управ.рішення - копия - копия

Моделі оптимальних партій постачань при дефіциті {теорія розкладів)

Приклад 12. [22] Модель оптимальної партії постачання, ко­ли незадоволені вимоги ставляться на облік.

Попит на нестандартну продукцію складає 1900 одиниць у рік. Вартість збереження, включаючи втрати від нерухомості за­собів у запасах і зв'язані зі зниженням цін при нєреалізації про­дукції, дорівнює 19 тис. грн. за одиницю в рік. Витрати розміщен­ня замовлення не перевищують 200 грн. Незадоволені вимоги бе­руться на облік. Питомі витрати дефіциту — 81 тис. грн. за недо­стачу одиниці продукції протягом року.

Треба визначити оптимальну партію постачання, макси­мальну величину заборгованого попиту, інтервал поновлення постачання, місце розміщення замовлення (#= 1 місяць = 1/12 ро­ку) і річні втрати функціонування системи.

342

1. Оптимальна партія постачання знаходиться за формулою:

Теорія і практика розробки управлінських рішень

Модель оптимальної партії постачання з урахуванням незадоєолених вимог {теорія розкладів)

Приклад 13. [22] Підприємство випускає партіями магнітні сердечники п'яти типів. Продуктивність — 1500 сердечників за добу.

Середній обсяг споживання кожного типу сердечників — 300 штук за добу. Вартість переналагодження устаткування при переході від одного типу до іншого складає 1200 тис. грн. Вар­тість зберігання одного сердечника — 0,03 тис. грн. за добу. Неза­доволені вимоги беруться на облік. Питомі витрати дефіциту — 0,15 тис. грн. за сердечник за добу. Треба визначити оптимальні параметри роботи системи.

Маємо: Я = 1500 шт. за добу, V = 300 шт. за добу, ДО — 1200 тис. грн., S = 0,03 тис. грн. за штуку за добу, d (витрати де­фіциту) = 0,15 тис. грн. за штуку за добу.

Зміну рівня запасу в системі можна показати графічно (рис. 2.7):

Рис. 2.7. Графічне зображення зміни рівня запасу АВ — максимальна величина запасів; ED *— максимальна величина незадоволених вимог.

У точці Е надходить нова партія з інтенсивністю X. Площа трикутника АОС — середня величина запасу протягом циклу, а трикутника CDF — середня величина дефіциту.

АВ = Vr₂ і, відповідно, ED =Угз, де V— інтенсивність спожи­вання сердечників.

343

J L

344

Теорія і практика розробки управлінських рішень

Модель визначення оптимальної величини партії є умовах знижки на розмір замовлення (теорія розкладів)

В умовах ринкових відносин враховується знижка, тобто зни­ження ціни при оптових закупівлях. Розберемо на прикладі одну з моделей [22].

Приклад 14. Цех випускає насоси. Витрати переналагодження складають ЗО тис. грн. Потреба в насосах постійна і дорівнює 600 штук у рік. Вартість насоса залежить від величини замовлення (табл.2.5). Витрати змісту — 2% від вартості продукції.

345

Таблиця 2.5 Зміна цін на насоси є залежності від розмірів партій

Величина замовлення, штук	Ціна за штуку, грн.
1-149 150-399 400 і більше	80 60 40

В.О. Василенко

3. Якщо 4п-і ^< Qn-h то довідаємося #п-2 Якщо Qn-2 ^a Q»-2 ' то для визначення оптимального рівня за­мовлення порівнюємо Шп-2), UQn-j) и L(Q_n) і т.д. Цей процес продовжується доти, поки q_i > Qj після чого порівнюються зна­чення-^')» L{Q_t.i), ... , L{Q_n). Мінімальному значенню відпо­відає оптимальна партія замовлення.

Завдання оптимального використання ресурсу (лінійне програмування) Приклад 15. [22] Підприємство може виготовляти чотири ви­ди продукції П-1,17-2, П-3, П-4. Збут будь-якого її обсягу забезпе­чений. Підприємство користується протягом кварталу трудови­ми ресурсами в 100 чол.-змін, напівфабрикатами масою 260 кг, верстатним устаткуванням у 370 станко-змін. Норми витрати ре­сурсів і прибуток від одиниці кожного виду продукції представ­лені в табл. 2.6.

Таблиця 2.6. Вихідні дані для розе 'язання завдання

, _ _ Ресурси	Продукція					Об'єм ресурсів
	П-1	/7-2	П-3	П-4
Трупові ресурси люпино-змін	2.5	2.5	2	1 5	100
Напівфабрикати, кг	4	10	4	6	260
Станочне обладнання, станко-змін	8	7	4	10	370
Прибуток ві л одиниці пролукшї. тис. грн.	40	50	100	80	maxZ
План випуску	х;	Х2	хз	Х4

346

Теорія і практика розробки управлінських рішень

Необхідно:

1. Визначити план випуску продукції, максимізуючий прибуток.

1. Розв'язати завдання з вимогами комплектації, щоб кількість одиниць третьої продукції була в 3 рази більше кількості оди­ ниць першої.

2. З'ясувати оптимальний асортимент при додаткових умовах: першого продукту випускати не менш 25 одиниць, третього — не більш ЗО, а другого і четвертого —- у відношенні 1:3.

Запишемо математичну модель завдання: цільова функція — максимум прибутку:

тах:2= 40х₁ + 50х₂ + 100х₃ + 80х₄ при обмеженнях:

а) на трудові ресурси: 2,5х₂ + 2,5х₂ + 2х₃ + 1,5х₄ <100; на напівфабрикати: 4х_; + 10х₂ + 4х₃ + 6х₄ <2бО;

на верстатне устаткування: 8х_г + 7х₂ + 4х₃ + 10х₄ <370. Умова невизначеності х_}- > 0, j =1,4;

б) додаткова вимога комплектації виразиться умовою Зх₁ -х₃ = 0;

в) граничні умови й умови комплектації представимо так:

Xj >25, х₃ <30, Зх₂ =х₄.

Завдання про вибір оптимальних технологій (лінійне програмування) Приклад 16 [22]. Підприємство може вести роботи трьома тех­нологічними способами. Витрата ресурсів за одиницю часу при відповідній технолога і продуктивність кожної технології в грив­нях за одиницю часу представлені в табл. 2.7.

Визначити інтенсивність використання кожного технологіч­ного способу xj.

Таблиця 2.7

Ресурси	Продукція				Об'єм ресурсів
	Т-1	Т-2	Т-3
Робоча сила, людино - годин	15	20	25	100
Сировина, т	2	3	2,5	260
Електроенергія. кВт . ч	35	60	60	370
Виробництво технологічного способу	300	250	450	maxZ
План використання технологічних способів	XI	Х2	ХЧ

347

В.О. Василенко

Завдання про розкрій матеріалів (лінійне програмування) >₍

Раціональний розкрій промислових матеріалів — важливе джерело економії ресурсів. Він підвищує коефіцієнт використан­ня матеріалів. Централізація розкрою на постачальницько-збу­тових базах могутньої корпорації дозволяє скоротити асорти­мент матеріалів, що веде до укрупнення замовлень. Сутність за­вдання про оптимальний розкрій полягає в розробці таких тех­нологічно допустимих планів розкрою, при яких виходить не­обхідний комплект заготівель, а відходи за площею, вагою чи вартістю зводяться до мінімуму.

В даний час найбільш вивчені питання розкрою довгомірних і листових матеріалів.

Приклад 17. Постачальницько-збутова база одержала від по­стачальників дві партії прутиків сталевого прокату. Перша партія містить 100 прутиків довжиною по 6,5 м, друга — 250 по 4 м. З цих прутиків потрібно виготовити комплекти по п'ять де­талей: дві деталі по 2 м і три по 1,25 м (табл. 2.8).

Необхідно. Розрізати прутики таким чином, щоб одержати максимальну кількість комплектів.

Таблиця 2.8 Матриця варіантів розкрою прутиків

Заготовка, м	Варіант розкрою	Розмір деталі, м		Число заготовок	План розкрою
		Лі =2	Л, = 1.25
6,5	1 2 3 4	3 2 1 0	0 2 3 5	100	XII Х12 хіз Х14
4	1 2 3	2 1 0	0 1 3	250	Х21 Х22 Х23
Входе до комплекту		2	3	maxZ

348

Теорія і практика розробки управлінських рішень

Матрицю можна одержати емпірично. Наприклад, безпосе­редньою перевіркою легко встановити, що прутик довжиною 6,5 м можна розрізати на деталі по 2 і 1,25 м чотирма способами:

1. три деталі по 2 м;

2. дві по 2 м і дві по 1,25 м;

3. одна деталь по 2 м і три по 1,25 м;

4. п'ять деталей по 1,25 м.

Прутик довжиною 4 м може бути розрізаний на деталі потрібного розміру трьома способами:

1. дві деталі по 2 м:

2. одна деталь по 2 м і одна — по 1,25 м;

3. три деталі по 1,25 м.

_2]

Математична модель прийме вигляд max: Z = х при обмеженнях: за ресурсами заготівель —

умова незаперечності — х_у- >. 0.

Наведемо найпростішу модель розкрійного завдання у ви­падку критерію — мінімізація відходів при розкрої. Розглянемо завдання оптимального розкрою за одним виміром довгомірних матеріалів (прутиків, труб, профільного прокату й ін.). Нехай Z — довжина вихідного матеріалу;

Лі — довжина заготівлі і-го виду;

bj — потрібна кількість заготівель і-го виду;

а_і} — кількість заготівель і-го виду, одержуваних при розкрої одиниці вихідного матеріалу noj-му варіанті;

cj — відхід при розкрої одиниці вихідного матеріалу по j-му варіанті.

Невідома величина Xj — інтенсивність використання j-го варіанта, тобто скільки одиниць вихідного матеріалу буде роз­кроюватися за у-іш варіантом.

Математична модель завдання може бути представлена у вигляді:

349

В.О. Василенко

Завдання розкрою за одним виміром довгомірних матері­алів може бути використана для подовжнього розкрою рулонів. Приклад 18. Прутики сталевого прокату довжиною 750 см, відповідно до заявок споживачів, потрібно розкроювати на за­готівлі трьох видів з довжиною: A_s- 250 см, Л₂ = 200 см і А₃ = 150 см. Заявки надійшли на 200 тис. штук заготівель першого ви­ду, 250 тис. — другого і 50 тис. — третього.

Знайти: а) оптимальний план розкрою за критерієм мінімуму відходів; б) мінімізувати кількість прутків, що підлягають роз­крию, для задоволення заявленої потреби. Насамперед, побу­дуємо таблицю всіх можливих варіантів розкрою (табл. 2.9).

Таблиця 2.9 Матриця практично можливих варіантів розкрою прокату

при обмеженнях:

3xj + 2%2 + 2х₃ + х₄ + xs + х₆ = 200000;

х₂ + 2х₄ + х₅ + Зх₇ + 2х₈ + х₉ = 250000;

х₃ + 2х₅ + 3x_tf + x₇ + 2 х# + 3jc₉ + 5х_!0 ~ 50000;

Xj>O,y= 1,10.

Аналогічно, хоча і трохи складніше, можна розв'язувати за­вдання за допомогою лінійного програмування за розкроєм склІі, лінолеуму й інших матеріалів.

Приклад 19. {лінійне програмування). Власник володіє чотир­ма видами ресурсів (т = 4) Це, наприклад, кошти, виробничі приміщення, устаткування, сировина.²

Необхідно розподілити ресурси між шістьма підприємствами (« = 6). Підприємства розрізняються за економічними умовами діяльності, місцем розташування, системою оподаткування, вартістю енергії, оплатою праці і т д., у зв'язку, з чим будуть різні витрати виробництва (табл. 2.10.)

Таблиця 2.10 Відносні рівні витрат на підприємствах

Номер варіанту	Розмір заготовок				Зали		План
	Лі = 250	Лі = 200	Дч =150	шок		розкрою
1	3	0	0	0		XI
2	2	1	0	50		Х2
3	2	0	1	100		хз
4	1	2	0	100		Х4
5	1	1	2	0		Х5
6	1	0	3	50		Хб
7	0	3	1	0		Х7
8	0	2	2	50		Х8
9	0	1	3	100		Х9
10	0	0	5	0		ХНІ
Кількість заготовок, тис. шт .

Побудуємо математичну модель завдання: функція мети — мінімум відходів, тобто

min: Z = 50х, + 100х, + 100x4 + 50х« + + 50х_я + Ю0х_д

350

Підприємства	1	2	3	4	5	6
Витрати	0,4	0,5	0,2	0,8	0,6	0,3

Розподіл ресурсів за підприємствами поєднано з не­обхідністю обліку ряду обмежень, що можуть бути описані систе­мою чотирьох рівнянь регрєсіиного виду із шістьма невідомими

1 - й вид ресурсов 4х, + х₄ г= 16,

2-й вид ресурсов 2х₂ +x_s-10,

3-Й вид рссурсрв х₃ + 2х_А + бх, = 76,

4-Й вид ресурсов 4х, + Зх₂ +х₆= 24,

х, £00*1,2, .,4) ₍₂₁₎

² За основу взято завдання, наведене в джерелі В.А. Абчук. Економіко-математичні методи. Елементарна математика і логіка. Методи дослід­ження операцій. - СПб: Союз,1999. — 370 с.

351

В.О. Василенко

Зміст першого рівняння в нашому прикладі в тім, що ресурс виду І, загальний обсяг якого складає 16 одиниць, може розміща­тися в кількості чотирьох одиниць на підприємстві першого типу й однієї одиниці — на підприємстві четвертого типу. Аналогічно роз­кривається зміст другого і наступного рівнянь. Остання умова го­ворить про те, що кількість підприємств не може бути негативною.

Необхідно визначити, яку кількість підприємств кожного ти­пу варто мати, щоб загальні витрати були мінімальними.

Відповідно до табл. 2.10 цільова функція, що підлягає оп- тимізації, має вигляд у = 0,4х, + 0,5*, + 0,2х, + 0,8*, + О.бх, + 0,3*₆. _{(2 2)}

Розв 'язок

Розв'язання завдання зводиться до виконання обмежень, за­даних рівняннями (2.1), з урахуванням умови мінімізації виразу (2.2).

352

У нашому випадку (коли п-т=2) кожне з лінійних рівнянь (2.1), а також лінійна функція (2.2) можуть бути представлені в двомірному просторі (на площині). Для цього необхідно вирази­ти всі відомі через незалежні величини. Наприклад, х, і х₂ відпо­відні координатним осям, щодо яких буде вироблятися побудова (рис. 2.8).

Теорія І практика розробки управлінських рішень

(2-3) (2.4)

х_А = 24-4*. -Зх, SO. _; (2.5)

Кожному з нерівностей (2.5) на графіку (див. рис. 2.8) відповідає нагавплощина, у межах якої знаходяться всі допустові даною нерівністю значення змінної величини x{j = 1,2,..., б).

Так, нерівності х_} > 0 відповідає напівплощина вправо від осі х₂ (границя її заштрихована).

Нерівності х₃ = 8x1 + 12х₂ — 16> 0 відповідає напівплощи­на вправо і нагору від лінії граничного значення даної нерівності (при х = 0). Рівняння цієї лінії

х+-д:,-2 = 0. ¹ 2 ²

У такий же спосіб можна побудувати границі, зумовлені іншими рівняннями.

Нерівностям (2.5) відповідає деяка область — шестикут­ник ABCDEF, утворений границями згаданих вище напівплощин. Ця область може бути названа областю припустимих планів, ос­кільки будь-яка точка в її межах відповідає вимогам накладених обмежень (2.1).

З усіх допустимих планів нас цікавить оптимальний план, при якому функція мети (у) досягає мінімуму.

Цільовій функції відповідає сімейство прямих рівнобіж­них ліній. Розглянемо одну з них, що проходить через початок координат, що буде мати місце за умови, коли в ~ 22,8. При цьо­му х₂ = Зх_}

353

B.O. Василенко

Цікавляча нас пряма в = 22,8, як видно з рис. 2.8, має на­хил вправо від осі х₂. Задаючи різними значеннями в, одержимо сімейство прямих ліній, рівнобіжних прямій в = 22,8, що прохо­дить через точку 0. При цьому, чим менше буде значення в, тим, мабуть, правіше буде розташовуватися відповідна пряма.