МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ «ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА»
Інститут економіки та менеджменту
Кафедра маркетингу та логістики
Лабораторна робота №1
з дисципліни «Економіко-математичні методи і моделі, частина 2 (економетрика)»
на тему: «ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ В УМОВАХ ПОВНОЇ НЕВИЗНАЧЕНОСТІ»
Варіант №5
Виконав:
ст. гр. ФК-34
Джигановський М.С.
Прийняла:
Карпій О.П.
Львів-2014
І. Загальні положення
Прийняття рішення (стратегії) серед кількох варіантів в умовах визначеності характеризується однозначною, детермінованою залежністю прийнятого рішення від ряду властивостей стратегії (від вектора властивостей, ознак або якостей), які враховуються для кожного варіанту можливого рішення. Складнішим є формування критеріїв в умовах невизначеності. Одним із визначальних факторів у таких задачах є зовнішнє середовище, або природа.
Іі. Теоретичні відомості
У загальному випадку природа (зовнішнє середовище) може знаходитися в одному зі станів П1, П2, ...., Пn. Ймовірність знаходження у цих станах є невідомою для особи, що приймає рішення. В іграх з природою, як і в стратегічних іграх, створення моделі повинно починатися з побудови платіжної матриці.
Нехай гравець А має m можливих стратегій (А1, А2, …, Аm), а природа П може знаходитися в одному з станів n (П1, П2, ..., Пn), які можна розглядати як її «стратегії». Сукупність (П1, П2, ..., Пn) формується або на основі досвіду аналізу станів природи, або в результаті передбачень та інтуїції експертів, тобто використання експертних оцінок. Виграш гравця А за умов вибраної ним стратегії Aі ( і = 1, …, m) та станів Пj (j = 1 ,..., n) природи П позначимо аij (і = 1, …, m; j = 1 ,..., n). З виграшів гравця А формують платіжну матрицю А (табл. 3.1), яка відрізняється від матриці стратегічної (антагоністичної) гри тим, що елементи стовпчиків не є програшами природи при відповідних її станах.
Таблиця 1.1
Платіжна матриця А
Пj Ai |
П1
|
П2
|
…
|
Пn
|
А1 |
a11 |
a12 |
… |
a1n |
А2 |
a21 |
a22 |
… |
a2n |
… |
… |
… |
… |
… |
Аm |
am1 |
am2 |
… |
amn |
Методи прийняття рішень в іграх з природою залежать від того, відомі чи ні ймовірності станів природи, тобто має місце ситуація повної невизначеності.
Для прийняття рішень в умовах повної невизначеності використовуються наступні критерії:
-
критерій Лапласа;
-
критерій Вальда;
-
критерій Севіджа;
-
критерій Гурвіца.
1. Критерій Лапласа.
Критерій Лапласа спирається на принцип недостатнього підґрунтя, виходячи з якого всі стани природи Пj є рівноймовірними. Відповідно до цього принципу кожному стану Пj відповідає ймовірність рj, яка визначається за формулою:
. (1.1)
Для прийняття рішень для кожної стратегії Aі розраховується середнє арифметичне значення виграшу:
. (1.2)
Серед обирають максимальне значення , яке буде визначати виграш при застосуванні оптимальної стратегії Aопт:
. (1.3)
2. Критерій Вальда.
Критерій Вальда – це критерій гарантованого результату. Він базується на принципі найбільшої обережності, оскільки вибирають найкращу із найгірших стратегій Аі.
Якщо елементи платіжної матриці аij характеризують виграш (корисність), то для визначення оптимальної стратегії використовується максимінний критерій.
Для цього у кожному рядку матриці виграшів знаходять найменший елемент , а потім обирається стратегія Аі (рядок і), якій відповідає найбільше значення із цих найменших елементів, тобто стратегія Аопт, яка визначає результат:
(1.4)
3. Критерій Севіджа (мінімізація "жалю").
Вважається, що ризик припустимий. Вкладається стільки грошей, скільки не шкода. "Жаль" – це втрачений прибуток результату при даній стратегії по відношенню до найкращої стратегії. Вихідна матриця перетворюється в матрицю ризиків R таким чином, що її елементи (в межах одного стовпчика) (rij) дорівнюють різниці між максимальним значенням елементів стовпчика та відповідним елементом комірок вихідної матриці. Матриця R є матрицею "жалів".
Таблиця 1.2
Матриця ризиків R
Пj Ai |
П1
|
П2
|
…
|
Пn
|
А1 |
r11 |
r12 |
… |
r1n |
А2 |
r21 |
r22 |
… |
r2n |
… |
… |
… |
… |
… |
Аm |
rm1 |
rm2 |
… |
rmn |
До матриці ризиків застосовується мінімальний критерій:
. (1.5)
4. Критерій Гурвіца.
Критерій Гурвіца (критерій узагальненого максиміну) охоплює різні підходи до прийняття рішень: від найбільш оптимістичного до найбільш песимістичного (консервативного). Базується на таких двох припущеннях: "природа" може знаходитись у найгіршому стані з ймовірністю (1–) і у найкращому стані із ймовірністю , де – коефіцієнт довіри (показник оптимізму).
Якщо платіжна матриця є матрицею виграшів (прибутку, корисностей), то критерій Гурвіца формулюється таким чином:
(1.6)
Якщо =0, критерій Гурвіца стає консервативним, оскільки його застосування є рівносильним застосуванню критерію Вальда.
Якщо =1, критерій Гурвіца стає занадто оптимістичним, оскільки його застосування є рівносильним застосуванню критерію оптимізму (критерію максимаксу).
Критерій Гурвіца встановлює баланс між випадками крайнього песимізму й крайнього оптимізму шляхом надання їм відповідної ваги (1–) та , де 01. Значення може визначатись у залежності від схильності до песимізму або оптимізму. Якщо відсутня яскраво виражена прихильність, то вважають =0,5.