

3 x;

5.349.

e1=x

;

5.351. àáî 1346.

xlim

xne¡x;

5.352. lim x

xlim

(

¡ 1)

5.353. lim(¼

x) tg

lim(ex + e¡x

2) ctg x;

5.355. lim x2e1=x2 .

x ¼

2 ;

5.354. x

x!0

x!1

¶;

5.350. àáî

Ïð. 5 ç ™ô.Äåì. lim

ln3 x ;

1349. lim

x!0

µctg

¡ x

x!1

µln x ¡ ln x¶.

1352. lim

;

1351. lim

f11g ;

3. Розкрити невизначеностi вигляду f00g ;

f10g.

5.365. lim (arcsin x

tg x;

5.366.

lim

¡ 2

cos x;

5.367. lim

ln(ex¡1)

x +0

)

x ¼=2

)

x!0

;

5.374. lim(cos 2x)

3=x2 ;

5.378.

lim

sin x

1=x2

5.369. lim

(x + 2x)x1 ;

5.370. lim (ctg x)1= ln x;

5.371.

lim (tg x)2x¡¼.

x!+1

x!+0

x!¼=2¡0

4.Формула Тейлора.

5.379. Многочлен 2x3 ¡ 3x2 + 5x + 1 розкласти за степенями двочлена x + 1.

Для заданих функцiй написати формулу Маклорена n-го порядку:

5.382. y = ex; 5.383. y = sin x; 5.384. y = cos x; 5.385. y = ln(1 + x).

5. Побудувати графiки функцiй.
5.465. y =	x4	y =	x		y =
	3		3	5.488.
	x ¡1 ; 5.468.	x +2 ;
5.495. y = sin x + cos x;		5.497. y = x arctg x;

5.510. y = ln(x + px2 + 1); 5.513. y = x2 ln x;

pxx22+1 ;

*** y = (1 + x2)ex.

Заняття 13. Границi i неперервнiсть функцiй багатьох змiнних

1. Нехай

f(x; y) =

2x¡3y

3x¡2y . Знайти f(2; 1)

f(1; 2)

f(a; a) f(a; ¡a)

2xy

2. Нехай f(x; y) =

. Знайти f(¡3; 4), f(1; x ).

x2+y2

3. Знайти областi визначення функцiй:

(a) z =

R2 ¡ x2 ¡ y2;

;

z =

;

z =

+ y2 ¡ R2

z =

;

R2¡x2¡y2

x2+y2¡R2

x+3y

;

(b)

;

(d)

z =

;

z =

+ y)

x¡y

1 ¡ (x

(i) z = yp

;

(f) z = arccos

z =

x2+y22¡x2

cos x

x+y ;

(g)

4. Знайти границi функцiй:

2x¡x ¡y

sin xy

(a)

xlim0

;

(b)

;

xy + 9

y ! 0

y ! 5

x y

(c)

lim

1 + x2 + y2

x2+y2 ;

lim

1 + x2 + y2 x2

+y2 ;

(d)

lim

2 ;

+ y

y !!

y !! 1

y !! 0 1

(e)

lim

x2y2 + 1 ¡ 1

lim

sin(x3 + y3)

lim

e¡

x2+y2

4 .

p x

+ y

;

(f)

+ y

;

(g)

+ y

y !

! 0

5. Знайти повторнi границi:

(a)

lim

+ y

lim

x + y

;

2 4

+ y

!1 µ

(b)

lim

1 + xy ¶

1 + xy ¶;

x!1 µy!+0

y!+0

µx!1

(c)

lim

¼x

lim

sin

¼x

y + 2x¶;

x!1 µy!+1 sin y + 2x

y!1 µx!+1

(d) lim

lim

1 + xy ¶;

x!0

µy!1 xy

1 + xy ¶

y!1 µx!0

(e*) lim

lim log

(x + y)

i lim

lim log

(x + y)

x!1 µy!0

y!0

µxy!1

¶.

6. Показати, що для функцi¨ f(x; y) =

x2y2

x2y2+(x¡y)2

повторнi границi iснують i рiвнi,

але границя

lim

x2y2

x2y2 + (x ¡ y)2

íå iñíó¹.

(x;y)!(0;0)

, ÿêùî

x+y+z

@u@x + @u@y + @u@z

Заняття 14. Частиннi похiднi

Знайти частиннi похiднi першого та другого порядку для заданих функцiй.

7.55. z = x

+ y

¡ 5x

;

7.56. z = xy + x ;

7.57. z =

;

x2+y2

7.58. z = xe¡xy;

7.59. z = cos y2

7.60.

z = yx; 7.61. z = ln(x2 + y2);

;

y z;

7.62. z = arcsin

;

7.63. u =

;

7.64. u = x

x2+y2

x2+y2+z2

7.68. Показати, що

@2z

by .

@x @y =

@y @x , ÿêùî z = x sin(ax + ¡ )¢

7.69. Показати, що

@2z

, ÿêùî z = cos x

¢ arccos y .

@x @y

@y @x

7.79. Показати, що

@x@z

@y@z +x+z = 0, ÿêùî z = 4e¡2y +(2x+4y

3)e¡y ¡x¡1.

7.80. Показати, що

u = ln(x3 + y3 + z3¡

3xyz).

Заняття 15. Диференцiйовнiсть та диференцiал

+ ¢ ¢ ¢ +

df =

dx1 +

dx2

dxm:

@x1

@x2

@xm

7.87. Знайти повний прирiст i диференцiал функцi¨ z = x2 ¡ xy + y2, ÿêùî x

çìiíþ¹òüñÿ âiä 2 äî 2; 1, à y âiä 1 äî 1; 2.

Знайти диферåíöiàëè функцiй:

7.89. z = ln(y + x2 + y2);

7.90. z = tg y2

z = ln cos x

u = (xy)z.

Приблизно обчислити:p

x ;

7.91.

y ; 7.92.

7.95. (2; 01)3;03 (ln 2 ¼ 0; 693);

7.96.

; 3114. ln(p3

1; 03+p4

¡1).

(1; 02)3 + (1; 97)3

0; 98

поверхнi

S â òî÷öi Q:

Рiвняння дотично¨ площини до p

z ¡ z0 =

@f(P )

(x ¡ x0) +

@f(P )

(y ¡ y0):

Рiвняння нормалi:

x ¡ x0

y ¡ y0

z ¡ z0

@f(P )

¡1

7.95. Знайти рiвняння дотично¨ площини та нормалi до таких поверхонь в ука-

заних точках:

à) z = sin x cos y â òî÷öi

¼4 ; ¼4 ; 21 ;

á)

x cos y â òî÷öi

¼; 1

z = e

¡ e

го порядку обчислю¹ться за символiчною формулою:

Диференцiал n- ¡

dnu = µ

dx1 +

dx2 + ¢ ¢ ¢ +

dxm¶ u:

@x1

@x2

@xm

Зокрема, якщо ма¹мо функцiю двох змiнних z = f(x; y), òî

@2z

d2z = µ

dx +

dy¶

dx2

+ 2

dx dy +

dy2:

@x2

@y2

@3z

d3z = µ

dx +

dy¶

dx3

+ 3

dx2 dy + 3

dx dy2 +

dy3:

@x3

@x2@y

@x@y2

@y3

(a1 + a2 + ¢ ¢ ¢ + ak)n =

X Pn(j1; j2; : : : ; jk) a1j1 ¢ a2j2 ¢ ¢ ¢ akjk

j1+¢¢¢+jk=n

Знайти диференцiали першого та другого порядкiв для таких функцiй:

7.101. z = x3 + 3x2y ¡y3; 7.106. z = x ln xy ; 7.108. u = xy + yz + zx; 7.109. u = exyz.

7.110. Знайти d3z, ÿêùî z = ey sin x.

7.111. Знайти d3u, ÿêùî u = x3 + y3 + z3 ¡ 3xyz.

Заняття 16. Диференцiювання складених та неявно заданих функцiй

1. Похiднi складених функцiй.

@z dx

@z dy

@x dt

@y dt

7.114. Знайти dz

dt , ÿêùî z = e2x¡3y, äå x = tg t, y = t2 ¡ t.

7.115. Знайти dz

z = xy, äå x = ln t, y = sin t.

dt , ÿêùî

7.117. Знайти du

u =

, y = ln t, z = t

¡ 1.

dt , ÿêùî

x , äå

x = e

@y dx

7.118. Знайти @z

+ x.

@x i dx , ÿêùî z = ln(e

+ e

), äå y = 3 x

7.119. Знайти @z

x+1

(x+1)2 .

@x i dx , ÿêùî z = arctg

, äå y = e

@z @x

;

@z @x

@z @y

@x @u

@y @u

@x @v

@y @v

7.120. Знайти @z

z = u2 ln v, äå u = y

v = x2

+ y2.

@x i @y , ÿêùî

x ,

7.121. Знайти dz, ÿêùî z = u2v ¡ v2u, äå u = x sin y, v = y cos x.

2. Похiднi неявно заданих функцiй.

Fx0

= ¡

Fy0

7.140. Знайти dy

¡ y

= 0.

dx , ÿêùî x

7.141. Знайти dy

dx , ÿêùî y sin x ¡ cos(x ¡ y) = 0.

7.143. Знайти dy

d2y

dx , dx2 , ÿêùî x ¡ y + arctg y = 0.

F 0

Fx0

= ¡

;

Fz0

7.146. Знайти @z

= 0.

@x , @y , ÿêùî z ln(x + z) ¡ z

7.149. Знайти dz, ÿêùî yz = arctg(xz).

7.150. Знайти dz, ÿêùî xz ¡ ey + x3 + y3 = 0.

Fx0 (Q)(x ¡ x0) + Fy0(Q)(y ¡ y0) + Fz0(Q)(z ¡ z0) = 0;

x ¡ x0 = y ¡ y0 = z ¡ z0 : Fx0 (Q) Fy0(Q) Fz0(Q)

3. Записати рiвняння дотично¨ площини та нормалi до поверхнi в заданiй точцi.

* x2	+ y2 = 169	¡ z2,	Q(3; 4; 12);
* x2	¡ 4z2 = 11	¡ 3y,	Q(3; 2; 1).

Множина Fc = fM 2 A j f(M) = cg назива¹ться поверхнею c-рiвня функцi¨ f.

(P ) def=

(P ) cos ® +

(P ) cos ¯ +

(P ) cos °;

~e = (cos ®; cos ¯; cos °):

@~e

def

grad f(P ) =

(P )i +

(P )j + @z

(P )k;

@e¹

= (grad f;~e) :

4.Лiнi¨ рiвня, похiдна за напрямком i градi¹нт.

2017. (M) z = 4 ¡ x2 ¡ y2. Побудувати лiнi¨ рiвня та grad z â òî÷öi A(1; 2).

2025. (M) z =	4
	x2+y2 . Побудувати лiнi¨ рiвня та grad z â òî÷öi A(¡1; 2).

10.31. Знайти похiдну вiд скалярного поля u = x2 + 21 y2 â òî÷öi P0(2; ¡1) â

напрямку вектора

¡¡0!

1(6; 2)

P P , äå P

10.33. Знайти похiдну вiд скалярного поля u

= x12 + x22

¡ x32 + x42

â òî÷öi

P0(1; 3; 2; ¡1) в напрямку вектора ~a = (2; 1; 0; ¡2).

10.35. Знайти похiдну вiд скалярного поля u =

â òî÷öi P (a; b; c) â

напрямку радiус-вектора цi¹¨ точки.

4u = du(P )+

d2u(P )

+¢ ¢ ¢+

dnu(P )

+o(½n); ф-ла Тейлора з зал. у ф-мi Пеано.

5.Формула Тейлора.

7.179. Функцiю f(x; y) = x3 ¡2y3 + 3xy розкласти за формулою Тейлора в околi точки (2; 1).

7.181. Функцiю f(x; y; z) = x2 + y2 + z2 ¡2(xy + xz + yz) розкласти за формулою Тейлора в околi точки (1; ¡1; 2).

7.182. Функцiю f(x; y) = ey cos x розкласти за формулою Маклорена до третього доданка включно.

6.Знайти екстремуми функцiй двох (трьох) змiнних.

7.187. z = x2	+ xy + y2 ¡ 3x ¡ 6y. 7.188. z = xy2(1 ¡ x ¡ y) (x > 0; y > 0).
7.191. z = x2	+ y2 ¡ 2 ln x ¡ 18 ln y (x > 0; y > 0).

7.196. u = x2 + y2 + z2 ¡ 4x + 6y ¡ 2z.

Заняття 17. Найпростiше iнтегрування

1. Використовуючи таблицю iнтегралiв, обчислити:

x + 1

2x + 3

6.15. Z µ3x2 + 2x +

¶ dx;

6.16. Z

dx; 6.19. Z µ

¶ dx;

6.20. Z

6.22. Z

6.23. Z

(

ap¡ax

dx;

2xex dx;

1 + 3x22¡x

dx;

2 ctg2 x

cos¢2x

6.24. Z

(2x + 3 cos x) dx;

6.26. Z

dx;

6.27. Z

dx;

cos2 x

cos2 x sin2 x

6.29. Z

tg2 x dx;

6.33. Z

; 6.35. Z

;

x2 + 4;

6.34.

3 x2

6.36. Z

px2 ¡ 3 ¡ px2 + 3

(1 + x)

¡ 9

dx; 6.37.

dx;

6.43.

dx.

px4 ¡ 9

x(1 + x2)

x2 ¡ 8

2. Обчислити iнтеграли за допомогою замiни змiнно¨:

6.44. Z

6.46. Z

p32+ x dx;

6.45. Z (3 ¡ 4 sin x)2

cos x dx;

ch x sh x dx;

6.47.

sec x

;

6.48.

sin(ln x)

; 6.56.

sin xp

;

tg4 x

2 x;

6.55.

x ln ax

sin x dx

6.60. Z

x5¡x

dx;

6.62. Z

e¡

dx;

6.65. Z

1 + e¡2ax

cos2 x + 4

3. Обчислити iнтеграли, зробивши вказану пiдстановку:

6.115. Z

x = 2t ;

6.117. Z

e2x

dx,

x = ln t.

ex + 1

4 ¡ x2

Заняття 18. Iнтегрування частинами

1. Обчислити iнтеграли, використовуючи iнтегрування частинами:

6.124. Z

arccos x dx;

6.126. Z

x ln x dx;

6.127. Z

ln x

dx; 6.133. Z

6.134. Z

x arctg x dx;

6.145.¤

x(arctg x)2 dx; 6.146. Z

arcsin x

dx;

6.153. Z

x arcsin x dx;

6.154. Z

ln(ln x)

dx; 6.155. Z

x2 arctg x dx;

6.125.

x cos x dx; 6.129. Z

x2 sin x dx;

6.130. Z

x2e¡x dx; 6.140.

6.141.

Z (x2 ¡ 2x + 3) cos x dx;

** Z

e2x cos 3x dx;

** Z

e5x sin x dx.

2. Iнтегруючи частинами, показати, що

Z pa2 ¡ x2 dx =

(22)

arcsin

2pa2 ¡ x2 + C;

Z px2 § a2 dx =

(23)

px2 § a2

ln jx + px2 § a2j + C.

3. Виконати iнтегрування квадратного тричлена:

6.158. Z

6.159. Z

x2 + 4x ¡ 5;

2x2 ¡ 4x + 5;

6.160. Z

x dx

6.161. Z

x dx

x2 ¡ 5x + 4;

x2 ¡ 3x + 3.

ln2 x dx; x2

xex dx;

Заняття 19. Iнтегрування дробово-рацiональних функцiй.

1. Зiнтегрувати елементарнi дроби:

Z (x2

+ 2x + 2)3 dx.

Z x ¡ 8 dx; Z (x ¡ 8)3

dx; Z x2 + 2x + 2 dx;

x + 2

Для останнього використати рекурентну формулу

+ m2)n :

Kn+1

= 2nm2

µ(2n ¡ 1)Kn + (t2

+ m2)n ¶

+ C; äå Kn = Z (t2

2. Розклавши функцi¨ на елементарнi дроби, обчислити iнтеграли:

+ 3x + 1

6.167. Z

x3 ¡2 5x¡2

+ 6x

¡ 4x

+ 3x2

2x2

dx; 6.168.

x3 + 2

dx; 6.169.

+ 3x3

+ 3x2

¡ 5

dx;

6.170. Z

(x ¡ 1)2(x + 2)

(x2 ¡ 5x + 4)3

x(x2

+ 2);

3x + 2x ¡ 1

dx; 6.171.

2x ¡ 5

dx;

6.172.

6.173. Z

x4 + 1.

Заняття 20.

Iнтегрування тригонометричних виразiв

Використовуючи унiверсальну тригонометричну пiдстановку, обчислити iнте-

грали.

3 cos x + 2; 6.219. Z

3 ¡ 2 sin x + cos x;

6.220. Z

1 + sin x.

6.218.

sin x dx

Обчислити iнтеграли за допомогою пiдстановок t = tg x ÷è t = ctg x.

6.221.

4 sin2 x ¡ 7 cos2 x; *

1 ¡ tg x dx; 2101 Z

tg8 x;

1 + tg x

Обчислити iнтеграли за допомогою пiдстановок t = sin x ÷è t = cos x.

6.222.

sin x dx

cos3 x dx

cos

2 x

¡ 2 cos

+ 5

;

5 + sin x;

2090

sin3 x cos2 x dx; 2091

cos4 x .

sin

x dx

6.194. Z

sin2 x cos2 x dx;

* Z

cos4 x dx; 6.196. Z

sin6 x; 6.197. Z

cos6 x dx;

sin2 x

6.212. Z

sin 3x cos 5x dx;

* Z

sin 10x sin 15x dx; *

cos 2 cos 3 dx.

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.02.201642.3 Кб45маринін.docx
#
12.02.2016120.25 Кб127Маркетинг курсач.docx
#
12.02.2016773.12 Кб33Маркетинг.doc
#
12.02.2016287.23 Кб31Маркетинг_Інд.роб (1).doc
#
12.02.20161.31 Mб24Мат. аналіз (лекції).pdf
#
12.02.2016317.81 Кб12Мат. аналіз (практика).pdf
#
12.02.2016588.22 Кб77Мат. лінгвістика 1.pdf
#
12.02.2016385.63 Кб37Мат. лінгвістика 2.pdf
#
12.02.2016401.53 Кб38Мат. лінгвістика 3.pdf
#
12.02.2016392.43 Кб28Мат. лінгвістика 4.pdf
#
12.02.2016362.87 Кб35Мат. лінгвістика 5.pdf